Непрерывные положительные линейные

Как следует из сказанного, множество 21 наделено теперь структурой действительного банахова пространства относительно индуцированной на нем естественной нормы, а состояния ф е являются непрерывными (положительными линейными) функционалами на 91 относительно топологии, индуцированной этой нормой (см. предыдущее следствие). Расширим до множества всех таких функционалов на 91. Тем самым мы получаем возможность рассматривать (из соображений математического удобства, а также потому, что при этом не возникает никаких чрезмерно сильных ограничений) лишь такие системы наблюдаемых, которые удовлетворяют следующей аксиоме [c.73]

Пробежав доказательство еще раз, читатель может убедиться в том, что из него можно вывести еще одно заключение любой непрерывный положительный линейный функцио- [c.137]

Исследование электросопротивления четырех сплавов Gd—Lu и определение параметров решетки показало, что aGd и Lu образуют непрерывный ряд твердых растворов с ГПУ структурой [3]. Параметры решетки ГПУ твердых растворов изменяются почти линейно от к Lu, показывая лишь небольшое отклонение от правила Вегарда, положительное для а и отрицательное для с [1, 3]. [c.695]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38]

Эти операторы являются вещественными, непрерывными, самосопряжёнными и положительно-определёнными, что обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарного решения (8.1) как в случае линейного (а = 1), так и нелинейного (а > 1) вида уравнения износа (7.6). [c.405]

Для линейной теории упругости выражение под корнем положительно. В связи с непрерывностью функций материала можно предположить, что в окрестности естественного состояния и, следовательно, при достаточно малых начальных деформациях параметр k является действительной функцией со. [c.153]

Установка с циклически меняющейся скоростью. Хотя в установках с постоянной скоростью спектрометр работает периодически, однако во время экспозиции скорость остается постоянной. В установках с циклически меняющейся скоростью экспозиция проводится в те интервалы периода, когда скорость по заданному закону (чаще линейному) непрерывно меняется от определенной отрицательной до заданной положительной величины. [c.154]

Рассмотрим плоскую звуковую волну, распространяющуюся в вязкой жидкости в положительном направлении оси х. С целью упрощения задачи допустим, что коэффициенты вязкости постоянны, а теплопроводностью жидкости можно пренебречь. Тогда исходными уравнениями для описания звуковой волны будут уравнения непрерывности и Навье—Стокса, а также уравнение для энтропии и энергии. Вводя малые возмущения плотности, давления и других величин аналогично тому, как они были введены в 11.5 и интересуясь только линейным приближением, из уравнения Навье—Стокса (12.19) найдем [c.537]

Будем считать, что bij (t), / = 1, 2,. .., п— непрерывные функции на отрезке [О Гд], ЬЦ (t) — положительные достаточное число раз непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [О, Тд]. Пусть краевые условия для каждой компоненты вектор-функции Ki (О являются однородными, определяются совокупностью линейно независимых линейных форм от [c.82]

Следствие 4.3.17 верно, даже если две меры взаимно не сингулярны. Это может быть доказано с помощью разложения меры на эргодические компоненты (см. теорему 4.1.12), которое дает единственное представление инвариантной меры как интеграла по эргодическим мерам (таким образом, множество инвариантных мер в сущности представляет собой симплекс). Однако зависимость метрической энтропии от меры довольно тонка, поскольку она нередко не является непрерывной (в слабой топологии). Сосуществование этой линейности с отсутствием непрерывности связано с тем обстоятельством, что даже на множестве эргодических мер энтропия не непрерывна например, слабый предел периодических атомарных мер может обладать положительной энтропией. [c.182]

Теорема II 1.3.1. Пусть В —банахово пространство с нормой II , а В х В -> R — непрерывная симметричная коэрцитивная билинейная форма, ф В Я— непрерывная линейная форма. Следовательно, суи ествуют положительные постоянные с, d, е, такие, что с н Ц а (м, и) d и р, [c.64]

Теорема 1У.6.1. Пусть С—банахово пространство с нормой 1 , а С X С -> Й — непрерывная симметричная положительно определенная билинейная форма, ф С —непрерывное линейное отображение ы со е С. Через В обозначим замкнутое подпространство из С. Предположим, что сужение формы а на В X В коэрцитивно. Следовательно, существуют положительные постоянные с, й, е, такие, что [c.83]

В линейной среде, = О, интеграл движения 1 , как видно из (4.13), всегда положителен. В нелинейной среде в интеграле /з появляется дополнительный член, который может быть как положительным в дефокусирующей среде, так и отрицательным в самофокусирующей среде. В последнем случае при достаточно большой мощности пучка интеграл может быть отрицательным. Так как интеграл /д сохраняется при распространении волны, то его нелинейная часть, несущая отрицательную величину, не может стремиться к нулю. Это означает, что в самофокусирующей среде, бнл О, пучок с /з < О не может перейти в расходящуюся волну, амплитуда которой стремится к нулю при 2 оо. Таким образом, при выполнении условия /д < О пучок испытывает в нелинейной среде волноводное распространение. При произвольных начальных условиях нелинейный волновод будет нерегулярным его поперечное сечение непрерывно искажается, осциллируя около некоторого среднего сечения. [c.297]

Пусть е, .. — канонический базис в К" Возьмем в интегральном тождестве (7.4) и=9(л )е , где 9 — непрерывная функция, 9(0 = 1, 9(л )=0 при /11 и при i+h2положительные постоянные. Из (7.4) имеем при г=, . ..,п [c.57]

Как указано выше, ввиду большой индуктивности вторичного контура машин после изменения знака напряжения полярность тока не меняется. Электромагнитная энергия, запасенная в машине, воадращается в сеть. Одной полуволны обратного напряжения недостаточно для снижения тока до нуля (фиг. 48). Необходима подача непрерывной кривой обратного напряжения. Если спустя 60 электрических градусов после прохождения синусоиды Н -2 через нуль, т. е. в момент /2 (фиг. 49), когда проходит через нуль синусоида из ь выдать команду на пожига-ние игнитрона ИЗ, то последний загорится, так как к нему через горящий игнитрон И2 приложено положительное линейное на- [c.85]

Отметим также [79, гл. 2, 6, п. 4 гл. 12, 3, п. 4], что каждый эрмитов непрерывный линейный функционал ф на С -алгебре можно однозначным способом представить в виде разности двух положительных линейных функционалов ф[ и фг так, что IIФII = IIФ1II-f IIФ2II- Ясно, что непосредственный физический смысл имеют элементы выпуклого множества = = 91+/R+= SR+/R+. Из них мы можем построить элементы Чю-ложительного конуса 91 = SR+, затем действительное банахово пространство 91 = SRa и, наконец, комплексное банахово пространство SR. Однако в физических приложениях всегда необходимо помнить о том, что эти структуры имеют физический смысл лишь постольку, поскольку они связаны с множеством . [c.132]

Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависимости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства в зависимости от того, какой ряд значений могут принимать величины X, характеризующие состояние динамической системы непрерывный или дискретный. Изменение состояигя X во времени также может быть непрерывным или дискретным. Изменение непрерывно во времени, если h.t — произвольное неотрицательное число, и дискретно во времени, если может принимать лишь некоторые дискретные положительные значения. Операторы Т принято различать по их свойствам и по форме задания. Если оператор Т обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. [c.9]

Положим, что плоскости Z и 2 совпадают с материальной илоско-стью, ось X — с осью X, ось У — с осью у, и будем рассматривать х я У как координаты материальной точки при одном состоянии плоскости, X, У — как координаты той же точки в измененном состоянии плоскости тогда в уравнениях (7) мы будем иметь частный случай уравнений, рассмотренных в десятой лекции. По уравнениям (7) можно найти изменение, полученное бесконечно. малой частью плоскости они показывают, что это изменение состоит из смещения, из вращения на положительный угол и из растяжения, одинакового для всех направлений, при котором все линейные размеры увеличиваются в отношении . М. Из этого заключаем, что бесконечно малая часть материальной плоскости остается себе подобной. Изменение, которое она получает, мы можем представлять себе непрерывным и произведенным так, что М не делается ни нулем, ни бесконечностью если оно происходит таким образом, то направление положительного обхода рассматриваемой части, если она односвязна, не останется при этом неопределенным и не может измениться скачком следовательно, оно остается неиз.мен-ным. Теперь откажемся от представления, что плоскости 2 и Z совпадают с одной материальной плоскостью тогда все-таки останется в силе, что соответственные бесконечно малые части этих злоскостей будут между собой подобны и направления положительного обхода вокруг них будут взаимно соответственны, если эти части односвязны. [c.236]

Остается открытым вопрос, существует ли траектория, которая входит в точку О вдоль оси X. На этот вопрос можно дать утвердительный ответ. Для доказательства рассмотрим дугу D окружности г = ri, лежащую в области Ai. Предположим, что в момент t = О изображающая точка начинает свое движение из некоторого положения на дуге D. Если ни одна из начинающихся на дуге D положительных полухарактеристик не входит в точку О вдоль оси X, то все эти кривые входят в точку О вдоль оси у сверху или снизу. Одни из них попадут в область Л 2 (и войдут в точку О вдоль положительной оси у), другие попадут в область (и войдут в точку О вдоль отрицательной оси у). Поэтому на дуге D можно указать два непустых множества точек, в зависимости от того, входит ли траектория в область А или А . Эти мнон ества являются открытыми, поскольку решение изменяется непрерывным образом в зависимости от начальной точки, так что на дуге D существует хотя бы одна точка, которая не принадлежит ни одному из этих множеств. Эта точка дает начало траектории, входящей в точку О по направлению оси Ох. (Существует, однако, важное отличие от линейного случая, состоящее в том, что траектория, входящая в точку О вдоль оси Ох, не обязательно является единственной ). Так, например, система [c.374]

Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же С-устойчивость означает / -устойчивость, а / -устойчивость означает С-устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть х (t), как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке ж (0). Если в момент t = О изображающая точка находится в положении ас (0), та в момент t она занимает положение x(t). За промежуток времени О i изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть т-сегментом, начинающимся в эс (0). Возьмем положительное число г, и пусть S (г) будет множеством точек всех т-сегментов, начинающихся в точках х(0) внутри гиперсферы радиуса г, описанной вокруг точки О. Пусть г будет верхней гранью расстояний точек множества S (г) от точки О. При указанных условиях г будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от г, обращающейся в нуль вместе с г. Положим г = f (г ) функция / (г ) непрерывна и монотонно возрастает, причем / (0) = О и О С / (г ) г, если г > 0. (В частном случае линейного приближения / (г ) = Кг, причем К = onst и О < < 1.) [c.421]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Сдвш фазы зависит от мошности обеих волн. Уравнение (7.3.1) показывает, что обе волны распространяются без изменения, за исключением сдвига фазы, линейно нарастаюшего с расстоянием. Прежде чем сделать такой вывод, следует рассмотреть устойчивость стационарного решения к малым возмушениям. Воспользуемся методом, аналогичным описанному в разд. 5.1. Напомним, что там было показано, что одна непрерывная волна становится неустойчивой в области отрицательной дисперсии световода из-за модуляционной неустойчивости. Оказывается, что при совместном распространении двух непрерывных волн модуляционная нед стойчивость может развиться не только в области отрицательной дисперсии, но так же и в области положительной дисперсии из-за взаимодействия двух волн при ФКМ [54]. [c.193]

Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксовой волны, их относительная скорость равна 2v , так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. 5.1 в случае модуляционной неустойчивости. Действие внешней обратной связи можно учесть, взяв соответствующие граничные условия на концах световода [23]. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Расс.мотрим небольшое возмущение уровня непрерывного сигнала, затухающее как ехр(-Лг), где комплексный параметр Л можно определить, линеаризуя уравнения (9.2.12) и (9.2.13). Если действительная часть Л положительна, возмущение затухает экспоненциально с релаксационными колебаниями частотой = 1т(Л)/2л. Если же действительная часть h отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. На рис. 9.4 показаны области устойчивости и неустойчивости при наличии обратной связи в зависимости от фактора усиления tj L, определенного [c.266]

Предположим, что Ai - непрерывный, самосопряжённый, положительно-определённый линейный оператор. В этом случае его собственные функции Un x,y) образуют полную ортонормиро-ванную систему в пространстве непрерывных функций и все его собственные значения А положительны. [c.371]

Доказательство. Так как L — положительный оператор и II > О, то G(n) = (L n(l))- rni ,A4(SI) для Напомним теорему Шаудера— Тихонова (см. Данфорд и Шварц, Линейные операторы, т. 1, стр. 423) пусть Е—непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства тогда всякое непрерывное отображение G Е- Е имеет неподвижную точку. Согласно этой теореме, существует такая мера vsAi(SI), что G(v) = v. Отсюда получаем, что L v = kv ск>0. [c.20]

Задачу (13.2) и (1.12) будем рассматривать так же, как и в случае стационарных движений, как частный случай более общей абстрактной задачи в банаховых пространствах. Пусть Я — гильбертово дространство со скалярным произведением (и, Щц и F (t, и) — непрерывный линейный но и функционал в Н. Пусть, далее, В — банахово дространство и Ф (и) — выпуклый положительный непрерывный функционал на В. Обозначим, как и ранее, дФ (и) — зубдифференциал функционала Ф (и), отображающий В п В. [c.177]

Таким образом, форма ф непрерывна на А(ёс) и может быть продолжена по непрерывности до положительной (непрерывной) линейной формы на банаховой алгебре с инволюцией Д] (< с), причем (ф /)= 1, т. е. ф есть состояние на А1 ( с). Возвращаясь к доказательству теоремы 14 из гл. 1, 3, мы видим, что оно проходит лищь в том случае, когда 8 — банахова алгебра с инволюцией, наделенная единицей. Пусть я<р — представление ГНС алгебры А] (< с), ассоциированное с ф. На основании цикличности представления Яф мы можем путем прямых выкладок убедиться, что слабая операторная непрерывность операторов Яф (Кк ) по Я, УЯ, е К, / е ( с, следует из условия 2. Та м образом, Яф принадлежит Р( с). Пользуясь предыдущей лем- [c.308]

Итак, полагая Н = L , V = (тогда V = (й ) = Н ), по теореме Реллиха получим, что вложение й с компактно. Поэтому М()ж-но применить общую схему 6 гл. II. Получаем, что формальному дифференциальному оп атору - Д и краевым условиям (1.2) соответ-ствует непрерывный линейный оператор А Н , осуществляющий изоморфизм между Щ и Я Ясно, что соответствующий оператор самосопряжен, положительно определен и обладает собственными векторами, образующими базис в L , а также в й , и й [c.41]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

Смотреть страницы где упоминается термин Непрерывные положительные линейные : [c.73] [c.167] [c.417] [c.331] [c.223] [c.100] [c.462] [c.496] [c.115] [c.9] [c.376] [c.62] [c.147] [c.69] [c.172] [c.78] [c.80] [c.200] [c.180] [c.116] [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...