Координаты декартовы независимые

Из этого примера видно, что вместо декартовых координат за независимые можно выбирать другие, связанные с ними величины, даже и другой размерности (угол). Эти независимые параметры называют обобщенными координатами системы и обозначают буквой д. Так, в рассмотренном примере мы могли выбрать следующие обобщенные координаты 1) q, = Ул, з = % или 2) = --Хд, [c.428]

Одно из замечательных свойств типов колебаний состоит в том, что они не преобразуются друг в друга. В этом отношении они аналогичны нормальным колебаниям механической системы, с помощью которых любое движение связанной системы точечных масс можно рассматривать как наложение одномерных колебаний, происходящих независимо друг от друга ). Аналогичным образом и общая задача об определении поля в резонаторе разбивается на более простые задачи об изучении парциальных полей с неизменной во времени геометрической конфигурацией (т. е. типов колебаний), а полное поле конструируется затем как суперпозиция типов колебаний. Такой подход характерен. для физики вообще, и простейшим примером его применения может служить разложение движения материальной точки на три парциальных движения в адекватных системах координат (декартова система в случае инерциального движения или однородного поля сил, цилиндрическая система координат для кругового движения и т. п.). [c.810]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Отсюда, выбирая в качестве независимых координат декартовы координаты точки ж, j , г и полагая [c.81]

Если пренебречь неголономными связя.ми, то система может быть описана заданием четырех независимых координат декартовых координат, х, у точки соприкосновения [c.80]

С целью определения первого слагаемого предположим, что системы координат декартовы, аХ — независимые переменные. [c.29]

Эти формулы устанавливают явную зависимость декартовых координат от независимых параметров, определяющих положение твердого тела. [c.177]

Поэтому при решении этих задач становится реально возможным принять за независимые аргументы текущие или окончательные координаты материальных точек (т. е. переменные Эйлера). Эти координаты для напряженного, т. е. уже деформированного, состояния рассматриваемого тела являются прямоугольными координатами (декартовыми). [c.114]

Эта форма уравнений, называемая уравнениями Лагранжа 1-го рода, непосредственно вытекает из второго закона Ньютона и известного принципа Даламбера. Из этих уравнений отчетливо видно, что они описывают процесс, если так можно выразиться, в явно выраженной механической форме, так как это описание производится с помощью координат обычного трехмерного пространства с использованием понятия механической массы и кинематических связей. Эта форма описания механического движения, как известно, не является единственно возможной. Можно исключить обычные пространственные координаты и геометрические связи, перейдя ко второй форме уравнений Лагранжа. При этом оказывается возможным ввести так называемые обобщенные координаты, являющиеся независимыми переменными, функционально связанными с декартовыми координатами,, и число которых равно чис- [c.32]

Направим ось Ох вдоль стержня и совместим начало отсчета с одним из концов стержня. Выбирая в качестве независимых координат декартовы координаты точек Х и х (рис. 6.8, а), для кинетической энергии системы получим выражение [c.277]

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат 6<7i, в< 2.....(105) также между собой независимы. При этом каждая из величин (105) определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы. Как при всяком переходе от одной системы координат к другой, декартовы координаты Xt , у , Zt любой точки рассматриваемой механической системы можно выразить че ез обобщенные координаты зависимостями вида x =Xk qi, [c.370]

I)), и наоборот. Величины бф и бя з определяют независимые между собой возможные перемещения системы,- Выражения декартовых координат точек А п В через обоб- [c.370]

Обобщенными координатами механической системы называются независимые друг ог друга параметры, при помощи которых можно определить в каждый данный момент положение этой системы и через которые, следовательно, можно выразить декартовы координаты всех ее точек. [c.395]

Вернемся теперь к случаю, когда задано г связей, т. е. задано г соотношений вида (57). Если якобиан этих функций отличен от нуля (а далее это всегда предполагается), то условия (57) могут быть использованы для того, чтобы выразить г из декартовых координат точек через остальные. Поэтому для того, чтобы задать положение N точек, нужно знать не >N, а 3N — г координат остальные г координат найдутся из соотношений (57). Для того чтобы определить положение системы в этом случае, разумеется, не обязательно использовать 3N — г декартовых координат —как в приведенных примерах, так и в общем случае можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы. [c.151]

Пусть на материальную систему, состоящую из п точек, наложено k связей вида (1.4). о значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. В самом деле, на Ъп координат наложено k независимых уравнений связей. Решая эти уравнения связей относительно k каких-либо координат, мы выразим эти k координат через остальные 3n — k. Эти Зп — к [c.11]

В 1.1 было установлено, что положение материальной системы, подчиненной k голономным связям, определяется S = Зп — k независимыми декартовыми координа-т,ами. Одиако во многих случаях использование декартовых координат приводит к громоздким выкладкам. Поэтому для определения положения материальной системы можно использовать другие независимые друг от друга параметры qi, qz,. q . Эти параметры могут иметь различную размерность — это могут быть углы, длины дуг, площади и т. п. Все Зл декартовых координат можно выразить через введенные параметры Чи Яь . < s [c.22]

За координаты системы можем принять в данном случае любые Зл — k декартовых координат z , которые будем считать независимыми тогда остальные k из этих координат будут функциями первых. Можно Зи — k независимых декартовых координат системы преобразовать в другие посредством точечного преобразования, выразив их в функциях Зга — k независимых переменных q ,. ....Чзп-к> [c.178]

Уравнения Лагранжа для материальной точки. Рассмотрим материальную точку, находящуюся под действием сил. равнодействующую которых обозначим F. Будем определять положение точки какими-нибудь независимыми между собой параметрами любой размерности q,, однозначно определяющими положение точки, которые назовем обобщенными координатами. Число их будет равно числу степеней свободы точки, т. е. для свободной точки их будет три, а для несвободной — две или одна. Тогда декартовы координаты точки, а следовательно, и ее радиус-вектор r = xi- -s)j- - zk можно выразить через параметры и время t, которое может вообще войти в эти соотношения или в результате соответствующего выбора координат qi, или когда на точку наложены нестационарные связи. Допустим для общности, что О [c.452]

Эти уравнения часто называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах, по имени Рене Декарта, открывшего в 1637 г. метод аналитической геометрии на плоскости одновременно с Пьером де Ферма и независимо от него. Иногда декартовыми координатами называют и систему прямоугольных координат в пространстве, хотя пространственная система координат была открыта значительно позже. [c.131]

Эту систему координат открыли в 1637 г. Рене Декарт и одновременно Пьер де Ферма, независимо друг от друга, но ее обычно называют декартовой. [c.21]

В случае криволинейного движения по плоскости имеется два дифференциальных уравнения движения точки в декартовой системе координат, а в общем случае движения в пространстве имеется система трех дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения криволинейного движения точки интегрируются сравнительно просто, если каждое из этих уравнений интегрируется независимо от других уравнений и при этом возможен один из трех рассмотренных случаев зависимости проекции равнодействующей силы от времени, координаты и скорости. [c.220]

При исследовании того или иного вопроса механики или при решении задачи независимые декартовы координаты обычно выражают через некоторые другие геометрические параметры. В кинематике, [c.322]

Переменные Эйлера. В механике сплошной среды, особенно для жидкостей и газов, а также в теории поля преимущественно используются метод Эйлера и соответственно переменные Эйлера, В методе Эйлера рассматриваются не фиксированные точки сплошной среды, а точки пространства, занятые движущейся сплошной средой. За независимые переменные принимают время ( и декартовы координаты точки М пространства х, у, г или другие параметры, характеризующие различные точки пространства. Четыре независимые переменные величины X, у, г, I называют переменными Эйлера. [c.209]

Любые п декартовых координат можно задать независимо друг от друга. Остальные координаты определятся из уравнений связей. Вместо п независимых декартовых координат можно выбрать любые другие независимые параметры дп, зависящие от всех или части де- [c.379]

Определим поверхность в декартовой системе координат как геометрическое место точек, радиус-вектор г которых относительно начала координат является функцией двух независимых параметров а, аг (рис. 10.3, а) [c.215]

Таким образом, все ЗЛ/ координат точек системы связаны между собой уравнениями (3). Эти I уравнений можно разрешить относительно каких-то переменных, число которых равно I, т. е. числу голоиомных связей. Иначе, / каких-то декартовых координат можно выразить через остальные ЗЛ/ — I координат и эти I координат можно считать функциями остальных переменных, ЗЛ/ — / координат. Число независимых координат, которое обозначим п, равно, очевидно, [c.322]

Положение твердого тела, движущегося в пространстве трех измерений, вполне определяется положением любых трех точек AB тела, не лежащих на одной и той же прямой, так как если Р есть какая-либо четвертая точка тела, то тетраэдр РАВС имеет неизменные размеры. Число координат (декартовых или иных), отнесенных к неподвижным осям, этих трех точек АБС тела равно девяти. Но эти координаты не являются независимыми друг от друга, так как они связаны соотнощениями, выражающими, что расстояния АВ, ВС и СА имеют заданные неизменные значения. Число независимых переменных или координат (в обобщенном смысле слова), которые достаточны и необходимы для определения положения тела, равно, следовательно, шести. Согласно с этим и говорят, что твердое тело, положение которого ничем не связано, имеет шесть степеней свободы". [c.7]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Уравнения, определяющие декартовы координаты точек через лагранжевы координаты и время, будем в дальнейшем называть уравнениями связи, так как они связывают декартовы координаты с независимыми лагранжевымн координатами. [c.340]

Если предположить, что среда, имеющая определяющие уравнения ац = KiipqDpq задачи 5.17, является изотропной. так что тензор К рд имеет одинаковые компоненты в любой ортогональной декартовой системе координат, то циклическим переименованием осей координат 36 независимых компо-. нент тензора Kl pq можно сократить до ц двух. Показать это. [c.195]

Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются 3N числами — значениями координат всех точек. Сохраняя обозначения Xi, iji, Zi для декартоБЫх координат, введем обозначения q ,...,qn, где n = 3N, для новых координат (цилиндрических, сферических или каких-либо иных) и будем условно называть декартовы координаты старыми , а координаты q ,. .., (/ — новыми . Тогда в силу того, что новые координаты полностью определяют положение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени [c.124]

Уравнения (22) называются уравнениями Лaгpaнжa ). Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей подробнее см. далее) оно в точности равно ЗЛ/, т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат х, у, г и выписаны Б произвольных независимых новых координатах , q . [c.129]

Тогда число назависимых координат системы будет Зя — / = г, причем декартовы координаты х , или векторные координаты г точек системы можно выразить е функциях г независимых параметров (обобщенных координат). ....q,, т. е. [c.299]

Перейдем от п независимых декартовых координат к каким-то п независимым обобщенным координатам по определенным формулам перехода, т. е. выразим независимые декартовы координаты через п тоже независимых между собой обобш.енных координат Затем благодаря уравнениям связей (3) выразим и остальные зависимые декартовы координаты через эти же обобщенные координаты. В результате окажется, что если на систему точек наложено I голономных связей, то все декартовы координаты точек системы могут быть выражены при помощи конечных соотношений через какие-то подходящим образом выбранные обобщенные координаты, число которых равно п = ЗЫ — / [c.323]

Введем понятие числа степеней свободы системы с голономпыми связями. Числом степеней свободы системы с голономпыми связями называют число независимых обобщенных координат, через которые можно выразить декартовы координаты всех точек системы. В частности, среди обобщенных координат могут остаться и некоторые независимые декартовы координаты. [c.323]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Наименьшее число параметров, необходимое для задания возможного ноложенпя системы, на.чывается числом ее независимых обобщенных координат. Так как функции /а (а=1,. .., г) независимы, то число обобщенных координат, которое мы будем обозначать т, равно 3iV — г. За обобщенные координаты можно принять т из 3N декартовых координат Ху, j/v, Zy, относительно которых можно разрешить систему уравнений (1). Однако, как правило, такой выбор обобщенных координат практически мало пригоден. Молшо ввести любые другие т независимых величин qi, Q2,. .., g , в своей совокупности онределяюпщх конфигурацию системы. Они могут быть расстояниями, углами, площадями и т. п., а могут и не иметь непосредствеиного геометрического толкования. Требуется только, чтобы они были независимы, а декартовы координаты х,, уу, Zy точек системы можно было выразить через qi, дг,. , Чт и t [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...