Интеграл Больцмана

Интеграл (8. 16) не может быть вычислен без дополнительных предположений о виде функции F( ), но бесспорно соответствие выражения (8.16) зависимости выражающей в общей форме закон Стефана—Больцмана. Более того, выбрав ту или иную функцию F( ), можно сравнить значения интеграла в выражении (8. 16) и экспериментальной величины а и оценить степень достоверности развитой теории. Заметим, что именно так поступил Планк при первичной оценке введенной им константы h, определяющей квант энергии (см. 8.3). [c.411]

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просуммировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии W ее произведение на относительную вероятность ехр[—W/ kT) того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энергии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получающемуся при суммировании относительной вероятности по всем значениям непрерывно изменяющегося значения W [c.421]

В отличие от приведенного выше вывода газокинетического уравнения (7.25) в выводе самого Больцмана выражение для интеграла столкновений (7.27) было получено исходя из того, что плотность числа частиц со скоростью о (определяемая функцией [c.114]

Установим некоторые общие свойства интеграла столкновений, которые позволяют получить информацию о неравновесной системе, не располагая строгим решением кинетического уравнения Больцмана. [c.115]

При ио=0 равновесная функция распределения газа зависит только от скорости, и кинетическое уравнение Больцмана сводится в этом случае к равенству нулю интеграла столкновений [c.116]

Больцман также доказал, что равенство (7.34) является не только достаточным, но и необходимым условием обращения в нуль интеграла (7.33). Следовательно, распределение Максвелла является единственным рещением кинетического уравнения Больцмана в равновесном состоянии. [c.117]

Кинетическое уравнение Больцмана с релаксационным членом, аппроксимирующим интеграл столкновений, для неоднородного газа в поле внешних сил имеет вид [c.146]

Полная производная по времени от интеграла по подвижному объему 10 Полное множество 68 Полностью неоднородная задача 132 Порядок аппроксимации 22 Постоянная Больцмана 7 [c.313]

Соотношения вида (7) и (8) называются законами наследственного типа. Для интегрального представления (8) употребляются различные названия интеграл суперпозиции, интеграл суперпозиции Больцмана, интеграл Дюамеля, интеграл типа свертки. [c.106]

Показатель преломления п относится к среде, окружающей абсолютно черное тело. Для газов и вакуума п=1. В соответствии с формулой Стефана — Больцмана интеграл от плотности потока излучения по всем длинам волн равен [c.18]

Вид функции Х) определялся из условия, что полная объемная плотность энергии равновесного излучения, определяемая как интеграл (2-42) по всему спектру частот, должна находиться в соответствии с законом Стефана — Больцмана, т. е. [c.72]

Здесь и в таблице 4.3 Гкр, Рир, Vkp — критическая температура, плотность и молярный объем е — силовая постоянная для расчета интеграла столкновений й k—постоянная Больцмана. См. также обозначения в тексте. [c.72]

Эту ф-лу называют распределением Максвелла — Больцмана (см. Больцмана статистика). Статистич. интеграл (9) идеального классич. газа также распадается на произведение членов, соответствующих отд. атомам. При этом, однако, нужно учесть,, что осн. состояние атома может быть вырождено, т. е. д состояний могут иметь одинаковую энергию. Это приведёт к появлению дополнит, множителя gN в статистич. сумме. Окончательно свободная энергия N атомов газа равна [c.669]

Стационарные неравновесные распределения частиц. Интеграл столкновений Больцмана может быть записан следующим образом [c.679]

В статистике Максвелла - Больцмана с квантованной энергией может быть введено понятие статистической суммы (суммы состояний) 2, аналогичное понятию статистического интеграла. Исключим из выражений [c.216]

Как видно из формулы (85.9), уравнение Больцмана представляет собой сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, приближенное решение которого возможно только в некоторых весьма частных случаях. Однако, как мы увидим в последующих параграфах, уравнение Больцмана позволяет получить ряд важных следствий весьма общего характера. Ограничиваясь рассмотрением только упругих столкновений и считая массы молекул одинаковыми, запишем законы сохранения импульсов и энергии при ударе в форме [c.470]

В первых двух слагаемых символы производных д д1 и д дхк можно вынести за знак интеграла, и в результате преобразования левой части уравнения Больцмана получим [c.506]

В 89 мы рассматривали кинетическое уравнение для плазмы в приближении самосогласованного поля без учета столкновений между частицами. В этом параграфе мы перейдем к рассмотрению эффектов, вызванных столкновениями между частицами, и в результате преобразования интеграла столкновений в уравнении Больцмана мы получим кинетическое уравнение для плазмы (Ландау [44]). [c.515]

На самом деле, Н представляет собой произведение постоянной Стефана — Больцмана и мно.жителя, содержащего коэффициенты теплообмена проволоки и окружающей ее среды (см. (9.10) гл. 1 и [20]). Величина (12.1) представляет собой теоретическую величину для излучения черного тела лучшее приближение в случае нагреваемой проволоки получается при использовании степенного закона того же вида, (г"— Гр), где п — постоянная, определяемая из эксперимента (см. [61, 62]). В последней из приведенных работ рассматривается изменение по степенному закону электрического сопротивления и коэффициента теплообмена проволоки в зависимости от температуры в ней обсуждаются также различные случаи, возникающие на практике, например случаи длинных или коротких нитей накала. Первый интеграл уравнения (12.2), соответствующий (12.4), всегда можно найти, если электрическое сопротивление и коэффициент теплопроводности проволоки изменяются с температурой по степенному закону. [c.154]

Решение интегро-дифференциального уравнения Больцмана в кинетической теории газов для случая почти свободно-молекулярного потока, когда необходимо учитывать первые столкновения отраженных молекул, показывает, что относительное значение теплового потока на стенке [c.330]

В этих уравнениях Ij z O) — интенсивность излучения, p z) — давление, p z) — плотность, T z) — абсолютная температура, f]u z) — коэффициент излучения, ajy z) — коэффициент поглощения, д — ускорение силы тяжести, R — газовая постоянная, к — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, с — скорость света. В интеграле J 1у duo duo представляет бесконечно малый телесный угол, ось которого совпадает с направлением рассматриваемого луча. Интеграл распространен на поверхность сферы радиуса единица. [c.528]

В таком виде кинетическое уравнение для газа малой плотности было впервые получено Боголюбовым [7] и часто называется кинетическим уравнением Больцмана-Боголюбова ). Ниже мы убедимся в том, что интеграл столкновений Больцмана может быть получен как частная приближенная форма правой части уравнения (3.1.39). [c.171]

Если макроскопическое состояние газа является пространственно неоднородным, то функции распределения /1 xj, ) = /1 (г -, р -, t) зависят от координат. Тогда для исключения потенциала взаимодействия в (3.1.39) нужно вернуться к соотношению (3.1.40) и выразить его правую часть через производные функций fi Xi,t) и fi X2,t) (см. задачу 3.2). Отметим, однако, что в большинстве практических задач изменение одночастичной функции распределения на расстоянии порядка радиуса взаимодействия Гц очень мало, поэтому интеграл столкновений можно разложить по малому параметру Гц//, где I — характерная длина пространственного изменения одночастичной функции распределения. Интеграл столкновений в низшем приближении по этому параметру можно получить простой заменой /i(p, ) /i(r ,p, ) в интеграле столкновений для пространственно однородного газа. Тогда уравнение (3.1.39) принимает вид знаменитого кинетического уравнения Больцмана [c.173]

Из сказанного ясно, что обобщение уравнения Больцмана может производиться в различных направлениях. Например, в рамках граничного условия Боголюбова (3.1.9) можно учесть нелокальные эффекты в бинарных столкновениях и члены высших порядков в разложении интеграла столкновений по степеням параметра плотности. Вклады в интеграл столкновений, связанные с учетом всевозможных столкновений между [c.174]

Групповое разложение интеграла столкновений. В этом разделе нашей задачей будет вывод поправок по плотности к уравнению Больцмана путем последовательного разложения двухчастичной функции распределения по степеням параметра п = пгд. Точнее говоря, мы намерены получить эту функцию в виде функционального ряда [c.174]

Черемисин Ф. Г., Проверка качества аппроксимации интеграла Больцмана релаксационной кинетической моделью Крука, Механ. жидкости и газа, № 4, 3—7 (1970). [c.389]

В этих выражениях интегрирование ведется либо по текущему времени 0, либо по прощедщему времени t = t — 0 в теории неупругого последействия приведенный интеграл известен как интеграл Больцмана — Вольтерра. [c.721]

Отметим сразу же, что метод Бубнова — Галеркина переносится без изменения на тот случай, когда А является несамосопряженным оператором, а также интегро-дифференциальным оператором вида, встречающегося в наследственной теории вязкоупругости Больцмана — Вольтерра. [c.214]

В 3, д. изучаются усреднённые характеристики звёздных систем, определяемые функцией распределения звезд l(t, г, V), зависящей от времени (г), координат (г) и скоростей (w). Ф-ция / определяет кол-во звёзд, находящихся в момсит t в единичном элементе объёма фазового пространства в окрестности точки (г, v). С помощью ф-ции распределения выражаются ср. величины, характеризующие звёздную систему плотность р( , г), ср. скорость м (г, г), тензор давлений P/k(t, г) и др. Ф-цпя распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана—Власова, в к-ром учитываются общее усреднённое (самосогласованноо) поле тяготения системы, определяемое гравитационным потенциалом Ф (t, г), и столкновения отд. звёзд, определяемые столкновительным членом St.(f) (интеграл столкновений) [c.60]

В 1990-х гг. термин броуновское движение применяют в гораздо более широком смысле— в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов в этих областях также используют Ф. — П. у. (в теории стохастич. процессов оно наз. ур-нием Колмогорова). В физ. кинетике Ф. — П. у. получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт Ф. — П. у, В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор Фоккера — Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания разл. релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.). [c.332]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Вывод уравнения Больцмана, изложенный в 85, идея которого принадлежит самому Больцману, не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, как уравнения непрерывности в /г-пространстве с источниками (интеграл столкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во времени функции распределения / (г, V, I) аддитивно относительно двух процессов, имеющих различное происхождение. Члены ц,-3/ /Зх,- и Wiдf /Зп,- в левой части (85.9) характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существования градиента плотности и внешних полей, в то время как правая часть возникает вследствие учета столкновений молекул. Таким образом, предполагается, что потоки и столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновений значения функций /, /, /, / берутся в одной и той же точке пространства г, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты в функциях /, / и в функциях /, / должны быть выбраны различными. [c.473]

Элементарные процессы (блок I). В активной среде ГЛЭВ к ним относятся процессы, определяющие заселенности энергетических уровней атомами или молекулами при возбуждении их электрическим разрядом. Основной характеристикой разряда в этих процессах является функция распределения электронов fe ( — энергия электрона). Определить fe (е) можно из кинетического уравнения Больцмана, которое в общем виде является нестационарным интегро-дифференциальным уравнением [ 128 ], не имеющим аналитического решения в общем виде. Однако в теории кинетических процессов хорошо изучены те упрощения, которые позволяют решать уравнение Больцмана численными методами с использованием ЭВМ, а в отдельных случаях получать и аналитические решения [28]. Для атомарных и молекулярных [c.60]

Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п = пг много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Благодаря этому допущению оказалось возможным оборвать цепочку ББГКИ на уровне двухчастичной функции распределения, пренебрегая тройными столкновениями. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо(12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [c.174]

Как и следовало ожидать, основной вклад (3.1.73) в интеграл столкновений совпадает с рассмотренным в предыдущем разделе интегралом столкновений Больцмана-Боголюбова [см. (3.1.29)]. Первая поправка по плотности (3.1.74) известна как интеграл столкновений Чо-Уленбека. Общая структура высших поправок (3.1.75) была установлена Коэном [69]. Он же вывел явное выражение для четырехчастичного вкла-да J(2)(a j, ) В интеграл столкновений. [c.179]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

Интеграл столкновений Больцмана для неидеальных газов. Мы уже отмечали, что диаграммный метод в любом приближении по параметру плотности приводит к немарковским кинетическим уравнениям. Папример, в рамках приближения парных столкновений мы вывели кинетическое уравнение (3.2.42). Выбрав это уравнение в качестве примера, рассмотрим кратко некоторые физические следствия эффектов запаздывания. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...