Родрига и Гамильтона

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

В практике исследований по динамике маневренных ЛА часто разделяют эту систему на быструю и медленную части с точки зрения процесса интегрирования ОДУ. Быстрая часть уравнений интегрируется в отдельном блоке с меньшим шагом, результаты передаются в другой блок, интегрирующий медленные уравнения с большим шагом . Этот подход, несмотря на явное предпочтение с точки зрения быстродействия программного кода, имеет суш,ественный недостаток обе подсистемы являются зависимыми друг от друга, и такое разделение может привести к неустойчивости получаемого решения и дополнительной алгоритмической ошибке. В этой связи в рамках излагаемой технологии интегрируется полная система уравнений, включаюш,ая в единый вектор состояния как параметры движения центра масс (компоненты положения и скорости ЛА), так и параметры углового движения объекта (угловые скорости в связанной СК, параметры Родрига-Гамильтона, или другие параметры ориентации ЛА углы Эйлера, матрица Пуассона и т. п.). Тот факт, что различные уравнения в этой расширенной системе должны интегрироваться с различной точностью, находит отражение в масштабировании вычисляемой локальной ошибки на шаге в соответствии с т.н. вектором масштабных коэффициентов. Очевидно, что компоненты вектора подобраны таким образом, чтобы обеспечить лучшую необходимую точность вычислений для компонент вектора состояния, соответствующих быстрому движению. [c.227]

Нетрудно составить также выражение параметров Родрига—Гамильтона результирующего поворота (обозначим их Vo, VI, V2, Vз) по параметрам Х1, Х2, Х3 и Х1, [Хд, [Х3 слагаемых поворотов. Вычислим сначала по (2.8) и (13) величину [c.109]

Выражение конечного поворота и параметров Родрига — Гамильтона через эйлеровы углы [c.112]

Выражая с помош ью формул (3.2.8) и (3.2.10) вектор О через параметры Родрига — Гамильтона, можно еш.е представить формулу (23) в виде [c.198]

Последовательными поворотами вокруг собственных осей тело повернули на угол 180° вокруг оси О01 и на угол 90° вокруг оси 002- Другое такое же тело из того же начального положения повернули на угол 90° вокруг оси О02 и на угол 180° вокруг оси О01. Пайти параметры Родрига-Гамильтона относительного положения тел. [c.43]

Определить параметры Родрига-Гамильтона и угол результируюш е-го поворота трехгранника. [c.44]

Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью со. Начальное положение тела относительно некоторой системы отсчета Ж1, Ж2, Жз определяется кватернионом Л(0). Найти текущие значения параметров Родрига-Гамильтона, если проекции вектора со на оси Ож1, 0x2 и Ожз постоянны. [c.45]

Плодотворной оказалась идея использования в качестве переменных компонент вектора кинетического момента по неподвижным осям и углов Эйлера в системе, связанной с вектором кинетического момента. Уравнения движения твердого тела в этих переменных впервые были предложены, по-видимому, еще Б. В. Булгаковым (1955), но получили развитие и конкретное применение только с возникновением задач о движении искусственных спутников (В. В. Белецкий, 1958, 1961, 1963, 1965 Ф. Л. Черноусько, 1963, и др.). Эти уравнения удобны для исследования асимптотическими методами и в различных формах и модификациях употребляются для анализа ротационного движения. Используются и другие формы уравнений например, в задачах, связанных с численным нахождением движения, иногда употребляются параметры Родрига — Гамильтона. [c.288]

Замечание 3. Связь между проекциями угловой скорости ш и параметрами Родрига-Гамильтона имеет вид [c.44]

Кватернион i/Л задан в базисе 7 и не является собственным кватернионом преобразования. Для того чтобы найти требуемые параметры Родрига - Гамильтона, необходимо найти отображение кватерниона dl. на базис Е [c.470]

Упомянем, что подобно общеизвестным параметрам Родрига-Гамильтона и параметрам Кэли-Клейна можно построить их комплексные аналоги, для которых формулы перехода к эйлеровым углам и другим координатам совершаются по соответствующим формулам при замене в них вещественных величин комплексными. [c.154]

Во всех задачах в главе 4 предполагается, что начальная угловая скорость тела равна нулю, или является достаточно малой [Воротников, 1994а]. Это достигается предварительным гашением угловой скорости тела такая задача решается только на базе уравнений (4.1.1) (см., например, М. orless и G. Leitmann 1995]). Кроме того, использование полученных управлений предполагает знание текущих значений как компонент вектора угловой скорости, так и переменных Родрига-Гамильтона. В космической технике текущие значения вектора угловой скорости тела определяют посредством специальных гироскопов, а посредством бортовых ЭВМ в реальном времени интегрируют кинематические уравнения. В данном смысле выбранная алгебраическая форма кинематических уравнений представляется удачной. [c.248]

Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов А = Ао + Al + j 2 + feAs с единичной нормой Ад + А + А + А = 1. Они образуют группу Зр 1), которая является универсальной накрывающей группы S 0(3) (S O(S) и Sp l)/ 1) [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига-Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров А [108, 167]. [c.42]

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Кинематические уравнения могут быть записаны в различной форме в зависимости от того, какие параметры выбраны для описания пространственной ориентации ЛА как твердого тела. В механике известны и находят широкое применение различные совокупности параметров ориентации угловые величины (классические углы Эйлера или другие совокупности трех независимых углов), элементы матриц направляющих косинусов, параметры Родрига-Гамильтона, являющиеся компонентами квантернионов. Обзор перечисленных параметров ориентации и вывод соответствующих кинематических уравнений дан в Приложении 3. На практике выбор тех или иных параметров ориентации осуществляется в зависимости от особенностей объектов управления и специфики решаемых задач. [c.87]

Одно из направлений построения специальных методов интегрирова ния кинематических уравнений основано на свойстве линейности уравнений Пуассона и кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона. Свойство линейности позволяет найти частное решение кинематических уравнений с помощью нормированной матрицы фундаментальных решений, называемой матрицантом и вычисляемой методом последовательных приближений Пикара (см. [5]). [c.238]

В настоящем Приложении содержится краткий обзор перечисленных параметров ориентации и дан вывод кинематических уравнений. Поскольку параметры Кейли - Клейна алгебраически эквивалентны параметрам Родрига - Гамильтона и приводят к аналогичным по структуре кинематическим уравнениям, названные параметры здесь не рассматриваются. Определение этих параметров читатель может найти в монографии [1]. [c.555]

Определение. Компоненты кватерниона вращения в базисе, преобразуемом этим кватернионом по формулам (П3.61) и заданные в форме (П3.64),называются параметрами Родрига-Гамильтона. Параметры Родрига-Гамильтона подчинены условию связи [c.572]

Перемножим кватернионы (П3.72) по формуле (П3.71) и приравняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона результирующего поворота Я = Яд + Ajij + >>2 2 Vs- итоге получим следующие формулы, выражающие параметры Родрига - Гамильтона через самолетные углы [c.575]

В заключение запищем кинематические уравнения вращательного движения тела непосредственно в параметрах Родрига - Гамильтона. При этом, как и в уравнениях (П3.2) и (ПЗ.ЗО), компоненты вектора угловой скорости в проекциях на оси подвижного базиса обозначим, ыу, [c.577]

Как видим, кинематические уравнення вращательного движения в параметрах Родрига - Гамильтона линейны и не имеют особых точек. Они подчинены одному условию связи (П3.65), определяемому свойством нормированности кватерниона вращения. Аналогичные уравнения для случая проектирования вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса нетрудно получить из (П3.79). [c.577]

Эти же уравнения в функции параметров Родрига — Гамильтона, которые представляют собой компоненты кватерниона и называются иногда также паратиетрами Эйлера, имеют вид [8] [c.92]

Описание кинематики в параметрах Кейли — Клейна и Гиббса 18, 20] оказывается менее удобным в сравнении с описанием в параметрах Родрига — Гамильтона, и поэтому их мы не приводим. [c.93]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...