Потенциал однородного эллипсоида

Потенциал однородного эллипсоида [c.260]

ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА [c.263]

Родриг предложил иной метод для определения потенциала однородного эллипсоида. Пусть р — плотность, rji S — координаты притягивающей точки х, у, z — координаты притягиваемой точки а, Ъ, с —полуоси эллипсоида. Рассмотрим эллипсоид, близкий к заданному и софокусный с ним, с полуосями а, Ь, с [c.264]

Сопоставляя эти факты. Герц заключает, что правая часть формулы (9.39) может быть принята за потенциал однородного эллипсоида, толщина которого в направлении оси охз стремится к нулю (с О), а плотность р пропорционально возрастает, так что масса эллипсоида остается неизменной. Тогда область контакта со — эллипс, в который вырождается эллипсоид при с-Я), и имеет место соотношение [c.234]

Поэтому за потенциал о можно принять потенциал однородного эллипсоида, размер с которого в направлении оси г стремится к нулю, а плотность р неограничено возрастает, так что величина ср оста я постоянной. В пределе получим простой слой, распределенный по поверхности эллипса с полуосями а и Ь, т. е. по площадке контакта Q. Плотность этого слоя р (I, т]) будет равна той части массы эллипсоида, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой 2г = [c.351]

ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА 375 [c.375]

Так как потенциал однородного эллипсоида во внутренней точке есть квадратичная функция координат, то из (7.64) следует, что tpo можно принять за потенциал однородного эллипсоида очень малой толщины, поверхность которого совпадает с поверхностью давления. Давление q получится при переходе к пределу, когда одна из осей эллипсоида стремится к нулю, но масса эллипсоида остаётся постоянной. Если а и 6 суть полуоси эллипса, который представляет контур давления, то его уравнение относительно принятых уже направлений осей лг, у будет [c.166]

Герц в решении контактной задачи использовал формулы теории потенциала однородного эллипсоида, что представляет простейший тип задач теории потенциала и интегральных уравнений. У нас в Союзе в 30-х годах наука уже располагала мощной математической базой для решения задач теории упругости, созданной главным образом Н. И. Мусхелишвили и его школой. [c.93]

Этот результат указывает, какой следующий шаг необходимо сделать для получения решения. Обозначенные через и <р функции представляют собой по одну и другую сторону плоскости 2 = 0 потенциалы простого слоя, распространенного с плотностью Р по поверхности давления в точках этой поверхности потенциал представляет квадратичную функцию координат. Припомним что потенциал однородного эллипсоида во внутренних точках будет квадратичной функцией координат точки. Попытаемся удовлетворить условиям задачи, допустив, что поверхность давления совпадает с поверхностью сильно сплющенного эллипсоида и что давление Р получается путем перехода к пределу, когда масса эллипсоида сохраняется постоянной, а одна из главных осей неограниченно убывает. Если эллипсоид имеет плотность р и уравнение, отнесенное к главным осям [c.206]

Отсюда вытекает, что ньютоновский потенциал однородного эллипсоида плотности б равен (во внешнем по отношению к эллипсоиду пространстве) ньютоновскому потенциалу простого слоя плотности [c.477]

Вместе с этим потенциал для внутренних точек однородного эллипсоида [c.351]

Чтобы подобрать искомое решение уравнения Лапласа, возьмем за исходный пункт известное выражение для ньютонова потенциала притяжения однородным эллипсоидом (2.1) внешней точки х, у, z) [c.362]

Поэтому ср1 и представляют собой значения потенциала по обе стороны плоскости Оху вне рассмотренного однородного эллипсоида. Если V есть положительный корень кубического уравнения [c.168]

Доказанная теорема, будучи верной для произвольного сплошного однородного эллипсоида, будет справедливой также и для произвольного однородного слоя, ограниченного концентрическими эллипсоидами с малыми эксцентриситетами. Потенциал такого слоя может быть найден в виде разности потенциалов граничных эллипсоидов, причем величина Л 4- В + С не будет зависеть от направления осей (см. т. I). [c.384]

Потенциал и притяжение сплошного однородного сжатого сф ро-ида на удаленную точку с единицей массы (113)—79. Потенциал и притяжение сплошного однородного эллипсоида на точку с единицей массы внутри него (116). [c.12]

Потенциал и притяжение сплошного однородного эллипсоида на точку с единицей массы внутри него. Напишем уравнение поверхности эллипсоида в виде [c.116]

ПОТЕНЦИАЛ И ПРИТЯЖЕНИЕ СПЛОШНОГО ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА 119 [c.119]

Внешний потенциал этого эллипсоида некоторой однородной плотности б пишется так [c.475]

Движение планеты, составленной из концентрических однородных сферических слоев. — В теории потенциала доказывается, что в рассматриваемом случае силы ньютонова притяжения от внешней точки, действующие на планету, имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты, и эта равнодействующая такова, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этом центре. Таким образом, силы притяжения со стороны Солнца и других планет имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты. Если учитывается только действие Солнца, то центр тяжести планеты движется по траектории, представляющей собой коническое сечение, одним из фокусов которого является Солнце. Движение планеты около своего центра тяжести есть движение по Пуансо. При нашем предположении эллипсоид инерции приводится к сфере, все диаметры которой являются главными осями инерции, а следовательно, представляют собой постоянные оси вращения. Движение планеты около своего центра тяжести приводится поэтому к равномерному вращению вокруг оси, имеющей постоянное направление в планете и в пространстве. В этом случае мы не имеем явлений прецессии и нутации. [c.201]

Чтобы подойти ближе к отношению, которое имеет место для Земли, вычислим форму равновесия жидкой массы, вращающейся вокруг оси г нашей системы координат с угловой скоростью ш, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона. Но эту задачу мы можем решить, и то не вполне, предполагая жидкость однородной и несжимаемой. Если т лежит между известными границами, то, как показывает вычисление, формой равновесия жидкости является эллипсоид. Считая, что жидкость ограничена эллипсоидом, можно определить его оси. Решение этой задачи много труднее, чем предыдущей, потому что здесь потенциал действующих сил не задан прямо, но зависит от искомой формы жидкости. [c.112]

Потенциал жидкости V в момент t относительно внутренней точки (х, у, 2) равен сумме однородной функции второй степени и некоторой не зависящей от х, у, 2 величины. Так как V обладает этим свойством, если оси X, у, 2 совпадают с главными осями эллипсоида, то оно не утратит его, если вместо такой системы координат введем другую с тем же началом координат. При посредстве (34) отсюда следует, что [c.300]

Решение задачи об установившемся движении эллипсоида в вязкой жидкости можно выразить при помощи потенциала притяжения твердых тел при этом предполагается, что эллипсоид однородный и плотность его равна единице. [c.757]

Второй способ нахождения потенциала заключается в непосредственном вычислении интеграла (1.1.1). Однако в конечном виде этот интеграл берется только в некоторых частных случаях, таких, например, как случай однородного шара или шара с концентрическим распределением плотности и случай однородного двухосного или трехосного эллипсоида. Так, для концентрического шара потенциал дается формулой [c.13]

Нетрудно видеть, что ф есть частная производная по переменному X от функции у, изображающей внешний ньютоновский потенциал эллипсоида однородной плотности [c.475]

Классическим примером такого подбора служит формула для потенциала однородного эллипсоида, принадлежащая Дирихле. Пусть уравнение эллипсоида будет [c.375]

Таким образом, действительно формула (11.9.4) представляет выражение для потенциала однородного эллипсоида, получить ее путем прямого интегрирования из формулы (11.9.1) было бы ьесьма затруднительно. [c.377]

Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-лературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г , следовательно, напряжения убывают как 1/г , т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы ы,- = i]),,- дают полное решение для неограниченной среды. В 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = 0), так и для точек матрицы (и =/= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат [c.384]

Потенциал однородного эллипсоида. Потенциал однородного бесконечно длинного цилиндра. Покоящийся эллипсоид в текрщей жидкости. Линии тока в случае, когда эллипсоид обращается о эллипсоид вращения или в шар. Твердое тело, движци ееся в жидкости данным образом, исследуется движение жидкости. Случай, когда тело—эллипсоид или шар. Движение в жидкости двух тел. Ближайшее рассмотрение случая двух бесконечно малых шаров) [c.182]

Изгиб плоскости с эллиптическим включением. Как известно в теории гармонического потенциала, однородное электрическое поле вызывает также однородное поле в диэлектрике, если последний по форме представляет собой эллипсоид. Это обстоятельство было использовано в работе [64] и здесь для решения аналогичной упругой проблемы, описываемой бигармоническим потенциалом. Можно показать, что для плоского включения эллиптической формы имеет место более сильный результат если на бесконечности напряжения представляют собой полиномы некоторой степени, то внутри включения напряжения также являются полиномами той же степени. Аналогичный результат справедлив в отношении электрических, магнитных, тепловых, фильтрационных и других полей, описьшае-мых теорией гармонического потенциала, а также для аналогичных пространственных задач в случае инородного эллипсоида как в теории потенциала, так и в теории анизотропной упругости. Чтобы сделать доказательство более простым и наглядным, ограничимся конкретным случаем чистого изгиба. Общий гармонический и бигармонический случаи рассматриваются совершенно аналогично. [c.117]

Исследования по классическим контактным задачам методами математического моделирования берут свое начало, по всей видимости, от работ Г. Герца (1881 г.), Я. Буссинеска (1885 г.), С. А. Чаплыгина (1890), М. А. Садовского (1928) и др. Эти исследования получили дальнейшее развитие в основополагающих трудах В. М. Абрамова, Н.М. Беляева, Л.А. Галина, А. И. Динника, А.Ю. Ишлинского, Н.А. Кильчев-ского, М. Я. Леонова, А. И. Лурье, В. И. Моссаковского, Н.И. Мусхели-швили, Д. И. Шермана, И. Я. и таермана и других. Существенного продвижения в области исследования контактных задач удалось достичь начиная примерно с 40-х годов XX в. Такая задержка в математическом развитии теории контактного взаимодействия объясняется недостаточностью математических средств, применявшихся в прошлом для ее исследования. В то время как Г. Герц в конце XIX в. располагал лишь формулами теории потенциала для однородного эллипсоида, начиная примерно с 30-х годов XX в. в распоряжении ученых оказались эффективные методы теории функций комплексного переменного, развитые [c.6]

Аналогичный способ нахождения силовой функции однородного эллипсоида изложен в книге Мультон, Введение в небесную механику, пер. с англ., ОНТИ, 1935. Способы Лагранжа и Гаусса см., нанрнмер, в книге Л. Н. Сретенского, Теория ныстсновского потенциала, или в фундаментальном трактате по небесной механике Тиссерана. [c.116]

На самом деле форма намагничиваемого тела играет роль. Внутреннее поле однородно только в теле, имеющем форму эллипсоида. Свободную энергию, определяемую уравнением (8.19), по традиции обозначают через Р, хотя логичнее было бы употреблять символ О, поскольку величина, о которой идет речь, представляет собой термодинамический потенциал Гиббеа (см. гл. 3, 3, п. 1). Мы предположили, кроме того, что ЭС и Л параллельны, поэтому можно заменить все векторы их абсолютными величинами. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...