Интегральное представление для функций Грина

Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности [c.170]

Прежде чем перейти к интегральным представлениям для функции Грина, соответствующей частному случаю общего выражения (3.89) при ф t) = фa t), обратим внимание на некоторые особые свойства этого варианта наследственного ядра обобщенного волнового уравнения. [c.170]

Исходя из функции Грина (8.10), в [128] получено интегральное представление для гармонической функции, принимающей на круге заданное значение и(х,у) и имеющей вне круга равную нулю нормальную производную. Это представление имеет вид [c.110]

Вариационная теорема моментной термоупругости непосредственно выводится из принципа виртуальной работы. Из вариационной формулы получается энергетическая теорема, с помощью которой доказывается теорема единственности. Доказана теорема о взаимности работ, а с помощью функции Грина получены интегральные представления для температуры и векторов перемещения и вращения. [c.245]

Для функции Иоста, воспользовавшись интегральными уравнениями для функций fi и фь а также представлением функции Грина (12.146), можно получить теперь вместо (12.143) и (12.144) интегральные представления [c.401]

Функция Грина (3.93) не зависит от угла раствора клина. Это связано с тем, что при идеально звукопоглощающем клине звуковая волна как бы не замечает границ раздела среды. Однако акустическая непрозрачность клина приводит к тому, что падающее поле в зоне тени отсутствует. В связи с тем, что поле во всем пространстве должно быть непрерывной функцией координат и резкого скачкообразного изменения амплитуды поля при переходе через границу зоны тени быть не может, должно существовать дополнительное поле, компенсирующее скачок падающей волны. Это поле и является дифракционным. Для того чтобы выделить падающую и дифракционную волны, воспользуемся интегральным представлением произведения функций Ханкеля по формуле (2.14.2.5) из работы [46]. Выполнив замену переменной в этой формуле X =—гб и учитывая, что =Я ехр (гя )), получим [c.167]

Значение функции Грина состоит не только в том, что для некоторых областей частного вида с ее помощью получается явное (в интегральной форме) представление для решения. Важным является также возможность ее использования в качественных исследованиях. Для иллюстрации сказанного обратимся к вопросу о разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца. [c.111]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

Кратко рассматриваются Теоретические основы линейной механики разрушения для введения понятий коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии. В работе установлено, что метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), применяющийся для решения задач теории упругости, является эффективным и точным средством, позволяющим вычислять значения коэффициентов интенсивности напряжений и скорости освобождения упругой энергии в двух- и трехмерных задачах механики разрушения. Рассматриваются основные представления метода ГИУ и описывается распространение метода на задачи механики разрушения, В двумерном случае представлены численные результаты, полученные при помощи построения специальной функции Грина для задач о трещинах. В трехмерном случае приводятся результаты для поверхностной трещины, найденные путем стандартного решения по методу ГИУ. Указываются некоторые задачи и цели дальнейших исследований. [c.46]

Решения фь в усеченных областях Он (Сь получается удалением из С полосы Л 1 — /г) существуют, единственны и допускают интегральное представление с помощью функции Грина (как и в 7, граничное значение для фь при Л = 1 — /г задается функцией /(Л, /5)). [c.95]

Функция Грина (3.120) не только обладает свойством гладкого убывания до нуля при приближении к своему фронту, но, с учетом (3.113), дает возможность для достаточно удобного теоретического и численного исследования решений уравнения (3.33) или (3.38) при постановке различных начальных и граничных задач. Интегральное представление (3.120) совместно с (3.113) является математически точным представлением рещения фундаментальной задачи Коши (3.78)-(3.79) для этих уравнений, поэтому вопрос о математической точности этих выражений не стоит, а точность и скорость численных вычислений по этим формулам определяется только точностью и скоростью примененного метода численного интегрирования. Вопрос о границах применимости самого уравнения (3.33) для описания физических процессов, определяется наличием у физических систем фрактальных стохастических самоподобных свойств, границы диапазона масштабов самоподобия которых достаточно широко охватывают, например, полосу длин волн в спектре переходных волн, распространение которых мы описываем с помощью этого уравнения. В случае если спектр переходных волн приближается (или переходит) к нижней или верхней границам диапазона масштабов самоподобия фрактальной структуры, определяющей закон дисперсии волн данного типа в рассматриваемой системе, следует перейти к использованию других моделей описания этого процесса, в частности, можно воспользоваться другими уравнениями, из предложенных в Главе 1 данной части книги. [c.173]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

Далее рассматриваются работы, посвященные колебаниям прямоугольных двусвязных либо многосвязных пластинок. Внутренний контур таких пластинок имел форму прямоугольника или круга. Изложенные авторами исследования осуществлялись либо численными, либо аналитическими методами. В некоторых работах результаты, полученные различными методами, сопоставляются между собой. Одна из статей сборника, выполненная Линном и Кумбасаром, посвящена изучению собственных частот колебаний шарнирно опертых прямоугольных пластинок с узкими трещинами, параллельными внешнему контуру. Для осуществления исследования пластинка разбивалась на две части вдоль линии трещины. Используя в полученных пластинках для представления перемещений функции Грина и возвращаясь затем к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения, описываемой интегральным уравнением Фредгольма первого рода. [c.5]

Теперь оказывается возможным перейти к рассмотрению задачи, когда нагружение (осуществляемое лишь нормальными усилиями) не является осесимметричным. Для этого следует обратиться к формулам (1.27), положив в них ст (0) = б(0), т. е. рассмотреть задачу, когда в полюсе приложена сосредоточенная сила. Тогда, просуммировав эти решения по всей сфере, можно получить интегральное представление решения в случае произвольного нагружения нормальными силами (которые можно рассматривать как своего рода функцию Грина). Поскольку же задача внутренняя, то подобный прием нуждается в корректировке. Дело в том, что в этом случае нагружение оказывается неуравновешенным и формально полученное решение становится лишенным смысла. Необходимо приложить какую-либо компенсирующую нагрузку (которая на заключительном этапе построения решения автоматически устраняется из-за условия самоурав-новешенности внешних сил). Можно приложить, например, в центре компенсирующую сосредоточенную силу. Правда, тогда решение будет иметь особенность в начале координат, но она уничтожается при суммировании. В уже упомянутой работе [7] предложен иной путь компенсирующая нагрузка представляется в виде суммы массовых сил, равномерно распределенных по объему и направленных по оси г, и некоторого решения, компенсирующего касательные напряжения. Тогда решение [c.340]

И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, ная. нслииейиыми интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у. найдена зaв I имo ть решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матем. физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифферснц. ур-пий можно свести при помощи Грина функций к И. у. [c.157]

Частотно - временные методы основаны ца представлении законов движения периодических виброударкых процессов через так называемые периодические функции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравнение движения (6.5.32) и эквивалентное ему (для установившихся режимов) интегральное уравнение (6.5.33). Воспользовавшись стереомеханической теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соответствии с (6.5.29) [c.385]

Для осуществления исследования пластинка разбивается на две части вдоль линии трещины. Используя для представления перемещений в полученных пластинках функции Грина и затем возвращаясь к исходной непрерывной пластинке, авторы показали, что уравнение собственных частот колебаний является задачей на собственные значения и эквивалентно однородному интегральному уравнейию Фредгольма первого рода. Это уравнение удовлетворяется только вдоль участка пластинки, не имеющего трещины. [c.131]

Последовательность решений фн равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при /г < /го в каждой подобласти Сьо последнее следует из интегрального представления фь с помощью функции Грина в Сьо- Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность фн при /г О сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой С, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в С, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения всюду, кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность ф в точках непрерывности ф дс на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помощью барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений трикомиевского типа вырождения (1.32)). [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...