Гармонические функции - Уравнение Лапласа

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической и обладает следующими свойствами [c.248]

Общих методов решения краевых задач теории упругости, которые сводили бы решение к вычисле- нию квадратур, как известно, не существует. Например, при решении пространственной краевой задачи в перемещениях методом Папковича-Нейбера предварительно требуется найти три гармонические функции. Эта задача может быть сведена к вычислению ряда квадратур, если известна одна гармоническая функция — регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа (метод одной гармонической функции [1]). Однако общие условия сходимости итерационного процесса до сих пор недостаточно хорошо изучены. Поэтому возможность применения метода одной гармонической функции к решению конкретных задач целесообразно иллюстрировать на примерах. [c.8]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Любая сумма гармонических функций является также решением этого уравнения. На этом свойстве функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, основан метод наложения потенциальных потоков. [c.16]

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Следовательно, при постоянных объемных силах сумма нормальных напряжений о + а в плоской задаче теории упругости является гармонической функцией. [c.350]

Общие замечания. Для любой гармонической функции ф от трех переменных (т. е. функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа +-1 = Oj, [c.201]

Пуассона и уравнения Лапласа выполняется на модели из двух взаимно накладываемых плоских геометрически подобных и равномерных электрических сеток из сопротивлений, соединенных в узлах. По предложению, сделанному в работе [11 ], моделирование гармонических и бигармонических уравнений в двух координатах для решения задач изгиба плит и температурных напряжений в плоской области при гармоническом колебании температуры может быть также произведено на объемной электрической модели с помощью функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа в трех координатах. [c.276]

Таким образом, вещественная и мнимая части всякой регулярной функции комплексного переменного удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонические функции, связанные уравнениями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями. [c.215]

Любая сумма гармонических функций является также решением этого уравнения. На этом свойстве функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, основан метод наложения потенциальных потоков, нашедший ши рокое применение в гидроаэромеханике. [c.121]

Таким образом, объемная деформация в упругом изотропном теле при отсутствии массовых сил является гармонической функцией, т. е. функцией, удовлетворяющей уравнению Лапласа (3.10). [c.58]

Эти формулы, определяющие вид функций Ламе, вместе с уравнением (Eq), корнями которого являются эллиптические, координаты К, ц, v, приводят на основании теории симметрических функций корней алгебраического уравнения ) к заключению, что каждое произведение Ламе -го порядка, преобразованное к координатам х, у, г, есть многочлен п-й степени (вообще говоря, неоднородный, но который можно разбить на сумму однородных гармонических многочленов), удовлетворяющий уравнению Лапласа. [c.203]

Для этого вводится в рассмотрение произвольная пока гармоническая (т. е. удовлетворяющая уравнению Лапласа Дгг = 0) функция без особенностей W, которая подставляется вместо и в формулу Грина (2.249) [c.88]

Поскольку fx fy — гармонические функции, то можно всегда выбрать функции g , gy так, чтобы и они удовлетворяли уравнению Лапласа [c.40]

Таким образом, функция 0 удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. она гармоническая. Считая объемные силы постоянными и составляя операцию из выражений (1.26) и (1.27), находим [c.23]

Как известно, задача о кручении стержней произвольного поперечного сечения сводится либо к отысканию решения уравнения Лапласа (гармонической функции) [c.91]

Это выражение функции Ф (д , лга) удовлетворяет уравнению Пуассона (7.33), так как при постоянных /(, и Ki имеем гармонические функции, а дифференциальный оператор Лапласа от последнего слагаемого в квадратных скобках этого выражения равен — 2. [c.156]

Таким образом, потенциал ф скорости любого безвихревого потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению (7.1) Лапласа, т. е. является гармонической функцией. В связи с этим задачу определения поля скоростей, т. е. нахождения функций Wj., Uy и Uj для безвихревых течений, можно заменить задачей определения одной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Для получения решения этого уравнения необходимо сформулировать граничные условия. Граничное условие на твердой непроницаемой стенке имеет вид (см. п. 5.6) [c.210]

Таким образом, давление в ползущих течениях удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармонической функцией. При неустановившемся движении время t, которое явно не входит в уравнение (8.28), играет роль параметра, а уравнение (8.28) определяет мгновенное поле давлений. [c.305]

Действительную функцию двух действительных переменных называют гармонической в области D, если и (D) и удовлетворяет уравнению Лапласа [c.179]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Уравнение (5.5) называется уравнением Лапласа, а функция ф, удовлетворяющая этому уравнению, — гармонической функцией. Уравнение Лапласа — это линейное дифференциальное уравнение, в силу чего его частные решения можно дифференцировать, складывать и получать таким образом новые частные решения этого уравнения. Использование условий однозначности (обычно условий на границах области течения) позволяет получать единственные решения для гармонической функции, а следовательно, и для поля скоростей в различных конкретных задачах. [c.186]

Классическим случаем некорректной задачи является пример Адамара. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Лапласа. Пусть в полуплоскости г/ о требуется определить гармоническую функцию и х,у), обращающуюся на линии у = 0 в нуль и имеющую нормальную производную, равную du/dy = со пх)/п. Решение такой задачи имеет вид [c.190]

Эти уравнения показывают, что как функция тока, так и потенциал скорости удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются гармоническими функциями. [c.160]

Таким образом, объемное расширение в упругом изохронном теле при отсутствии массовых сил есть гармоническая функция. Взяв теперь оператор Лапласа от левой части уравнения (8.5.3) при Fi = О, убедимся в том, что [c.249]

Покажем теперь, что потенциал Ф — гармоническая функция, т. е. он удовлетворяет уравнению Лапласа. [c.168]

Показать, что если V—плоская гармоническая функция, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа [c.80]

Это уравнение называется уравнением Лапласа, а любое его решение называется гармонической функцией. Таким же образом, исключая а из уравнений (д), найдем [c.182]

Таким образом, функция тока, так же как и потенциал скорости, удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией. Функции Фиф называются сопряженными (или взаимно сопряженными). Зная одну из них, можно по (28.17) найти другую. [c.285]

Как видно в случае движения грунтовых вод напорная функция Н (х, z) во всех точках области фильтрации должна удовлетворять уравнению Лапласа. Другими словами, во всех точках области фильтрации сумма вторых частных производных от Н по X и по Z должна равняться нулю. Функция, обладающая таким свойством, т. е. удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. Следовательно, напорная функция Н (х, z) должна быть гармонической функцией. [c.585]

Функция ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. [c.155]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

При решении двумерных гармонических задач конформные отображения играют решающую роль, поскольку уравнение Лапласа инвариантно при конформном отображении. Под этим понимается следующее. Конформное отображение по существу есть запись в комплексной форме некоторой криволинейной системы координат в плоскости х, у (г = х- 1у), при которой в этой системе область О перейдет в область О. При такой замене переменных, продиктованной конформным отображением, само уравнение должно, вообще говоря, преобразоваться, однако при конформном отображении оно останется неизменным и в координатах и, V (w = u-j- v). Действительно, пусть н(г) гармонична в области О. Строим функцию /(г), действительной частью которой является функция и(г). Тогда сложная функция [[ ( )] аналитична в плоскости и поэтому Ке/[,д( )]== = КеК(5)= и( )= гармонична в О. Этим обстоятель- [c.31]

Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства а з [О, °°), плоскость а з = О является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей Xi и Х2, ось Хз, будем обозначать как ось z. Как уже было прппято ранее, [c.368]

Здесь г" = (а , - 10 + ( 2 - Ь)" + г", dS = dl . Функция х , z) определяемая формулой (11.7.1), где интеграл берется по всей плоскости 2 = 0, удовлетворяет уравнению Лапласа и нормальная производная ее (д 1р/дг)г=о =—т ха). Интеграл (11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности тп ха.). Функция — гармоническая, так как г — гармоническая функция координат Ха, Z, а пнтегрированпе ведется по переменным Вычислим теперь производную [c.371]

Линии, для которых 1 = onst, называют линиями тока. Гармоническая сопряженная с а[з функция ф называется потенциалом скоростей потока. Линии тока и линии, вдоль которых потенциалы скоростей постоянны, взаимно ортогональны. Обе функции (тока и потенциала скоростей) удовлетворяют уравнению Лапласа [ср. например, (21.48) и (23,27)]. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двумерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциалу скоростей идеального потока жидкости. [c.249]

Уравнение Лапласа часто встречается в технических пауках, в гитродипа-мике, теории теплопроводности и лр. Функции, удоилетворяющие урикпеиию Лапласа, называются гармоническими. [c.197]

Решение уравнения Лапласа в некоторой области определяется заданием значений функции ф на поверхности 2, ограничивающей область 25. Задача об отыскании гармонической в области 25 функции по ее значениям на границе области 25 называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области, вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение. Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри области полностью определяются, если на границе заданы значения внешнего импульса давления = — рф. [c.155]

I (2-я) — 147 Гармонические функции — Уравнение Лапласа и теория потенциала 1 (1-я) — 248 Гармонический анализ численный 1 (1-я)—268 Гармоническ м 1 синтез 1 (1-я)— 268, 271 Гармоническое колебательное движение точки 1 (2-я) —3 Гафний 1 (1-я) — 354 [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...