Компоненты деформаций перемещений

Определение полей деформаций включает получение и регистрацию муаровых полос, их обработку, аппроксимацию и дифференцирование значений перемещений для определения деформаций. По картинам полос, полученным последовательно в трех направлениях линий эталонной сетки, находят три компоненты деформаций в плоскости исследуемой поверхности. [c.338]

Естественно предположить, что компоненты вектора перемещений и, а следовательно, напряжений и деформаций будут зависеть от времени таким же образом, как и функции (2.393) -(2.395) [c.107]

Под компонентами деформации понимаются относительные удлинения и сдвиги, зависящие от напряженного состояния в окрестности рассматриваемой точки. Положим, что из тела выделили бесконечно малый параллелепипед (рис. 7). В результате деформации тела каждая из вершин выделенного параллелепипеда будет иметь свое перемещение А—Ль В—В], О—Dь С—Сь [c.13]

Увг а Е Установим зависимость компонентов деформаций от компонентов перемещений. Перемещения и и V, соответствующие перемещениям точки в радиальном и окружном направлениях. [c.33]

В статических задачах термоупругости температурное поле является стационарным. Задачи, в которых не учитывают эффект связанности температурного поля деформаций, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем, называют квазистатическими. В этих задачах тепловые напряжения в упругом теле в рассматриваемый момент времени определяются при известном температурном поле (время здесь является параметром). При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных принимают компоненты вектора перемещений или тензора напряжений. В соответствии с этим различают постановку задачи термоупругости в перемещениях или в напряжениях. Во всех случаях, если это особо не оговаривается, упругие и термические коэффициенты предполагают постоянными. [c.91]

Если даны три компоненты непрерывного поля перемещений м, то по ним легко определяются соответствующие шесть компонент поля деформаций по формулам Коши (2.14). Сложнее обстоит дело с обратной постановкой задачи. Если заданы шесть компонент деформаций [c.34]

Теперь через компоненты вектора перемещения и определим компоненты тензора деформации Впь- Из рис. 10 видно, что [c.48]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

В сферической системе координат (г, ф, физические компоненты вектора перемещения и обозначим через Нг, ф, а физические компоненты тензора деформации в той же системе координат—через вгг, е,рф, ещ, вщ, е г- Согласно формулам (1.49) и [c.54]

Заметим, что пропорциональность ме щу компонентами напряжений и компонентами деформации в каждой точке тела (обобщенный закон Гука) не всегда приводит к заключению о существовании прямой пропорциональности между величинами внешних нагрузок и перемещений, а следовательно, и к закону сложения отдельных действий — принципу независимости действия сил. В отдельных случаях (например, в так называемых контактных задачах, см. [6], [72], [74]), линейная связь между компонентами напряжений и компонентами деформаций приводит к нелинейной зависимости между силами (например, нагрузка на шар) и перемещениями (смятие шара и т. п.). [c.6]

Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22]

Аналогично находятся зависимости для других компонент тензора деформации от компонент вектора перемещения. В результате получим следующие дифференциальные зависимости Коши в сферических координатах [c.130]

Ссылаясь на (6.56), получаем зависимости между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения в полярных координатах [c.261]

Зная перемещения во всех точках конечного элемента, определяем компоненты деформации о помощью соотнощения, которое в матричной форме можно записать так [c.331]

Таким образом, перемещения иг, компоненты деформации и компоненты напряжения определяются равенствами (9.449), (9.451) и (9.460) в зависимости от перемещений узлов конечного элемента. [c.332]

Естественно, что между узловыми силами и узловыми перемещениями существует определенная зависимость. Д [я установления этой вависимости воспользуемся принципом возможных перемещений. Придадим узлам конечного элемента некоторые кинематически возмож-йые перемещения би , которым будут соответствовать вариации компонент деформации бе . Тогда работа внешних сил R , равная сумме произведений компонент узловых сил на соответствующие компоненты узловых перемещений, в матричной форме запишется в виде [c.333]

Теперь найдем энергию деформированного кристалла. Рассмотрим кристалл, имеющий до деформации форму единичного куба, и предположим, что он испытывает малую однородную деформацию с компонентами га- Пусть теперь компонента деформации ей возрастает до ец + еп, тогда как остальные компоненты деформации и центр куба останутся на месте. При этом каждая из двух граней, перпендикулярных Ох, сместится по направлению от центра куба на а остальные грани просто увеличатся по площади, но их центры останутся на месте. Поэтому работа, связанная с этими 4 гранями, будет равна нулю, а работа, произведенная силой, действующей на грани, нормальные Ох, будет равна произведению нормальной компоненты силы оц на суммарное перемещение обеих граней, т. е. стц ец- [c.194]

Выражения компонент деформации через перемещения [c.244]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Точно таким же способом, если считать заданными перемещения qt, компоненты деформации представятся как линейные функции от д<, поэтому [c.262]

Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как это было сделано для общей теории в 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба w, производные от перемещений мы сохраним лишь в первой степени. Повторяя вывод 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в этом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам [c.411]

Здесь Ui — функции только координат, но не времени. Аналогичным образом представятся, очевидно, компоненты деформации и напряжения. Обозначая теперь через щ, Оу амплитуды перемещений и напряжений, так что Ui=Ui, мы получим вместо (13.1.3) следующую систему [c.433]

Вместо зависимостей (2) между деформациями и перемещениями мы введем теперь девять компонент деформаций Е,у (причем из определения [c.31]

Если из предыдущих уравнений найдены компоненты напряжения, то компоненты деформации можно определить, используя закон Гука, выраженный уравнениями (3) и (6). Тогда перемещения и W V можно получить из уравнений [c.58]

Ранее было показано (см. стр. 49), что в случае постоянных объемных сил распределения напряжений как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации являются одинаковыми. Однако перемещения для этих двух задач различны, так как в случае плоского напряженного состояния компоненты деформации, входящие в уравнение (а), определяются формулами [c.58]

Вращение на третьем шаге, очевидно, является вращением направлений главных деформаций и, следовательно, не зависит от выбора осей х, у, г. Его можно определить при заданных перемещениях , у, гг . В то же время это вращение, очевидно, не зависит от компонент деформации. [c.242]

Следует заметить, что шесть компонент деформации в каждой точке полностью определяются тремя функциями и, v, w, представляющими компоненты перемещения. Следовательно, компоненты деформации как функции х, у, z не могут быть произволь- [c.246]

Когда из вышеприведенных уравнений найдены компоненты напряжения, можно получить компоненты деформации, используя закон Гука (формулы (3) и (6)). Затем для определения перемещений и, v, w можно использовать соотношения (2). Дифференцируя соотношения (2) по х, у, г, можно получить 18 уравнений, содержащих 18 вторых производных от и, у, w, ил которых можно определить все эти производные. Например, для компоненты перемещения и получаем [c.249]

Один из методов решения задач теории упругости состоит в исключении компонент напряжения из уравнений (123) и (124) с помощью закона Гука и в вырал<ении компонент деформации через перемещения с использованием формул (2). Таким путем мы приходим к трем уравнениям равновесия, содержащим только три неизвестных функции и, и, w. Подставляя в первое из уравнений (123) нормальное напряжение [c.250]

Виртуальные перемещения б , би, bw соответствуют приращениям шести компонент деформации, определяемым формулами [c.261]

При сделанных предположениях ) (а) п (б) относительно перемещений, мы можем вычислить из уравнений (2) компоненты деформации, которые в данном случае имеют вид [c.301]

На рис. 1.10 представлены распределения полей пластических деформаций и напряжений в диске в процессе его нагружения (т=4,8 мкс, Иг(г=йо =0,24 мм, евв1г=л =Ыг/Ло = 3 %, где Ur—перемещение по оси г еее — окружная деформация). Видно, что распределение НДС по сечению диска неоднородно и имеет ряд особенностей. Так, если в центральной части диска распределение всех компонент деформации достаточно однородно по высоте диска, то при выходе на поверхность диска со стороны внутреннего отверстия радиальная е и осевая [c.40]

Шесть компонентов деформаций, выраженных через три компонента перемещений в зависимости (1-9), можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно перемещений и, V, т, если компоненты деформации (Ех, Еу, EZ, Уху, Уух и Ужг) ЯВЛЯЮТСЯ ЗЭДаННЫМИ фуНКЦИЯМИ X, у, 2. Поскольку имеется шесть уравнений относительно трех неизвестных функций, то в общем случае нельзя считать, что эти уравнения будут иметь решения при произвольном выборе компонентов деформаций. На компоненты деформации должны быть наложены условия, позволяющие этим шести уравнениям дать систему однозначных непрерывных решений для трех компонентов перемещений. Если произвольно задать компоненты деформаций ех, Еу, Ег, Уху, Ууг И ужг), ТО упругое тело, мысленно раз-битое на малые элементарные параллелепипеды после их деформации, может потерять сплошность, иметь разрывы. [c.15]

Можно доказать, что уравнения совместности деформаций являются необходимыми условиями для возможности определения перемещений по заданным компонентам деформации. Если рассматривается односвязанное тело, не имеющее сквозных полостей, то условия Сен-Венана оказываются достаточными для этой цели. Для многосвязанного тела условия Сен-Венана также позволяют определить перемещения (и, V, т), однако, в этом случае эти перемещения могут представиться как многозначные функции от X, у, г, и требуется введение дополнительных условий. Уравнение совместности деформаций всегда удовлетворяется, если найденные компоненты тензора деформаций имеют постоянное значение и являются функциями декартовых координат (так как вторая производная будет равна нулю). [c.16]

В контактной. 5адаче наиболее ин( )ормативной частью относительно влияния начального напряженного состояния является характер дс-(1)ормирования поверхности в окрестности отпечатка. Распределениям деформаций и перемещений в этой зоне характерны локальность и высокие градиенты изменения. В связи с этим в качестве способа измерения используется голографическая интерферометрия с регистрацией нормальной компоненты вектора перемещения, а в качестве исходной информации, соответственно, нормальные деформационные перемещения. [c.65]

Компоненты напряжений совершают работу на соответствующих компонентах деформаций. Пусть, например, элемент с размерами <1х, с1у, с12 получает возможное перемещение в направлении оси х (рис. 5.2, а). Неизменное усилие а (1у<12 совершает на этом пути возможную работу 8 = (а ,с1ус12) Ых. Остальные усилия, действующие на рассматриваемый элемент, работы в принятой схеме возможных перемещений не совершают. [c.122]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

Предположим, что перемещение щ некоторой точки тела Мо хо) задано, ищется перемещение точки М х). Соединим точки М и М произвольной кривой, будем обозначать текугцие координаты этой кривой Величины компонент деформации на этой кривой заданы. Предположим на время, что заданы также компоненты тензора вращения й),]( ). Считая перемещения малыми в указанном выше смысле, заметим, что из (7.2.7) и [c.216]

Таким образом, шесть формально введенных компонент деформации выражаются через вектор Xi точно так же, как определенные обычным способом компоненты деформации выражаются через вектор Ui. Теперь, зная е , можно определить Х интегрированием по формулам Чезаро и получить обычным способом уравнения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излишне говорить, что введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор "ki представляет собою в действительности вектор перемещения [c.258]

Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-лературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г , следовательно, напряжения убывают как 1/г , т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы ы,- = i]),,- дают полное решение для неограниченной среды. В 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = 0), так и для точек матрицы (и =/= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат [c.384]

Если величины ссц постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если ец = е] представляют собою лпнеппые функции от х Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформаций и определенные по формулам Чезаро ( 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле. [c.385]

В частном случае однородной деформации компоненты перемещения и, V, W являются линейными функциями координат. Следовательно, согласно уравнениям (д), компоненть) деформаций по объему тела постоянны, т. е. в этом случае каждый элемент тела испытывает одну и ту же деформацию. [c.240]

При таком распределении приложенные усилия совершают работу лишь за счет деформации нагруженной области. Зафиксируем положение и ориентацию некоторого поверхностного элемента этой области. Если обозначить через р порядок величины (например, среднее значение) силы, действующей на единицу площади, а через а — характерный линейный размер (например, диаметр) нагруженной части, то компоненты деформации будут иметь порядок pjE, а относительные перемещения в пределах нагруженной части будут 1юрядка ра/В. Совершенная работа будет иметь порядок ра (ро/ ), или р а /Е. [c.258]

Если за отправный пункт принять перемещения, выраженные таким образом через Рис. 201. функцию ф, удовлетворяющую дифференциальному уравнению (190), то из них можно определить компоненты деформации (187), а затем компоненты напряжения (189). При этом не возникает вопроса о совместности, поскольку компоненты деформации выводятся непосредственно из компонент перемещения (190"). Любую задачу можно считать решенной, если мы можем найти такую функцию ф, которая удовлетворяет также граничным условиям. Несколько задач такого рода рассматриваются в 133—144. В 145 описываются другие методы. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...