Аффинные координаты вектора

Аффинные координаты вектора. Проведём через начальную и конечные точки вектора АВ прямые, параллельные осям Ох, Оу в пересечении с осями получим точки Л,, [c.194]

ОЕ измеряющие отрезки 262 при помощи различных единиц масштаба (ОЕ]. 0 г). называют аффинными координатами вектора, причём [c.194]

Вейерштрасса признак равномерной сходимости интеграла 1 (1-я)—170 Вековые уравнения — см. Уравнения характеристические Вектор главный 1 (2-я)—13 Векторная алгебра 1 (1-я)—190 Векторное поле 1 (1-я)—192 Векторный анализ 1 (1-я)—190 Векторы — Аффинные координаты 1 (1-я) — 194 [c.31]

Числа X, у, г называют координатами вектора г по отношению к базисным век-горам е/. Эти же числа называют прямолинейными (аффинными) координатами точки [14]. При использовании единичных и ортогональных базисных векторов эти координаты называют прямоугольными декартовыми. [c.13]

Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа а, С12, аз, причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по формуле (7.5), то говорят, что величины аи 2, аз образуют аффинный ортогональный вектор а = Ца . В определении присутствует [c.18]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

При отнесении винта к прямоугольному базису с помощью координат операция аффинного преобразования вектора г и момента г винта к новой системе сведется к умножению на эти векторы матриц [c.173]

Сказанное составляет принцип перенесения для комплексной векторной алгебры — алгебры винтов. На основании этого принципа таблица соответствия может быть продолжена для множества других формул таким образом, что левой ее половине, относящейся к вектору, всегда будет соответствовать правая половина, относящаяся к винтам. Замена строчных букв прописными означает замену вещественных величин комплексными. На формулы алгебры векторов можно смотреть как на неразвернутые формулы алгебры винтов написав первые прописными буквами, придаем им комплексное значение и затем развертываем. Таким образом, получаются комплексные формулы преобразования координат, формулы более общего комплексного аффинного преобразования, формулы комплексной сферической тригонометрии и др. Перенесение формул алгебры векторов на алгебру винтов теряет смысл тогда, когда модули векторов обращаются в нуль. В этих исключительных случаях соответствующие винты являются вырожденными и для них требуется специальный анализ. [c.70]

Всякий вектор в пространстве есть тензор 1-го порядка, причем можно рассматривать как один вектор, так и поле векторов (компоненты суть функции координат точки). В настоящем разделе рассматриваются только аффинные ортогональные т е н- [c.68]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

По аналогии с этим определением введем определение аффинного ортогонального тензора тензором л называется тройка векторов р1, Рг. рз , определенных в любой декартовой системе координат таким образом, что при переходе от одной системы координат к другой векторы р преобразуются по формулам [c.612]

Для описания событий, происходящих в сплошной среде, выбирается некоторая система отсчета. Чаще всего это инерциальная система отсчета х [1]. Одномерное пространство называется временным О < оо, а трехмерное евклидово пространство — координатным. В всегда можно ввести прямоугольную декартову систему координат, благодаря чему любая точка пространства описывается радиусом-вектором г = где к — векторы ортонормированного базиса. Координаты Xi называются пространственными. (В качестве пространственных координат могут быть выбраны, разумеется, и криволинейные координаты [2]). Иногда приходится вместо рассматривать риманово пространство, а иногда и более общее — пространство аффинной связности [3]. [c.636]

Замечание 1. Легко видеть, что из формул преобразования вида (4) для компонент вектора вытекают формулы вида (1) для координат точки, т. е. что формулы (4) характеризуют аффинное преобразование в смысле первоначально данного нами определения. [c.38]

В первую очередь важно правильно выбрать класс изучаемых задач. Это будут движения, определяемые силовым полем, то есть уравнением вида =ф д), где q G Е, ф д) — силовой вектор в точке q. Пространство движения Е аффинно после выбора начала координат оно становится векторным пространством, но мы отложим этот выбор на потом после выбора евклидовой формы оно становится евклидовым пространством, но и здесь мы осуществим этот выбор позже, на нескольких примерах. [c.26]

Следует отметить известную работу Р. Мизеса, выпущенную в виде двух статей в 1924 г. и [ ], в которой излагается общая часть и приложения так называемого моторного исчисления (мотор — соединение слов момент и вектор , т. е. тот же винт). В этой работе автор вначале исходит из геометрического описания мотора с помощью двух прямых, а затем вводит шесть координат мотора и операции над моторами — скалярное и моторное умножение. Далее вводятся моторные диады и матрицы аффинного преобразования. В моторном, как и в винтовом исчислении, обнаруживается аналогия с векторными операциями. Однако принцип перенесения в работе Мизеса не нашел отражения. Мизесом рассмотрены приложения к динамике твердого тела, к теории упругости и к строительной механике стержневых систем, к гидромеханике и др. [c.13]

Под действием напряжения сдвига многократно переплетенная сетка из таких цепочек испытывает однородную деформацию. Это означает, что точки пересечения смещаются так, как если бы они находились в однородно деформированной среде. Если такую аффинную деформацию представить с помощью диагонального тензора деформаций, то вектор К с декартовыми координатами X, У, X преобразуется в вектор] К = (А,1 X, А,2 У, 2). Подставляя это в формулу (7.49), получаем вклад в изменение энтропии от цепочки с такими концами [c.311]

Полезно иметь уравнение этой плоскости. Если векторы а, Ь, с принять за координатные векторы аффинной системы координат, то коэффициенты при этих векторах в правых частях формул (9) суть координаты точек Л, С. Уравнение плоскости АВС [c.99]

Обычно за аффинную систему координат принимают три некомпланарных вектора и Л = а, Ь В = Ь, 0 С = Р произвольной длины, выходящие из тО ки О и образующие между собой произвольные углы. Всякая точка М пространства определяет вектор ОМ который единственным образом разлагается по векторам [c.114]

Число символов Кристоффеля равно 27, так как имеем три вектора базиса, которые дифференцируются по трем координатам, а каждая производная имеет три компоненты (3x3x3 == 27). В аффинной системе координат векторы базиса не меняются от точки к точке пространства, поэтому все символы Кристоффеля равны нулю. Они симметричны по нижним индексам, т. е. Г// == Г ,. Действительно, учитывая определение векторов базиса (1.2), получим [c.58]

В 210 первого тома было упомянуто о связи между абсолютным ди( )-ференцнрованием и параллельным переносом вектора в криволинейной системе координат. Как известно, задача о параллельном переносе вектора требует введения символов Кристоф( )еля второго рода. Поэтому эти символы иногда называют параметрами параллельного переноса или коэффициентами аффинной связности. Последний термин напоминает о том, что символы Кристоффеля позволяют установить связь между значениями векторной функции в смежных точках пространства. [c.174]

Если аффинное преобразование однородно, то под координатами х , x j , Хдд И х д , х д , Хзд можно понимать проекции вектора на оси координат. В таком случае аффинор — верзор следует рассматривать как оператор, переводящий один вектор в другой. [c.74]

Структура пакета ГРАФОР подобна перевернутой пирамиде (рис. 136), в острие которой находится программа связи с ОС ЭВМ и графическим устройством. Следовательно, для перехода на работу с новым типом устройства или новой версией ОС достаточно сменить только одну программу и пакет будет готов к работе. На следующем, более высоком уровне находятся программы, реализующие графические утилиты перевод пера в указанную точку, вычерчивание вектора, дуги, окружности, эллипса, произвольного текста, различных маркеров и т. д. На программах графических утилит базируется второй уровень программ пакета, предназначенный для отображения плоских изображений. К программам второго уровня относятся такие программы, как аффинные преобразователи на плоскости, разметка числовых осей в декартовых, полярных или логарифмических координатах, проведение полигональных кривых, штриховка и экранирование плоской области и ряд других программ. [c.218]

Пространства состояний упругой системы как линейные и аффинные пространства. Совокупность возможных состояний упругой системы (т. е. полей перемещений, усилий, деформаций, функций напряжений), среди которых отыскивается нстниное состояние, целесообразно рассматривать как линейное (векторное) пространство (пространство состояний, см. гл. 2). liro элементами являются трехмерные (или двумерные) векторные или тензорные функции и(г), а (г) и т. д. положения точки в области V, занимаемой упругим телом (или в области S, занимаемой базисной поверхностью оболочки) здесь т—радиус-вектор точки в какой-либо декартовой системе координат. Таким образом, различные пространства состояний упругой системы являются пространствами функций, определенных на V или S (функциональными пространствами) н имеют бесконечную размерность. [c.204]

Все, что утверждалось сейчас для подобных явлений в обычном употреблении термина подобие , полностью относится и к случаю аффинного подобия, с той лишь разницей, что при аффинном подобии для разных координат должны быть разные масштабы длин X, Y, Z точно так же и для разных проекций векторов а , Uy, различные масштабы, скажем, А ., Л у, и т. д. Напомним, что как раз такое применение метода аффинного подобия имело уже место в гл. VI и VII настоящего курса при изложении теории подобия до- и сверхзвуковых обтеканий тонких тел. [c.367]

Перечисленные и другие простые следствия непрерывной диф-ференцируемости закона движения х=<р(х, t) при внимательном их анализе оказываются очень полными и содержательными для исследования физических свойств, термодинамики и уравнений состояния тела. Выбранная в начальный момент в лагранжевых координатах частица, скажем, в виде кубика фиксированных малых размеров, движется и деформируется так стенки кубика остаются плоскими непроницаемыми для внутренних частиц, относительное движение которых однородно (аффинно) и полностью определяется удлинениями ребер и изменениями относительных углов наклона граней косоугольного параллелепипеда, в форме которого кубик пребывает в любой момент 1>и. Следовательно, содержимое частицы представляет как бы замкнутую равновесную систему в смысле статистической механики (гл. I). Состояние такой системы зависит от внешних параметров и температуры, т. е. от положения и движения границ частицы, т. е. от эво-люции во времени векторов лагранжева репера Эг(1) ( =1, 2, 3) или эволюции аффинора A(t). Но ясно, что Эг(0 и Л(t), кроме собственно деформации частицы (параллелепипеда), включают и переносное движение, что собственно деформация определяется метрическим тензором лагранжева репера Э1(1) ( ==1, 2, 3) с симметричной квадратной матрицей [c.71]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

Теория Ц. и. Величина, характеризуемая Ц. и., есть аффинный вектор трех измерений, ято непосредственно следует из Грассмана законов. Измеряемый цвет (вектор М) представляют как линейную комбинацию трех единичных векторов Е , Е , А з — основных цветов прибора, образующих прямолинейную систему координат трехмерного цветового пространства. Результат измерения записывается в виде векторного цветового уравнения [c.388]

В римановом субпроективном пространстве вектор р всегда является градиентом2), и если не считать исключительного слу-чш, в котором в —однородная функция первой степени, то всегда можно перейти в каноническую систему координат. Это во многих случаях значительно облегчает выкладки ). Заметим еще, что каноническая система координат задана с точностью до любого аффинного преобразования (2) при этом условие /> = 0 сохраняется. [c.167]

Мы видели, что полный 4-импульс любой асимптотически лоренцевой системы определяется одним из интегралов (11.183), (11.266) или (11.272), а его распределение по пространству — времени однозначно не определено. С точки зрения общего принципа относительности не совсем удовлетворительно, что величины, определяющие Pi или Р являются 4-векторами только относительно асимптотически линейных преобразований. Ранее мы установили, что 4-импульс частицы, которую можно рассматривать как островную систему малой пространственной протяженности, является 4-вектором в произвольной системе пространственно-временных координат. Поскольку различие между малой и большой системами — понятие трудноопределимое, естественно было бы потребовать, чтобы удовлетворительная теория давала выражение для 4-импульса любой изолированной системы, который являлся бы свободным 4-вектором относительно произвольных пространственно-временных преобразований. Можно показать, что для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы суперпотенциал был истинной (не только аффинной) тензорной плотностью ранга 3 [182]. Ясно, однако, что такой объект невозможно сконструировать из метрического теизора gik и его первых производных gik, а следовательно, нельзя удовлетворить указанным требованиям. В ряде статей автора настоящей монографии [176, 178 — 181] был указан путь преодоления этих трудностей, а именно описывать гравитационное поле не метрическим тензором gik [х), а тетрадным полем (д ). Связь между ними в каждой точке дается формулами (9.81) и (9.86> [c.342]

КИМ Простым соотношениям, какие удается получить для кинематики и статики. Это связано с тем, что при составлении винтовых уравнений динамики твердого тела необходимо установить соответствие между двумя пространствами дважды (во-первых, между пространством векторов угловых скоростей и пространством кинематических винтов, а во-вторых, между пространством векторов сил и пространством силовых винтов) и с тем, что комплексный оператор, связывающий кинематический и силовой винты, не может быть получен из соответствующего аффинного оператора, связывающего вектор угловой скорости с моментом, путем замены вещественных величин комплексными ). Вследствие этого многие задачи динамики и статики приходится решать на основании общей теории винтов при выражении винтов с помощью шести плюккеровых координат. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...