Задача двух тел движения

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

Задача двух тел. Рассмотрим теперь задачу, которая внешне кажется отличной от рассмотренной выше задачи о движении точки в потенциальном поле центральной силы, а в действительности легко сводится к ней. [c.95]

Если движение начинается при Гц>л, то в этом случае точки движутся независимо до тех пор, пока г не окажется равным г. Затем при г <г возникают условия задачи двух тел до тех пор, пока вновь не окажется г = г. Если г продолжает расти, то взаимодействие заканчивается и точки движутся независимо одна от другой до тех пор, пока г, уменьшаясь, снова не достигнет значения г. В системе координат, начало которого помеш,ено в одной из рассматриваемых материальных точек, поверхностями уровня служат сферы радиусами г сфера радиусом л = /- является поверхностью нулевого уровня и вне ее поверхностей уровня нет. [c.97]

Рассматривая временное центральное взаимодействие, будем интересоваться лишь тем, как изменились скорости точек в результате взаимодействия, а не деталями движения в процессе взаимодействия. Как и в общей задаче двух тел, сначала будем пользоваться центральной системой, а затем перейдем к исходной инерциальной системе отсчета. Условимся приписывать индекс С радиусам-векторам и скоростям, подсчитанным относительно центральной системы, т. е, примем обозначения, собранные в табл. II. [c.98]

Исходя из результатов, полученных для задачи двух тел, найдем соответствующую поправку к третьему закону Кеплера. Рассмотрим движение вокруг Солнца двух планет с массами и j- По формулам (17) и (47) будем иметь [c.397]

Плоскость Лапласа перпендикулярна вектору кинетического момента системы и не меняется при движении материальных точек. Сами точки не обязаны перемещаться в плоскости Лапласа. В случае задачи двух тел зта плоскость может быть построена как геометрическое место линий пересечения плоскостей 7 1 и образованных радиусами-векторами и векторами скорости соответственно каждого из тел. [c.389]

Что можно сказать о движении центра масс системы в задаче двух тел (см. 3.11) Тот же вопрос для задачи п тел. [c.439]

Что можно сказать о кинетическом моменте системы в задаче двух тел Тот же вопрос для задачи п тел. Какие геометрические особенности движения следуют из свойств кинетического момента в этих задачах [c.439]

Рассмотрим задачу, обратную изученной в 4. Именно, возьмем две точки с массами т w М, которые притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, и определим нх относительное движение. Поставленная проблема получила в астрономии название задачи двух тел. В применении к планете р и Солнцу s эта проблема представляет собой исследование механической структуры солнечной системы. [c.152]

При проведении предыдущих вычислений было принято, что Солнце неподвижно, т, е. мы рассматривали так называемую ограниченную задачу двух тел. Если принять во внимание движение Солнца, вызванное притяжением планеты, то оказывается, что третий закон Кеплера точен лишь тогда, когда отношение массы каждой планеты к массе Солнца равно нулю. В действительности в третий закон Кеплера нужно вводить поправки, зависящие от отношения массы каждой из планет к массе Солнца. Поэтому и постоянные Гаусса р различны для разных планет. Здесь мы не будем изучать этот вопрос. [c.397]

Эта задача на движение одного тела нам надо решить ее, чтобы найти вектор г как функцию времени. В исходной задаче двух тел, сформулированной в виде системы уравнений (42), нужно было определить зависимость двух векторов ri и Гг от времени. [c.282]

Исходя из уравнения (50), мы можем найти рещение для движения тела относительно М2, как если бы М2 было закреплено в начале координат инерциальной системы отсчета, но только в качестве массы надо подставить в левую часть уравнения (50) ii, а не М. Таким образом, мы свели задачу двух тел к задаче о движении одного тела, имеющего массу ц. Заметим, однако, что величина силы, входящей в уравнение [c.282]

Задача двух тел для однородных шаров или материальных точек была выше сведена к задаче о движении одного тела, задаваемой з равнением (50) сРт [c.285]

Интеграл энергии в задаче двух тел. Кинетическая и потенциальная энергия точки Р в ее движении относительно притягивающего центра О определяются равенствами [c.199]

Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определяемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, одпо-значно определяемых по начальным условиям Q, i, р, е, со, t. [c.204]

Пример. Я задаче двух тел. Пусть S — Солнце, Р — планета, О — центр масс Солнца и планеты (рис. 109). Имеет место закон о движении центра масс Солнца и планеты, причем в уравнениях движения центра маос силы взаимодействия сократятся, так как они — внутренние. Ряс. 109 Значит, центр масс О движется равно- [c.146]

Задача изучения движения тела (ракеты) массы гп в центральном поле тяготения Земли или другой планеты без учета притяжения его Солнцем и другими небесными телами называется задачей двух тел. [c.121]

Для иллюстрации изложенных методов рассмотрим в этой главе задачу двух тел, движущихся под действием взаимного притяжения или отталкивания. Следует заметить, что задача о движении тела под действием центральной силы не всегда решается в элементарных функциях. Однако мы попытаемся исследовать эту проблему настолько полно, насколько это позволяют известные методы. [c.72]

Это относится к трехмерному случаю. В случае двух измерений, например, в астрономической задаче двух тел, имеется только один момент импульса (направленный перпендикулярно к общей плоскости траектории обоих тел) и 2 2 постоянных, содержащихся в законе движения центра тяжести (это движение происходит в плоскости траектории) таким образом, вместе с одной постоянной из закона сохранения энергии имеется [c.107]

Если пренебречь действием на систему Солнце—планета или планета—спутник других небесных тел, то к этой задаче двух тел можно будет отнести также и задачу о движении систем Солнце— планета или планета—спутник, которую мы уже рассмотрели в предыдущем параграфе, приводя ее при помощи соответствующих предположений к случаю движения точки, притягиваемой неподвижным центром. Как мы увидим из последующего изложения, эта новая постановка указанных задач, являясь менее схематичной, чем постановка, изложенная в предыдущем параграфе, приводит к приближению, несколько лучшему, чем то, которое было достигнуто при изучении движения точки, притягиваемой неподвижным относительно звезд центром (или центром, находящимся в прямолинейном и равномерном движении). [c.200]

Движение электрона в поле положительно заряженного ядра можно рассматривать как классическую задачу двух тел. Так как внешние силы равны нулю, то выполняются условия предыдущего примера и движение разделяется на две независимые составные части. Введение внешнего магнитного поля изменяет это положение дел, так как внешняя сила, отнесенная к единице массы, не будет уже одинакова для каждой материальной точки и невозможно будет выразить внешние силы как функции только от радиуса-вектора Я центра масс двух материальных точек. [c.42]

Уравнения движения. Небесная механика изучает движение небесных объектов, естественных и искусственных, под действием сил гравитационного взаимодействия тел, сил сопротивлений, вызываемых наличием пылевых, газовых и других сред, сил светового давления и т. п. Важнейшей для приложений задачей небесной механики является задача двух тел, а точнее — задача двух материальных точек. [c.234]

Замечательно то, что интегрирование дифференциальных уравнений движения в задаче двух тел сводится к квадратурам. [c.234]

Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки Р по ее орбите. Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла площадей имеем = с. Отсюда, из уравнения орбиты (15) и равенств (14), (17) и (20) получаем [c.242]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

В теории возмущений предполагается, что различие между реальной (возмущенной) системой и ее упрощенной (невозмущенной) моделью можно рассматривать как малые возмущения. Возмущения появляются, например, за счет того, что к основным силам, приложенным к точкам механической системы, добавляются некоторые другие силы, являющиеся в определенном смысле малыми по сравнению с основными силами. Например, если пренебречь влиянием Солнца и считать Землю и Луну материальными точками, то невозмущенной задачей о движении Луны вокруг Земли будет задача двух тел (материальных точек). Влияние притяжения Солнца и отличие Земли и Луны от точечных масс можно считать малыми и отнести к возмущающим воздействиям, которые можно учесть методами теории возмущений. [c.388]

В задаче двух тел (если Вселенную считать состоящей всего из двух частиц) центр масс G движется равномерно и прямолинейно. Если известно движение центра масс G, а также движение Рг относительно G, то можно определить движение Рг в пространстве совершенно так же, разумеется, мо кно определить движение частицы Р . Поскольку точка G движется равномерно, можно воспользоваться ньютоновой системой отсчета (часто так и поступают) центр масс в ней будет находиться в покое. [c.74]

Столкновение. Вернемся к задаче двух тел. Рассмотрим случай, когда а = 0 частица (в относительном движении) движется по прямой, проходящей через точку О. Без потери общности эту прямую можно выбрать 13 качестве оси Ох. Уравнение энергии (при х > 0) имеет вид [c.77]

Высказанные выше соображения относятся и к задаче трех тел. Может случиться, что в силу начальных условий два из трех тел столкнутся друг с другом в некоторый момент t = Iq. Для описания дальнейшего движения нужно принять подходящее предположение, это делается только что указанным способом. Ясно, что в течение небольшого промежутка времени после момента столкновения влияние третьего тела будет пренебрежимо мало, и в течение этого промежутка времени задачу можно рассматривать как задачу двух тел. [c.78]

Аналогичные уравнения мы будем иметь и для координат i/i и Zi, а также для координат второй планеты. При ткг = О возмущающий член R пропадает, и мы получаем знакомую нам задачу двух тел. Если масса мала, а расстояния Га и Г) 2 остаются в процессе движения достаточно большими, то влияние возмущающего члена R можно рассматривать как постепенное изменение эллиптического движения. В 25.3 мы еще вернемся к этому вопросу. [c.355]

Из этого равенства сразу вытекает, что в центральной системе . с, а значит, и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению /Сс = onst, и, следовательно, в задаче двух тел могут происходить лишь плоские движения. [c.97]

В небесной механике задача о движении двух материгипьных точек под действием сил всемирного тяготения называется задачей двух тел. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. В задаче двух тел относительное движение точек описывается уравнением движения, справедливым для одной материальной точки в поле центргичьной ньютонианской силы (теорема 3.11.2), когда в неподвижном центре помещена притягивающая масса, равная сумме масс взаимодействующих тел. [c.258]

Если в задаче двух тел сумма масс изменяется в отношении, обратном линейной функции времени, то движение можно определить путем подходящей замены переменпых. [c.217]

Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движение отдаленной точки Р известно с этой целью ограничимся наиболее замечательным случаем, в котором движение точки Р можно строго или, по KpaflHefr мере, приближенно рассматривать так, как если бы эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из которых есть точка Р, а другое — Земля, масса которой предполагается сосредоточенной в центре тяжести О в пп. 4 и 21 гл, 111 мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые движения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая скорость которых п связана с радиусом орбиты соотношением [c.321]

Такое преобразование, естественное в задаче двух тел, в случае параболического движения служит для устранения особенностей, которые появляются в уравнениях движения, относящихся к задаче трех тел, когда два из них стремятся бесконечно сблизиться (столкновение двух тел). Геометрическое и кинематическое истолкование таких преобразований см. Т. L е v i- ivita, A ta math., т. 42, 1918, гл. II, стр. 118—132. [c.365]

Для небесной механики и космодинамики наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения точки малой массы под действием притяжения двух конечных масс в предположении, что точка малой массы не влияет на движение точек конечных масс. Тем самым в ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тол сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Конечно, эта задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел. Но и она не интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах. [c.244]

Задача двух тел. Две частицы и Pj движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения. Обозначим массы частиц через nii и тп2, а расстояние Р1Р2 через г. Сила, действующая на частицу Pi, равна ym,im2lr и направлена от Pi к Рг через у здесь обозначена гравитационная постоянная. Сила, действующая на частицу Рг, равна ут т21г и направлена от Р2 к Pi. Поэтому ускорение частицы относительно частицы Pi в любой момент времени равно у (mi + m lr и направлено от Рг к Pi. Относительное движение таково же, как движение частицы Рг с ускорением, равным [c.74]

Задача двух тел. Пусть солнце S массы М и планета Р массы движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения yMmJr . Движение планеты относительно Солнца происходит так, как если бы Солнце находилось в покое, а планета двигалась с ускорением у М + mi)lr , направленным вдол ь прямой PS. Траекторией в относительном движении планеты будет коническое сечение, в фокусе которого находится Солнце. В 5.4 было дано элементарное решение этой задачи. Б этом и последующем параграфах мы снова рассмотрим относительное движение планеты, на этот раз с позиций теории квазипериодических движений. Мы ограничимся случаем эллиптических орбит, что позволит нам достаточно полно проиллюстрировать различные аспекты теории. [c.347]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Сведение к системе восьми уравнений. Вернемся к рассуждениям 29.10. Мы видели, что задача трех тел фактически может быть сведена к задаче двух тел частицы массы т, сосредоточенной в точке (х, у, z), и частицы массы J1, расноложенной в точке ( , т , при этом действующие на частицы силы обладают потенциалом —U. Движение частиц описывается системой двенадцати уравнений Гамильтона. В настоящем параграфе мы сократим число этих уравнений до восыу<и, для чего воспользуемся теорией контактных преобразований. [c.591]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...