Плотность простого слоя

Величина р(Л/ ). называется плотностью простого слоя. Равенство (IV. 20) определяет ньютоновский потенциал простого слоя. [c.488]

Потенциал простого слоя. Пусть притягивающие массы расположены по поверхности S. Пусть da — элемент поверхности, dm — масса притягивающей материи, расположенная на этом элементе, величина dm/da —р называется поверхностной плотностью простого слоя. Потенциал U есть [c.252]

Плотность простого слоя q l, г]) будет равна массе, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой [c.234]

При этом рб (х) = о вне 8, рб — сингулярная О. ф. Эта О. ф. описывает пространств, плотность масс или зарядов, сосредоточенных на поверхности 5 с поверхностной плотностью р (плотность простого слоя). [c.376]

Обобщением б (х) является нормальная производная от плотности простого слоя на ориентируемой поверхности iS [c.376]

СЛОЯ При Приближении к поверхности в какой-либо ее точке, и значением плотности простого слоя в этой точке. Приведем схему вывода этой формулы, например, для трехмерной задачи. [c.124]

Если д есть плотность простого слоя, расположенного на поверхности соприкосновения, то функция <ро, определяемая по формуле [c.165]

Предполагая теперь, что [/ (л , у, 2)]р=р чётно относительно г, положим ро=1 удваивая получающийся результат, найдём выражение плотности простого слоя, распределённого по эллиптической пластинке— части плоскости г 0, ограниченной эллипсом (8.16). Это выражение будет [c.292]

Рассмотрим сначала первый случай. Вообразим, что одно ИЗ трех измерений тела Т весьма мало по сравнению с двумя другими, так что тело представляет собой нечто вроде большого, но очень тонкого листа или слоя. Тогда в ряде задач оказывается возможным пренебречь малой толщиной листа и рассматривать тело как идеальную (геометрическую) поверхность, по которой как бы размазана бесконечно тонким слоем притягивающая масса. Пусть дана такая поверхность S (замкнутая или не замкнутая, безразлично), в каждой точке которой определена некоторая функция точки б(М) =6(a , у, г ), которую будем называть поверхностной плотностью простого слоя. Так как точка М(х, у, z ) принадлежит некоторой поверхности, то три координаты х, у, г связаны уравнением этой поверхности вида Ф(л , г/, 2 )=0 или г Ф х, у ), [c.24]

Сделаем прежде всего одно замечание. Рассматривая в 6 понятие простого слоя, мы предполагали, разумеется, что поверхностная плотность, или плотность простого слоя, есть функция заведомо неотрицательная. [c.29]

Определение плотности простого слоя через заданные нормальные скорости точек поверхности требует решения интегрального уравнения внешней задачи Неймана. В дальнейшем мы будем предполагать, что такое уравнение решено и, следовательно, известен дебит Q = q xq, Zq) os ot dS источника, расположенного в точке М xq, Уо, Zq) поверхности S, [c.507]

Следовательно, плотность простого слоя будет [c.514]

Определение плотности q xg, уд, Zg) доставляет большие затруднения. Чтобы найти функцию q хд, уд, Zq), надо решать интегральное уравнение, получающееся из условия обтекания поверхности тела волновым потоком. Ввиду сложности этого уравнения ограничиваются обычно приближенным выражением функции q хд, Уд, Zo), считая, что при достаточно глубоком погружении движущегося тела истинная плотность простого слоя источников мало отличается от той плотности, при которой достигается обтекание тела потоком, неограниченно простирающимся по всем направлениям. [c.527]

Пусть теперь масса (заряд) непрерывным образом распределена по поверхности 5 в с плотностью i (у), тогда потенциалом простого слоя будет называться интеграл [c.100]

Интеграл в формуле (10.55) называется потенциалом простого слоя плотностью р, нанесенного на поверхность S3 [491. [c.347]

Поэтому за потенциал о можно принять потенциал однородного эллипсоида, размер с которого в направлении оси г стремится к нулю, а плотность р неограничено возрастает, так что величина ср оста я постоянной. В пределе получим простой слой, распределенный по поверхности эллипса с полуосями а и Ь, т. е. по площадке контакта Q. Плотность этого слоя р (I, т]) будет равна той части массы эллипсоида, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой 2г = [c.351]

Потенциал (6.2) называется потенциалом простого слоя, я функция ф( /)— его плотностью. [c.89]

Изложим ряд свойств этих потенциалов (см., например, [11, 54)), объясняющих их роль в теории гармонических функций. Остановимся сначала на свойствах потенциалов простого слоя и двойного слоев. Очевидно, если плотности суммируемы на 5, то потенциалы представляют собой функции, гармонические внутри и вне поверхности. Если для внутренней области (обозначаемой через /)+) доказательство состоит лишь в вычислении всех вторых производных по координатам точки р, то для внешней области (обозначаемой через 0 ) требуется еще проверить неравенство (6.20). Действительно, имеем [c.92]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

ИЗ принципа максимума следует, что малые изменения краевых условий приведут к малым изменениям решения. Если искомую функцию выбрать в виде потенциала двойного слоя, то для плотности получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое является корректным уравнением (решение непрерывно зависит от правой части). Если же воспользоваться представлением в виде потенциала простого слоя, то получается уравнение первого рода, которое является некорректным. [c.191]

Отметим еще один подход [98], когда смещения разыскиваются в виде суммы потенциалов двойного и простого слоев (с одной и той же подлежащей определению плотностью). В этом случае получается всегда разрешимое уравнение ). [c.562]

Перейдем теперь к рассмотрению задач, когда область В ограничена несколькими поверхностями 5/ (/ = 0, I,. .., /и), из которых все, исключая 5о, расположены вне друг друга, а 5о охватывает остальные. Заметим, что поверхность 5о может и отсутствовать. Будем для определенности рассматривать вторую основную задачу. Зададим на каждой поверхности 5 подлежащую определению вектор-функцию ф/(17) и образуем потенциал простого слоя, рассматривая эти функции как плотности. Тогда, осуществив для оператора напряжений предельный переход к точкам поверхности, придем к системе интегральных уравнений, которую можно символически записать в виде [c.566]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Для введенных выше потенциалов сохраняются все доказанные в 1 (или упомянутые там) предельные соотношения (непрерывность потенциала простого слоя и оператора напряжений от потенциала двойного слоя и соотношения между скачком потенциала двойного слоя и оператора напряжений от простого слоя и нх плотностью). [c.590]

Если воспользоваться тем или иным представлением смещений п виде обобщенных упругих потенциалов, то, используя (5.1), сразу придем к определенным уравнениям для их плотностей. Например, если воспользоваться потенциалом простого слоя У(р, (р), то получим интегральные уравнения вида [c.595]

Поскольку каждый из интегралов является неотрицательной величиной, то смещения тождественно равны пулю. Таким образом, если допустить неединственность решения интегральных уравнений, то придем к существованию потенциала простого слоя, обращающегося в П в нуль, что влечет за собой равенство нулю и самой плотности. [c.599]

Продолжим рассмотрение задачи, предварительно упростив ее постановку. Если функции +(< ) и F q) различны между собой, то образуем потенциал простого слоя V(p,f), плотность которого равна / = 0,25 ( +— / ). Тогда из формул (1.23) (считая их применимыми) получаем, что смешения и = и — —У(р,1) будут удовлетворять краевым условиям, совпадающим между собой с разных сторон. Действительно, [c.613]

Отметим, что условия (7.1) и (7.2) возможны и в случае одинаковых коэффициентов Ламе. Аппарат обобщенного потенциала сразу позволяет свести решение задач для подобных составных тел к задаче для сплошного тела. Действительно, для этого надо ввести в рассмотрение потенциал простого слоя с плотностью /2 2/( ) И потенциал двойного слоя с плотностью /2 1/( )- Тогда смещения [c.618]

Из формулы (11.9.4) следует, что для внутренних точек эллипсоида потенциал представляет собою квадратичную функцию координат Xi. Будем теперь сплющивать эллипсоид в направлении оси Хз = Z, т. е. будем устремлять к нулю полуось Яз, одновременно увеличивая плотность р. В пределе мы получим простой слой, распределенный по площади эллипса с полуосями [c.377]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Теперь вычислим также сопротивление Ш для известного рода цилиндрической трубки. Мы предпошлем этому следующее. Пусть на части плоскости хОу некоторой координатной системы будет распределена масса переменной плотности /г, и пусть V будет потенциал этой массы в точке (х, у, г). Тогда в двух точках, которым соответствуют равные значения х и, г/ и противоположные значения 2, потенциал V имеет равные значения. Отсюда следует, во-первых, что при бесконечно малом 2 потенциал V имеет всегда одно и то же значение, будет ли 2 положительно или отрицательно, что мы могли бы заключить из общего предположения, что потенциал простого слоя масс непрерывен при переходе через [c.285]

Формула для вычисления волнового сопротивления судна типа Мичелля может быть получена на основании результатов предыдущего параграфа, если воздействие корпуса такого судна заменить воздействием простого слоя источников, распределен ных на диаметральной плоскости судна. Плотность простого слоя определяется из условия обтекания поверхности судна. [c.592]

Потенциал объемных масс U равен, следовательно, потенциалу простого слоя с поверхностной плотностью Vapp. Эта фиктивная плотность изменяется с изменением положения точки Р. Составляющие притяжения определяются просто [c.260]

Итак, решение контактной задачи Герца сводится к определению давления ( , т]), сближения тел а, а также размеров и формы области контакта оз. В уравнении (9.39) значение сходящегося несобственного интеграла представляет со-бой потенциал простого слоя распределенного с плотностью т]) по области контакта. Этот потенциал в точках области контакта, согласно (9.39), представляет квадратичную функцию координат. С другой стороны, известно, что потенциал во внутренних точках однородного эллипсо- [c.234]

Перейдем к рассмотрению уравнений (7.8) и (7.9) при % = = —] (т. е. для задач и Л ). Рассмотрим уравнение (7.8), которое имеет (в силу теоремы Гаусса (6.28)) очевидное решение фо=1, а, следовательно, Х = —1—собственное значение уравнения. Таким образом, приходим к утверждению, что уравнение (7.9) (как союзное) будет иметь при Х = —1 собственные функции. Покажем, что собственная функция — одна. Обозначая эту функцию через фо и рассматривая ее как плотность, образуем потенциал простого слоя Р(р, фо). Предельное значение его нормальной производной изнутри будет равно нулю, и поэтому сам потенциал будет равен некоторой постоянной Со- Если допустить, что уравнение (7.9) при X = —1 имеет еще одно решение фь линейно независимое с фо, то тогда потенциал Г(р, фО будет равен С. Образуем теперь плотность фа = С1фо — Софь которая также будет собственной функцией, причем потенциал Е(р, фа) будет равен нулю в области D+, а значит, и в области 0 . Поэтому его плотность фа есть тождественный нуль, а, следовательно, функции фо и ф1 линейно зависимы. Следовательно, уравнение (7.8) будет иметь лишь одну указанную ранее собственную функцию. [c.101]

Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105]

Перейдем теперь к рассмотрению спектральных свойств уравнений (2.2) и (2.3), а равным образом и (2.5). Положим Я = 1 и допустим, что эти уравнения имеют нетривиальные собственные функции (ввиду равенства нулю индекса, число этих функций одинаково). Обозначим через фо собственную функцию уравнения (2.3), а через У(р, фо) — потенциал, имеющий функцию фо своей плотностью. Этот потенциал является реще-нием задачи И при нулевых значениях напряжений на поверхности. Уместно при этом отметить, что в любом случае смещения, представимые потенциалом простого слоя, убывают на бесконечности как l/R, а напряжения — как 1// . Поэтому можно воспользоваться теоремой единственности внешней задачи теории упругости. Тогда получаем, что потенциал V тождественно равен нулю в области 0 . С другой стороны, потенциал простого слоя является функцией, непрерывной всюду, включая поверхность 5. Поэтому потенциал V р, фо) будет тождественно равен нулю в области 0+, поскольку он обращается в нуль на поверхности 5. Возвращаясь же к формуле (1.24), получаем, что функция фо тождественно равна нулю. Следовательно, точка Я = I не является собственным значением для уравнений (2.3), (2.4) и (2.5). Поэтому перечисленные уравнения разрешимы при произвольной правой части, а получаемые решения единственны, [c.559]

Здесь г" = (а , - 10 + ( 2 - Ь)" + г", dS = dl . Функция х , z) определяемая формулой (11.7.1), где интеграл берется по всей плоскости 2 = 0, удовлетворяет уравнению Лапласа и нормальная производная ее (д 1р/дг)г=о =—т ха). Интеграл (11.7.1) называется потенциалом простого слоя плотности тп ха.). Функция — гармоническая, так как г — гармоническая функция координат Ха, Z, а пнтегрированпе ведется по переменным Вычислим теперь производную [c.371]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...