Интеграл столкновений, свойства сим

Интеграл столкновений, свойства симметрии 37, 58 Истечение в вакуум 419, 422 и д. [c.437]

Свойства интеграла столкновений. [c.115]

Установим некоторые общие свойства интеграла столкновений, которые позволяют получить информацию о неравновесной системе, не располагая строгим решением кинетического уравнения Больцмана. [c.115]

Равенство (7.30) выражает основное свойство интеграла столкновений. Из него следует, что независимо от функции распределения д, у, о интеграл (7.30) тождественно обращается в нуль, если функция (р д, о, /) (которую для краткости мы будем записывать в виде ф(у)) удовлетворяет уравнению [c.116]

Во многих реальных ситуациях масштаб неоднородности в плазме велик по сравнению с радиусом Дебая. Поэтому имеет смысл рассмотреть интеграл столкновений для пространственно однородной плазмы, в которой Д(га,р , ) = /а(Рд, ), а аргумент Га играет роль фиксированного параметра. Ниже будет показано, что в случае однородной плазмы многие принципиальные свойства интеграла столкновений Ландау проявляются в наиболее наглядной форме. [c.220]

Наряду с выражением (ЗА.4) возможны и другие эквивалентные формы интеграла столкновений Больцмана. Например, некоторые общие свойства этого интеграла столкновений удобно изучать в представлении [86] [c.234]

Интеграл столкновений Левинсона (4.5.15) обладает некоторыми любопытными свойствами. Прежде всего отметим, что форма интеграла столкновений Левинсона [c.311]

Возвращаясь к интегралу столкновений (4.5.66), легко проверить, что он относится к классу интегралов столкновений (4.5.69) и обладает нужными свойствами симметрии. Следовательно, этот интеграл столкновений сохраняет полную энергию, а неравновесная корреляционная энергия дается формулой [c.323]

Для систем со слабым взаимодействием или с малым параметром плотности имеется еще одна возможность упростить уравнение (5.4.18), поскольку в этих случаях статические восприимчивости (5.4.9) и кинетические коэффициенты (5.4.16) удается вычислить методами теории возмущений. Предположим, например, что оператор Н в гамильтониане (5.4.16) описывает слабое взаимодействие частиц или квазичастиц. Кинетические коэффициенты (5.4.2) имеют по крайней мере второй порядок по взаимодействию, так как выражение равно нулю благодаря свойствам оператора проектирования. Поэтому при вычислении интеграла столкновений в низшем приближении в формуле (5.4.16) можно заменить полный оператор Лиувилля L на оператор свободных частиц L . В том же приближении обратную матрицу статических восприимчивостей в правой части уравнения (5.4.18) можно взять в виде (5.4.13). Тогда вычисление интеграла столкновений сводится к вычислению кинетических коэффициентов (5.4.16) с помощью теоремы Вика (см. задачу 5.15). [c.390]

Некоторые свойства интеграла столкновений [c.58]

Рассмотрим свойства симметрии интеграла столкновений, которые будут неоднократно использованы в дальнейшем. [c.58]

Благодаря отмеченным свойствам симметрии интегралов их фактическое вычисление для того или иного конкретного потенциала взаимодействия оказывается проще вычисления исходного интеграла столкновений J. [c.59]

Благодаря сложной нелинейной структуре интеграла столкновений уравнение Больцмана очень трудно решать и анализировать. Естественно желанно исследовать, хотя бы качественно, свойства решений этого уравнения на упрошенных модельных уравнениях. Ниже будут рассмотрены два приближенных уравнения Больцмана. Первое из них — линеаризированное уравнение — естественным образом получается из уравнения Больцмана для слабо возмущенных течений. Второе же — модельное уравнение—является уравнением, обладающим многими свойствами полного нелинейного уравнения Больцмана, но не следует из него строго. [c.70]

Общим свойством распределений (4.7), (4.12), (4.13) и (4.1(3) является то, что они обращают в нуль интеграл столкновений Больцмана. Иными словами, столкновения (соответственно упругие или упругие и неупругие) ее меняют таких распределений во времени или, как говорят, не приводят к релаксации распределений. [c.31]

Несмотря на то что оба интеграла расходятся, окончательный результат будет конечным, если эти интегралы не разделять, а оператор столкновений записывать, как в уравнении (7.22). Однако это не оправдывает предположение о = оо это скорее реабилитация главного преступления — введения несобственных интегралов Полное оправдание должно базироваться на доказательстве того, что скользящие столкновения, соответствующие очень большим значениям прицельного параметра, дают пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений. Но это неверно, ибо можно указать такие функции /, для которых вклад больших расстояний преобладает. Более того, выбор о = оо налагает ограничение, согласно которому нельзя проводить указанное в (7.25) разбиение, а это неудобно как при обсуждении свойств общего характера, так и при решении конкретных задач. [c.49]

Из совпадения структур линеаризованного и полного уравнений Больцмана (за исключением нелинейности интеграла столкновений) следует, что, изучая линеаризованное уравнение, можно понять свойства решения полного уравнения Больцмана. Эти свойства, очевидно, не связаны с нелинейными эффектами, а определяются, например, поведением вблизи границ. Действительно, в последнем случае нелинейность интеграла столкновений, вероятно, вносит малые изменения и основные свойства вытекают из общей формы уравнения и граничных условий. [c.143]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, но не лишена и недостатков. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих модификаций, правда, ценой простоты модели. Первая модификация состоит в том, чтобы допустить зависимость частоты столкновений от скорости молекулы, не оставляя ее просто локальной постоянной это изменение диктуется тем обстоятельством, что из расчетов частоты столкновений для физических [c.113]

Свойства интеграла столкновений........290 [c.234]

И обозначим через Р Н и PH соответствующие подпространства пространства Я. Пусть фг=<й 2(1-Ь Щ) . Следующая лемма содержит описание свойств интеграла столкновений, которые обеспечивают затухание малых возмущений. [c.291]

Это обстоятельство заранее очевидно как следствие общего свойства, отмеченного в 6 интеграл столкновений одинаковых частиц обращается в нуль для функций вида v/o- [c.303]

Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых переменных состоит в том, что его добавление к кинетическому уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном пространстве ) через функцию распределения. Чтобы убедиться в этом, запишем кинетическое уравнение в виде [c.313]

Интегралы столкновений, стоящие в правых частях уравнений (9.1), обладают свойствами симметрии, аналогичными установленным в 2.4. Действительно, рассмотрим интеграл [c.164]

Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим называется оператором столкновений. Величина Q , /), т. е. интеграл (6.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение [c.86]

Ф. р. частиц плазмы удовлетворяют кинетическому уравнению для плазмы, в к-ром столкновения между заряж. частицами часто не учитываются явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле. Парные столкновения для нерелятивистской классич. (невырожденной) плазмы учитываются с помощью интеграла столкновений вформе Ландау или Балеску —Лепарда. Ф. р. частиц плазмы / полностью определяет лиэлектрич. проницаемость плазмы, а значит, её колебат. и волновые свойства, устой чивость, степень неравновесности системы и т. п. Так, для равновесной (максвелловской) Ф. р. заряж. частиц существует бесстолкновительная диссипация энергии электрич. поля волны в плазме—Ландау затухание. [c.385]

Условия разрешимости обгцей краевой задачи, включаюгцей отражение на внешних границах, найдены в [49]. В [50, 51] проведены также исследования локальных свойств решения уравнения переноса установлен принцип максимума, описаны области непрерывности и гладкости решения и интеграла столкновений, выявлены особенности этих функций у поверхностей разрыва коэффициентов и функций, описываюгцих источники излучения, и в окрестности лучей, касательных к этим поверхностям. [c.775]

Выше было показано, что члены в групповом разложении интеграла столкновений, порождающие вириальные разложения коэффициентов переноса, определяются динамикой изолированных групп молекул. В отличие от равновесных статических корреляций, имеющих протяженность порядка нескольких радиусов взаимодействия Гц, динамические корреляции в изолированных группах частиц могут иметь значительно большую протяженность. Оказалось, что именно это свойство динамических корреляций несет ответственность за расходимость вириальных разложений коэффициентов переноса. Для иллюстрации дальнодействующей природы динамических корреляций рассмотрим пример четырехчастичных процессов, которые дают расходящиеся вклады в коэффициенты переноса (см. рис. 3.1а). Видно, что частицы (3) и (4) перемещаются свободно на расстояния, значительно превышающие длину свободного пробега. Более того, эти расстояния могут быть сколь угодно велики. Ясно, однако, что в газе не могут существовать столь протяженные траектории. Поэтому опасный процесс столкновения четырех частиц, изображенный на рис. 3.1а, возникает в результате некоторого многочастичного процесса, в котором частицы (3) и (4) проходят расстояния порядка длины свободного пробега. Например, добавление частицы (5), изображенной на рис. 3.16, обеспечивает обрезание расходящегося вклада в четырехчастичный интеграл столкновений, связанный с аномально большим свободным пробегом частицы (3). [c.180]

Первый член этого выражения представляет собой не что иное как интеграл столкновений Больцмана-Боголюбова [см. выражение (3.1.73)] ). Второй член, описывающий основной вклад эффектов запаздывания, впервые был получен Климонтовичем [34]. Им же была показана необходимость учета этого члена в законах сохранения энергии и импульса, включающих главные поправки по плотности к неравновесным термодинамическим величинам. Более подробное обсуждение свойств кинетического уравнения с интегралом столкновений (3.3.5) читатель найдет в книге [35]. [c.199]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Значительное развитие представлений кинетической теории газов возникло благодаря тучевпю, главным образом теоретическому, свойств полностью ионизованного газа — плазмы. Кинетическая теория ионизованного газа испо.пьзует то упрощающее обстоятельство, что наиболее сун оствсннос взаимодействие заряженных частиц при их столкновениях происходит на сравнительно больших прицельных расстояниях, когда такое взаимодействие слабо, а поэтому и рассеяние частиц происходит на малые углы. Это обстоятельство позволило Ландау существенно упростить интеграл столкновений Больцмана, что, естественно, делает более простой теорию явлений переноса в плазме и теорию релаксационных явлений приближения к равновесию. [c.16]

Самая известная модель интеграла столкновений обычно называется моделью Бхатнагара, Гросса и Крука (БГК-моделью), хотя Веландер независимо предложил ее примерно в то же самое время. При построении БГК-модели (и более сложных моделей) полагают, что оператор столкновений обладает следующими основными свойствами [c.100]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Формулировка краевых задач. Решение краевых задач ге свойства интеграла столкновений описываются ниже б терминах пространств Lp X) и р(Х, ф) = / ф/б р(Х) , где, ф-—неотрицательная весовая функция. При исследовании лтннеййых задач существенную роль играют пространства H = L2(i , со ),. 3>S = L2iR XQ, в 2), .. - f [c.289]

Свойства интеграла столкновений. Исследование свойств интеграла столкновений / для газа из упругих шаров проведено в работах Карлемана (Т. Y. Т. arleman). Ниже приводятся оценки, обобщающие результаты Карлемана. [c.290]

Упомянем о случае, представляющем интерес с формальной точки зрения, хотя он и не имеет прямого физического смысла. Зто- газ из частиц, взаимодействующих по закону / = а/г ). Этот случай характерен тем, что сечение столкновений таких частиц (определенное по классической механике) обратно пропорционально их относительной скорости Уотн, а потому фигурирующее в интеграле столкновений произведение оказывается зависящим только от угла рассеяния 6, но не от Уотн- В этом свойстве легко убедиться уже из соображений размерности. Действительно, сечение зависит всего от трех параметров постоянной а, массы частиц т и скорости Уотн- Из этих величин нельзя составить безразмерной комбинации и всего одну комбинацию с размерностью площади Уо (сс/т) / ей и должно быть пропорционально сечение. Это свойство сечения приводит к существенному упрощению структуры интеграла столкновений, в результате чего оказывается возможным найти точные решения линеаризованных кинетических уравнений задач о теплопроводности и вязкости. Оказывается, что они даются просто первыми членами разложений (10,7) и (10,13) ). [c.52]

В рамках данного подхода уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной пространственно-скоростной сетке. Для вычисления интеграла столкновений применяется проекционный метод [8,9], обеспечивающий строгое вьшолнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновений в ноль на локально-максвелловской функции распределения. Последнее свойство значительно повышает точность расчета при малых числах Кп. Для вычисления интеграла столкновений применяются многомерные сетки узлов интегрирования, метод Монте-Карло не используется. На каждом временном шаге сначала строится кубатурная сетка, которая затем применяется во всех узлах физического пространства для вычисления интегралов столкновений. В типичных примерах использование одной и той же сетки сокращает время счета почти на два порядка. [c.160]

Множитель 1 — С08 0 следует включить в интеграл (2.66). Поэтому в выражении (2.67) появляется дополнительный множитель дУ2к . Частоту столкновений мы представили в виде 1/т. Параметр т называется временем релаксации ), и он непосредственно используется для получения кинетических свойств. Заметим, что решением уравнения (2.68) служит выражение [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...