Преобразование аффинное вектора

Принято говорить, что вектор а получается аффинным преобразованием из вектора при помощи матрицы Ц Д, в записи это выглядит так [c.267]

В предыдущих параграфах мы рассматривали множество величин, которые для полной группы общих пространственно-временных преобразований являлись векторами и тензорами. Однако часто приходится иметь дело с величинами, которые ведут себя как тензоры при более ограниченной группе преобразований. Например, упоминавшиеся в 9.5 аффинные тензоры являются тензорами лишь относительно линейных преобразований. Теперь исследуем подгруппу преобразований (8.59), названных в 8.13 калибровочными преобразованиями. Чтобы избежать ненужных усложнений, рассмотрим лишь такие преобразования, для которых а = дх Чдх > О, т. е. откажемся от использования часов, идущих в обратном направлении. Таким образом, рассматриваемые калибровочные преобразования имеют вид [c.251]

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. [c.10]

Доказательство. Пусть задано событие В. Выберем опорное событие О. Тогда в соответствии с галилеевой структурой будем иметь В = (С, <(ОВ)), где С принадлежит пространству всех одновременных с В событий. В пространстве выберем опорную точку О. Событие В можно охарактеризовать временем t и радиусом-вектором X с началом в точке О и концом в точке С. В общем случае аффинное преобразование А —> А записывается следующим образом [c.155]

Заметим, что можно рассматривать деформации непрерывной среды, ие вводя предварительно вектор перемещений и или функции гй)> у ). В этом случае можно изучить аффинное преобразование бесконечно малой окрестности точки М х ) общего вида [c.510]

Сказанное составляет принцип перенесения для комплексной векторной алгебры — алгебры винтов. На основании этого принципа таблица соответствия может быть продолжена для множества других формул таким образом, что левой ее половине, относящейся к вектору, всегда будет соответствовать правая половина, относящаяся к винтам. Замена строчных букв прописными означает замену вещественных величин комплексными. На формулы алгебры векторов можно смотреть как на неразвернутые формулы алгебры винтов написав первые прописными буквами, придаем им комплексное значение и затем развертываем. Таким образом, получаются комплексные формулы преобразования координат, формулы более общего комплексного аффинного преобразования, формулы комплексной сферической тригонометрии и др. Перенесение формул алгебры векторов на алгебру винтов теряет смысл тогда, когда модули векторов обращаются в нуль. В этих исключительных случаях соответствующие винты являются вырожденными и для них требуется специальный анализ. [c.70]

Аффинным преобразованием (отображением) называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором любая прямолинейно расположенная тройка точек переходит снова в тройку точек, расположенных на одной прямой. Отличительные свойства аффинных преобразований состоят в том, что всякая тройка координатных векторов (репер) переходит при таких преобразованиях также в тройку векторов (репер), каждая точка М [c.72]

Если в каждой декартовой системе координат заданы три числа а, С12, аз, причем при любом линейном ортогональном преобразовании координат эти числа преобразуются по формуле (7.5), то говорят, что величины аи 2, аз образуют аффинный ортогональный вектор а = Ца . В определении присутствует [c.18]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Из этих формул 1) непосредственно следует, что два равных вектора (т. е. имеющих одинаковые компоненты т], О переходят после преобразования в два равных вектора и что два параллельных вектора переходят в два параллельных, причем отношение их длин остается неизменным ), Из первого свойства следует еще, что две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры (расположенные в разных частях пространства), составленные из прямолинейных отрезков, преобразуются также в две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры. Но так как всякая геометрическая фигура может быть рассматриваема как предел фигуры, составленной из прямолинейных отрезков, то указанное свойство имеет место для всяких фигур. Это значит, что все части тела, независимо от их положения, деформируются одинаковым образом. Поэтому деформация, производимая аффинным преобразованием, часто называется однородной. [c.38]

Замечание 1. Легко видеть, что из формул преобразования вида (4) для компонент вектора вытекают формулы вида (1) для координат точки, т. е. что формулы (4) характеризуют аффинное преобразование в смысле первоначально данного нами определения. [c.38]

Роль тензора напряжений Т в варьированном состоянии отходит к тензору 0. Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности. Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора Ее коэффициенты постоянны, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, тогда Т—постоянный тензор. [c.115]

При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый доступный прием —построение решений, близких к решениям линейной теории и обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях или применение вариационных принципов допускают сведение задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.206]

Следует отметить известную работу Р. Мизеса, выпущенную в виде двух статей в 1924 г. и [ ], в которой излагается общая часть и приложения так называемого моторного исчисления (мотор — соединение слов момент и вектор , т. е. тот же винт). В этой работе автор вначале исходит из геометрического описания мотора с помощью двух прямых, а затем вводит шесть координат мотора и операции над моторами — скалярное и моторное умножение. Далее вводятся моторные диады и матрицы аффинного преобразования. В моторном, как и в винтовом исчислении, обнаруживается аналогия с векторными операциями. Однако принцип перенесения в работе Мизеса не нашел отражения. Мизесом рассмотрены приложения к динамике твердого тела, к теории упругости и к строительной механике стержневых систем, к гидромеханике и др. [c.13]

Из формулировки принципа перенесения видно, что он заключается в а) использовании взаимно однозначного соответствия пространства моторов (комплексных векторов), отнесенных к некоторой точке, и пространства винтов и б) переходе от пространства векторов с общим началом к пространству моторов, отнесенных к этому началу. Взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами есть геометрический факт, остающийся в силе при любых аффинных ортогональных преобразованиях, т. е. при любых движениях, сохраняющих длину вектора и угол между двумя произвольными векторами, а следовательно, это соответствие имеет силу для любых движений твердого тела. Что же касается перехода от векторов к моторам, то он осуществляется с помощью комплексных величин и действий над ними, причем необходимо, чтобы то или иное уравнение, связывающее механические величины изображаемые векторами, при замене вещественных величин комплексными становилось уравнением между величинами, изображаемыми винтами. Но это возможно только при выполнении того условия, чтобы соответствующие функциональные выражения имели вид соответственно (5.94), (5.98), (5.104) и (5.105), т. е. чтобы они удовлетворяли условию аналитичности . [c.143]

При отнесении винта к прямоугольному базису с помощью координат операция аффинного преобразования вектора г и момента г винта к новой системе сведется к умножению на эти векторы матриц [c.173]

Заметим, что все рассуждения были проведены применительно к вектору р, выходящему из центра частицы О. Но, на основании свойств аффинных преобразований, изменение длин всех параллельных отрезков одинаково, и поэтому произвольный малый вектор (не выходящий из точки О) испытывает те же самые преобразования. Все векторы, параллельные оси х, удлиняются на е М, параллельные у — на и параллельные 2 — на esdt, произвольный вектор р удлиняется на на каждую единицу длины. [c.106]

Векторная гомография инерции. Соответствие между двумя векторами ю и /С, которое мы только что изучали с геометрической точки зрения и которое по отношению к любым подвижным осям аналитически представляется равенствами (30 ), а по отношению к главным осям инерции относительно точки О — равенствами (30" ), является первым примером тех взаимно однозначных соответствий между (переменными) векторами, которые по отношению к какой-нибудь системе отсчета устанавливаются путем определения составляющих одного из двух векторов в виде линейных функций от составляющих другого. Это так называемые векторные гомографии (или аффинные преобразования) это название дал им Бурали-Форти, а Марколонго в последние годы развил их теорию ). [c.246]

Если аффинное преобразование однородно, то под координатами х , x j , Хдд И х д , х д , Хзд можно понимать проекции вектора на оси координат. В таком случае аффинор — верзор следует рассматривать как оператор, переводящий один вектор в другой. [c.74]

Пакет ГРАФОР представляет собой набор подпрограмм, написанных на ФОРТРАНе. Этот пакет имеет четырехуровневую структуру (рис. 9.2). На нижнем уровне находятся программы связи с операционными системами (ОС) ЭВМ и графическими устройствами, на следующем уровне — программы, реализующие элементарные графические операции (утилиты) перевод пера в указанную точку, вычерчивание вектора, дуги, окружности, эллипса, произвольного текста и т. п. Третий уровень пакета предназначен для отображения плоских изображений, к нему относятся аффинные (линейные графические) преобразования на плоскости [c.231]

В римановом субпроективном пространстве вектор р всегда является градиентом2), и если не считать исключительного слу-чш, в котором в —однородная функция первой степени, то всегда можно перейти в каноническую систему координат. Это во многих случаях значительно облегчает выкладки ). Заметим еще, что каноническая система координат задана с точностью до любого аффинного преобразования (2) при этом условие /> = 0 сохраняется. [c.167]

Мы видели, что полный 4-импульс любой асимптотически лоренцевой системы определяется одним из интегралов (11.183), (11.266) или (11.272), а его распределение по пространству — времени однозначно не определено. С точки зрения общего принципа относительности не совсем удовлетворительно, что величины, определяющие Pi или Р являются 4-векторами только относительно асимптотически линейных преобразований. Ранее мы установили, что 4-импульс частицы, которую можно рассматривать как островную систему малой пространственной протяженности, является 4-вектором в произвольной системе пространственно-временных координат. Поскольку различие между малой и большой системами — понятие трудноопределимое, естественно было бы потребовать, чтобы удовлетворительная теория давала выражение для 4-импульса любой изолированной системы, который являлся бы свободным 4-вектором относительно произвольных пространственно-временных преобразований. Можно показать, что для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы суперпотенциал был истинной (не только аффинной) тензорной плотностью ранга 3 [182]. Ясно, однако, что такой объект невозможно сконструировать из метрического теизора gik и его первых производных gik, а следовательно, нельзя удовлетворить указанным требованиям. В ряде статей автора настоящей монографии [176, 178 — 181] был указан путь преодоления этих трудностей, а именно описывать гравитационное поле не метрическим тензором gik [х), а тетрадным полем (д ). Связь между ними в каждой точке дается формулами (9.81) и (9.86> [c.342]

В случае конечной деформации бесконечно малой частицы ереды движение также сводится к повороту и чистой деформации. Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинного преобразования Ц Ц, можно, но эта задача сложна. В случае движения бесконечно малой частицы сплошной среды за время dtf когда описывающее его преобразование является бесконечно малым аффинным преобразованием, вектор поворота равен са dt. [c.106]

Как правило, графические пакеты содержат подпрограммы не только описания графических примитивов или геометрических фигур, построенных из примитивов, но и подпрограммы, осуществляющие операции над ними, например переноса, поворота, масштабирования, симметричного нзображения (аффинные преобразования), а также логические преобразования (пересечение, объединение и др.) геометрических объектов. Пакет Эпиграф содержит такие п/п. Например, п/п FMOVE перемещает ГО на определенное расстояние, заданное вектором, для чего следует обратиться к ней с соответствующими данными, указываемыми I) списке параметро ) (и скобках). [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...