Дисперсионное соотношение нелинейной

Дисперсионная длина и нелинейная длина характеризуют длину, на которой дисперсионные или нелинейные эффекты становятся важными для эволюции импульса вдоль длины L световода. В зависимости от соотношения величин L, Lp и характер [c.56]

Нелинейная длина определена в уравнении (3.1.5). Из дисперсионного соотношения (5.1.7) видно, что устойчивость стационарного состояния существенно зависит от того, в области положительной (нормальной) или отрицательной дисперсии световода распространяется излучение. В случае положительной дисперсии групповых скоростей (Р2 > 0) волновое число К действительно при всех значениях Q и стационарное состояние устойчиво относительно малых возмущений. С другой стороны, в случае отрицательной дисперсии групповых скоростей (Р2 < 0) К становится мнимым при Q < и возмущение fl(z, Т) экспоненциально нарастает по г. В результате непрерывное решение (5.1.2) является неустойчивым в случае Р2 < 0. Данный вид неустойчивости называется модуляционной неустойчивостью, так как при этом возникает спонтанная модуляция стационарного состояния. Похожие виды неустойчивости встречаются во многих других нелинейных системах. Их часто называют неустойчивостями, вызванными самовоздействием [32, 33]. [c.106]

В [8.30] для получения очень коротких волн было применено два нелинейных оптических процесса преобразования высших порядков. Как уже упоминалось, эффективность преобразования при таких процессах весьма мала. Для хотя бы частичной компенсации связанного с процессом преобразования уменьшения мощности в этом эксперименте не только повышалась мощность основной волны, но и применялся согласованный усилитель после первого каскада преобразования частоты. Исходными являлись импульсы лазера на красителе длительностью б ПС с длиной волны 579 нм. После прохода через три усилительных каскада эти импульсы преобразовывались в парах стронция в третью гармонику с длиной волны 193 нм. Затем маломощные ультрафиолетовые импульсы усиливались тремя последовательными усилителями на основе ArF -эксимерного лазера и их мощность доводилась от З-Ю до 4-10 Вт. Вследствие широкой полосы эксимерного усилителя длительности импульсов в процессе усиления увеличивались лишь незначительно. Наконец, при помощи полученных ультрафиолетовых импульсов в водороде генерировались третья (Я=64 нм) или пятая (Я = 38 нм) гармоники. Для подбора дисперсионных соотношений и, следовательно, удовлетворения условия фазового синхронизма к водороду в качестве буферного газа примешивался аргон. Мощность третьей гармоники достигла 20 кВт при длительности импульсов 10 пс. [c.286]

Можно ожидать, что обычными дисперсионными соотношениями не исчерпываются те соотношения, которые являются следствием аксиом квантовой теории поля. Имеются в виду нелинейные и дифференциальные по заряду соотношения типа (22), приводящие к ограничениям на нули амплитуды рассеяния и ее производных по заряду. [c.42]

Рассмотрим теперь возможные значения волнового числа при заданных частотах. Для этой цели, как и в линейном приближении, часто можно пренебречь нелинейными поляризационными членами. Как известно, в предположении слабого затухания волн дифференциальное уравнение (1.32-16) приводит в линейном случае к дисперсионному соотношению вида [c.99]

Принимая во внимание свободу выбора особенностей в нижней половине плоскостей саг, можно для линейных и нелинейных восприимчивостей вывести дисперсионные соотношения (ср. ч. I, разд. 1.13). [c.246]

В гл. 1 мы определили диспергирующие и диссипирующие волны при помощи дисперсионного соотношения, полученного методом Фурье. Мы не можем применить метод Фурье к нелинейным уравнениям и поэтому должны найти другой способ классификации этих волн. Обычно говорят, что волна, описываемая нелинейным уравнением, является диссипирую-щей или диспергирующей в зависимости от того, является ли диссипирующей или диспергирующей волна, описываемая соответствующим линеаризованным уравнением. В настоящей главе наши усилия будут направлены на определение в этих уравнениях сравнительной роли нелинейных членов и членов, содержащих производные второго порядка и выше по пространственной координате. [c.30]

В уравнении (3.3.7) волновой вектор к нелинейной поляризации определяется векторной суммой волновых векторов электромагнитных волн, которые взаимодействуют в среде и наводят при этом нелинейную поляризацию. В левой же части уравнения волновой вектор к генерируемой волны связан с частотой со = со дисперсионным соотношением для электромагнитных волн [c.207]

Предыдущие выводы обладают большой гибкостью, и такой подход естественным образом допускает различные альтернативы, рассмотренные нами. Становится также ясным, что данные уравнения применимы ко многим задачам о диспергирующих волнах, совершенно не связанных с волнами на воде. Любое дисперсионное соотношение с нечетной функцией со (и) с точностью до двух первых членов можно представить в виде (13.89) или (13.94), а тогда уравнения (13.90) и (13.95) будут описывать линеаризованную теорию. После этого остается лишь обсудить вид нелинейных членов, и члены в (13.91) или (13.99) довольно типичны. Например, именно так получаются эти уравнения в физике плазмы. [c.446]

Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.) положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные результаты во-первых, в нелинейных системах могут, существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явления, а не только численные поправки. [c.453]

В нелинейном случае амплитудный параметр А не выпадает из равенства (14.7) и мы получаем характерную зависимость дисперсионного соотношения от амплитуды. [c.469]

Наиболее существенным членом является со а к) да /дх, поскольку он содержит производную от а и приводит к поправке О (а) к характеристическим скоростям. Другой новый член всего лишь подправляет коэффициент существовавшего ранее члена с дк/дх и, следовательно, дает вклад только на уровне О (а ). Аналогичным образом для малых амплитуд нелинейные добавки в (14.15) имеют порядок и приводят к поправкам порядка к коэффициентам существовавших ранее членов с да дх и дк/дх. Следовательно, в первом приближении нелинейные эффекты можно учесть очень просто, используя только новое дисперсионное соотношение и уравнения [c.470]

В полностью нелинейном случае труднее отделить функциональную форму функции Ф< > от дисперсионного соотношения. Однако это можно сделать, записав уравнения в виде уравнений Гамильтона. [c.479]

До сих пор мы рассматривали необходимые условия резонансного взаимодействия волнового триплета, т. е. задачу, связанную только с линейными дисперсионными соотношениями. Чтобы определить скорость обмена энергией в резонансном триплете, следует использовать полное уравнение (2.5), содержащее нелинейные члены. Его можно записать в виде [c.174]

При небольших расстройках от синхронизма эффективность нелинейного взаимодействия можно характеризовать соотношением между нелинейной длиной = Со/(еЛ КфМ) (где к = оо/со. Уф - фазовая скорость моды, М = Vo/ o, Vo = k(fii) и дисперсионной длиной Л. [c.153]

Учитывая сильное дисперсионное поглощение энергии в турбулентном пограничном слое, возникает вопрос о правомочности определения групповой скорости турбулентности на основе линейного уравнения (6.66). Для ответа на этот вопрос, в соответствии с уравнением (6.9) был рассчитан нелинейный член групповой скорости ДС/ , исходя из соотношения [c.205]

Оказалось, что в экспериментах по получению фемтосекундных импульсов [37, 38] оптимальная длина световода более чем в 2,5 раза превышает предсказанную соотношением (6.4.3). Это неудивительно, поскольку соотношение (6.4.3) основано на численном решении уравнения (6.4.1), где пренебрегается дисперсионными и нелинейными эффектами высших порядков, что недопустимо при импульсах короче 100 фс. Чтобы точно определить оптимальную длину световода, следует использовать уравнение (5.5.1), где учтены эффекты кубичной 1исперсии, дисперсии нелинейности и задержки нелинейного отклика в волоконных световодах. Как было показано в разд. 5.5, решающий вклад вносится задержкой нелинейного отклика (член, пропорциональный времени отклика 7 ). Данный эффект проявляется в виде сдвига спектра импульса в длинноволновую область (см. рис. 5.20). С длинноволновым сдвигом связана задержка оптического импульса. Такая задержка существенно влияет на взаимодействие между дисперсией и ФСМ (что определяет сжатие импульса). Численные расчеты действительно показывают, что оптимальная длина световода больше, чем предсказано уравнением (6.4.1). [c.169]

В результате Бланкенбеклер и др. [10] пришли к интересному заключению, что дисперсионные соотношения и унитарность позволяют восстановить полную амплитуду рассеяния по ее второму борновскому приближению без обращения к уравнению Шредингера, вместо которого используются нелинейные уравнения для спектральной функции двойного дисперсионного представления. Обобщение такой процедуры на релятивистский случай пригодно лишь до порога неупругих процессов. [c.19]

Дисперсионные соотношения, существующие для линейных восприимчивостей, имеют аналоги и в нелинейном случае. К сожалению, полезность их ограничивается, по-видимому, случаем генерации второй гармоники. Это было отмечено Прайсом [11] мы в данном параграфе будем следовать изложению Касперса [23]. [c.89]

Уравнения (1.36) находятся в замкнутом виде без дальнейших упрощений и выражаются через эллиптические функции Якоби. Поскольку решения / (0) выражаются через эллиптический Косинус СП 0, они называются кноидалъными волнами. Эта работа подтверждает общие выводы работы Стокса. Во-первых, существование периодических волновых пакетов с произвольной амплитудой а проверяется непосредственно. Во-вторых, это решение дает конкретное дисперсионное соотношение между со, х и а, причем главным нелинейным эффектом снова является то, что в это соотношение входит амплитуда. [c.20]

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса существование периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовашш групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16. [c.21]

Упрощенный вывод групповой скорости легко обобщить на линейные задачи с большим числом измерений и неоднородной средой. С обобщением на нелинейные задачи пока следует подождать, поскольку для таких задач дисперсионное соотношение будет содержать также и амплитуду. Для многомерных уравнений с постоянными коэффициентами точное решение все еще можно найти с помощью кратных интегралов Фурье, а методом стационарной фазы можно получить асимптотическое разложение. Легко показать, что в случае ппространственных измерений решение имеет следующий вид [c.367]

Здесь мы впервые сталкиваемся с самым важньш свойством нелинейных диспергирующих волн в дисперсионное соотношение, свя зывающее частоту со и волновое число и, входит амплитуда. [c.451]

В статье дается обзор различных применений вариационных методов п теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде затем этот принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать более общие дисперсионные соотношения важное приложение этого подхода, развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие трудности в понимании опрокидывания волн на воде, [c.12]

К настоящему времени выполнено также полное исследование стоксовых волн на воде произвольной глубины (Уизем, [12]). В дополнение к нелинейности, вносимой дисперсионным соотношением, здесь имеет место взаимное влияние волнового движения и изменений средней высоты Ь и скорости Р для глубокой воды этим взаимным влиянием можно пренебрёчь, поэтому предыдущий результат остается справедливым. Для конечной глубины это взаимное влияние приводит к уменьшению скорости роста модуляций, а для мелкой воды уравнения меняют тип и цуги волн становятся устойчивыми. [c.27]

Спектры на рис. 3 и 4 хорошо иллюстрируют это обстоятельг ство. Напротив, каждая компонента Фурье волны (5.3) представляет собой точное решение уравнений Навье—Стокса (по существу, тривиальное, так как нелинейные инерционные члены тождественно равны нулю) ограничений на амплитуду нет. Следовательно, при взаимодействии этих волн заранее нет причин, по которым не возникают вынужденные компоненты с волновыми векторами и частотами, не подчиняющимися дисперсионным соотношениям (5.4), и амплитудами, сравнимыми с амплитудами первичных волн. [c.158]

Смещения частиц (и групповая скорость волн) направлены вдоль фазовых поверхностей - гребней и впадин волновых пучков. В частности, в области порождения (дивергенции фазовых поверхностей) частицы движутся вертикально, а в зоне конвергенции - горизонтально. Максимальные амплитуды внутренних волн наблюдаются вблизи вертикальной оси, где заметно проявляются диссипативные и нелинейные эффекты. Поскольку длины генерируемых волн достаточно велики, в поле зрения диаметром 23 см видны только части волновых поверхностей. В соответствии с дисперсионным соотношением со = Л со80 угол наклона фазовой поверхности к вертикали 0 позволяет определить локальное значение частоты волны ю [13]. [c.43]

Для получения наиболее коротких импульсов необходимо обеспечить возможно большую ширину полосы дополнительных оптических элементов в резонаторе, так чтобы полоса частот ограничивалась результирующей линией усиления. При более грубой оценке ширину полосы частотно-селективного фильтра можно заменить шириной эффективной линии усиления. Однако в деталях действие линейного оптического фильтра отличается от эффекта ограничения полосы самой линией усиления, так как ширина последней определяется насыщающимися, т. е. нелинейными, оптическими элементами. Это обстоятельство исследовалось Рудольфом и Вильгельми [6.36], которые не пренебрегали членом dp 2ldt в уравнении для элемента матрицы плотности pi2 [см., например, уравнение (1.60)], а путем последовательных аппроксимаций учли зависящие от этого члена два последующих поправочных члена. В результате они получили уравнения, аналогичные (6.39), с дополнительными членами, учитывающими ограничение полосы частот линией усиления. Для случая компенсации в резонаторе чирпа в импульсе подобранным линейным оптическим элементом были найдены решения, соответствующие условию ф/ г12 = й ф/ г1 = 0 в максимуме импульса. Для критического значения дисперсионного параметра г линейного оптического элемента, при котором чирп компенсируется, может быть получено следующее соотношение [c.214]

В целом результаты поляритонного рассеяния позволяют сделать важные выводы о свойствах вещества молекул (в жидкостях) и кристаллов. Во-первых, возникает связь между величинами, доступными измерениям, и атомными величинами в качестве примера можно указать на соотношение (3.16-60) для стоксова коэффициента усиления. Во-вторых, становится возможным определение важных макроскопических оптических величин, таких как характеристические параметры в нелинейных восприимчивостях, в дисперсионных и в релаксационных соотношениях. В определенных случаях из поляритонного рассеяния определяются оптические величины в таких областях длин волн, для которых при других методах возможны только экстраполяции. Например, в области сильной поляритонной дисперсии были определены коэффициенты поглощения и показатели преломления в инфракрасном диапазоне. Большой интерес представляют измерения времен жизнц возбужденных колебательных состояний решетки. Изменяя направления входного луча и поляризации по отношению к пространственному положению кристалла и измеряя угловое распределение возникающего излучения, можно [c.394]

Связанные солитоны [31]. Как мы видели в гл. 17, при резонансном взаимодействии трех (или двух) пространственно однородных или стационарных волн в среде с квадратичной нелинейностью обмен энергией и, следовательно, изменение амплитуд волн осуществляется не при любых фазовых соотношениях между ними. При определенных разностях фаз возможно существование стационарного состояния (на рис. 17.5 ему соответствуют состояния равновесия), в котором амплитуды волн не меняются. Естественно предположить, что подобное состояние должно существовать и при взаимодействии модулированных волн — волновых пакетов, если изменение фаз при их нелинейном взаимодействии сбалансируют эффекты дисперсионного расплывания. На спектральном языке это, по существу, тот же самый нелинейный сдвиг частоты, компенсирующий линейный рассинхронизм, о котором мы говорили в связи с генерацией сателлитов и установлением солитонов огибающей при распространении волнового пакета в среде с кубичной нелинейностью. В простейшей постановке, когда взаимодействуют основная волна ш и ее вторая гармоника 2ш, а дисперсионные эффекты внутри узкого спектрального интервала существенны лишь на основной частоте, мы приходим к стандартному уравнению, описывающему солитоны и двумерные волноводы в среде с кубичной нелинейностью Р/<1 — аа - - [c.429]

Смотреть страницы где упоминается термин Дисперсионное соотношение нелинейной : [c.325] [c.305] [c.310] [c.185] [c.76] [c.213] [c.9] [c.104] [c.4] [c.458] [c.466] [c.470] [c.552] [c.553] [c.575] [c.28] [c.324] [c.56] [c.72] [c.191] [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...