Инварианты компонентов деформации

Инварианты компонентов деформации. 55 --- напряжения, 95. [c.669]

Поскольку упругий потенциал W (8 ) является инвариантом и для линейно-упругого тела представляет собой функцию второго порядка компонент тензора деформации, то в случае однородного изотропного тела эту функцию можно образовать из линейного и квадратичного инвариантов тензора деформации [c.60]

Три инварианта тензора деформации находятся аналогично инвариантам тензора напряжений и выражаются формулами, которые получаются из (5.40 ) путем замены компонентов в соответствии с аналогией То и Те [(6.19) и (6.20)]. [c.461]

Инварианты тензоров деформаций. Инварианты симметричного тензора второго ранга находятся через смешанные компоненты. Имея одинаковые ковариантные компоненты тензоры дефор- [c.72]

Упругие константы компонентов были выбраны следующими G = = 2,1 ГПа, I/ = 0,25 для матрицы и G = 10,5 ГПа, I/ = 0,25 для волокна. С помощью входящих, согласно (6.4), в уравнения (9.20) функций поврежденности неупругие свойства материала матрицы описывались нелинейной зависимостью второго инварианта тензора напряжений от соответствующего инварианта тензора деформаций. Значения инвариантов определялись по (6.6) и (6.7). Графическое выражение зтой зависимости приведено на рис. 11.6. Подобные диаграммы деформирования были получены, в частности, при проведении экспериментов на образцах полиэтилена [68] и сплава ВТ5-1 [233]. [c.261]

Компоненты деформаций вычисляются по формулам (4.4), основные инварианты тензора деформаций — по формулам (4.5) справедливы также формулы (4,6), (4.7). [c.292]

Здесь К — модуль сжатия, а Л — скалярный оператор двух инвариантов тензора деформации. Предположим, что соотношения (1.1) обращаются, т.е. можно выразить компоненты девиатора тензора деформации через напряжения [c.118]

Соотношения, выражающие приращения компонент тензора напряжений через приращения компонент тензора деформаций, инварианта тензора деформаций и накопленные значения геометрических параметров, имеют вид [c.148]

Приращения инварианта тензора деформаций выражаются через приращения компонент тензора деформаций по формуле [c.148]

Компоненты деформации, очевидно, являются функциями координат X, у, г, т. е. зависят от того, как выбрана система координат. Но также очевидно, что поле деформаций зависит только от того, как тело нагружено, а не от того, как нам захотелось выбрать систему координат, поэтому естественно искать такие величины, которые не зависят от выбора системы координат или, как обычно принято говорить, являются инвариантами поля деформаций. Оказывается [611, в деформированном изотропном теле всегда можно найти три взаимно перпендикулярных [c.123]

Jl — первый инвариант тензора конечной деформации, выражающийся через компоненты деформации по формуле [c.204]

Обсудим для каких сред справедливо равенство (2.22). Отметим прежде всего изотропные среды. Для них упругий потенциал должен зависеть от тензора компонент деформаций ij через его скалярные инварианты [c.132]

Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль —это и является существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации оказываются равными [c.268]

Введенные выше в процессе вычисления главных компонентов деформации три новых инварианта е, ср, е будут в дальнейшем играть важную самостоятельную роль при рассмотрении вопроса о связи между деформациями и напряжениями. [c.36]

Три независимых инварианта хороши в том отношении, что имеют простой механический смысл (по крайней мере при малой деформации, когда они могут быть отождествлены с главными значениями относительных удлинений). Математически они, однако, неудобны, так как выражение их через компоненты деформации связано с необходимостью решения кубического уравнения. Ввиду этого более целесообразно рассматривать удельную работу деформации для изотропного материала не как функцию корней уравнения 1(8.1), а как функцию трех его коэффициентов [c.127]

Так как все прочие введенные в первой главе инварианты можно рассматривать как функции от Ех, Еа, Е3, то отсюда следует, что при их вычислении можно пользоваться компонентами деформации в криволинейных координатах, подставляя их вместо Соответствующих (по месту, занимаемому в матрице) компонентов деформации в декартовых координатах. [c.168]

Получим теперь второй и третий инварианты девиатора деформаций. [Первый инвариант девиатора деформаций согласно ( юр-муле (2.7) равен нулю]. Для этого подставим в формулы (2.9) компоненты девиатора деформаций (2.6), используя при этом соотношение (2.5). Тогда получим [c.29]

Основных независимых инвариантов тензора деформации, как известно, три. Линейный инвариант есть сумма компонент удли-мения [c.26]

Вернемся к схеме, представленной на рис. В.1. Анализ зарождения макроразрушения проводится на основании данных о НДС (включая изменение НДС во времени) элементов конструкций и локальных критериев разрушения, сформулированных в терминах механики сплошной среды в компонентах тензоров напряжений и деформаций и (или) их инвариантов. Традиционно процедура анализа заключается в сравнении в каж- [c.5]

Предположим дополнительно, что гидростатическое давление (первый инвариант тензора напряжений) не влияет на зависимость между девиаторами напряжений и деформаций. Строго говоря, эта гипотеза неверна, но для многих металлов и сплавов она выполняется с достаточно большой точностью, введение же этой гипотезы позволяет намного упростить построение теории. Пусть, для простоты, отличны от нуля два компонента девиаторов. Тогда процесс нагружения в фиксированной точке тела будет изображаться кривой на плоскости а°, а°, процесс деформирования — кривой на плоскости е , Упомянутая выше зависимость связи напряжений с деформациями от истории нагружения означает, что деформированное состояние в данной точке тела зависит от всей кривой на плоскости а°, (т . Математически этот факт эквивалентен тому, что соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области, вообще говоря, будут либо дифференциальными неинтегрируемыми, либо операторными зависимостями. Теории, использующие дифференциальные неинтегрируемые соотношения, известны как теории течения они, как правило, строятся с использованием введенного выше понятия поверхности текучести. Рассмотрим простейший класс операторных теорий, которые применяются только для специального вида процессов нагружения. [c.267]

Вообще все, что было ранее сказано по поводу напряженного состояния в точке, полностью переносится и на деформированное состояние. Деформированное состояние в точке, как и напряженное, определяется шестью компонентами и представляет собой тензор второго ранга. Главные деформации определяются из кубического уравнения, коэффициенты которого являются инвариантами деформированного состояния. [c.38]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Записать первый и второй инварианты девиатора напряжений и девиатора деформаций. Показать, что компоненты одного и другого девиаторов оказываются пропорциональными друг другу, т. е. [c.64]

Так как при упругом поведении деформации можно выразить непосредственно через напряжения, то, очевидно, критерий текучести можно сформулировать в терминах только напряжений. Более того, если материал предполагается изотропным, то-функциональное соотношение между компонентами тензоров напряжений, выражающее этот критерий, не должно зависеть от выбора системы координат, т. е такое функциональное соотношение должно содержать лишь инварианты тензора напряжений. Таким образом, критерий текучести зависит от закона упругого поведения материала. [c.200]

Если разрушение происходит в области больших пластических деформаций, то входящие в (8.74) инварианты следует трактовать в компонентах тензора логарифмической деформации. [c.600]

Здесь ij3 - некоторая скалярная функция компонентов напряжений и деформаций. Так как тело изотропно, то можно считать, что 1з —функция инвариантов тензоров напряжения и деформации ). [c.739]

Остановимся на формуле суммирования повреждений (3.37), которая получена на основе силовой модели длительного разрушения. Эту формулу обычно применяют для оценки долговечностей при ползучести [10, 18, 39] причем в условиях сложного напряженного состояния в числитель каждой дроби должно войти приращение величины е на й-й ступени деформирования. Принципиальных трудностей вычисление этих приращений не вызывает, так как формула (2.49) или (2.50) позволяет определять приращения компонентов вязкопластических деформаций eT ) на любой ступени нагружения, после чего для этой ступени находится модуль приращения вектора R,, определяемого согласно (2.20). Эта величина, умноженная на i/ 2/3, и составит в соответствии с выражением (2.28) приращение инварианта Одквиста el на данной ступени нагружения. [c.92]

Если с.чободная энергия упругого тела, кроме Т и зависит также и от причем среди есть компоненты векторов или тензоров, то тело анизотропно. В анизотропном теле свободная энергия зависит от не только через инварианты (2.20), но и через совместные инварианты тензора деформаций и других тензорных аргументов функции Р. Так, если свойства среды зависят от некоторого вектора Ь (среда типа текстуры), то среди аргументов Р появляются инварианты вида ЪцЬ -ЬК [c.318]

В главе VI было показано, что первый инвариант тензора деформации равен относительному изменению объема тела в окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема). Та доля полной величины компонентов напряжений, которая входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воздействия на элементостальной части полной величины компонентов напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема. [c.505]

Изотропные нелинейно-упругие тела описываются различными соотношениями. Большую группу материалов составляют гипе-рупругае изотропные среды. Для них функция энергии деформации представляется обычно как зависимость от инвариантов деформаций. Для плоской задачи инварианты можно выразить через компоненты деформаций следующим о азом [c.183]

Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравнениях (6.33) и (6.34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями орто-тропии. [c.110]

Для того чтобы найти зфашнения движения частей твердого тела, нужно знать объемные и поверхностные силы, действующие на эти части в процессе деформирования. Внешние силы должны быть заданы. Объемные силы могут быть найдены, коль скоро известна внутренняя энергия деформированного тела (поскольку в дальнейшем нас будут интересовать адиабатические процессы). Относительно внутренней энергии можно сказать, что она должна быть инвариантна относптельпо преобразования координат. С другой стороны, внутренняя энергия является функцией компонент тензора деформаций ), поэтому для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы внутренняя энергия завйсела от инвариантов тензора деформации (8.6) [c.294]

Тензор малой деформации с компонентами Eij можно разложить на сумму двух тензоров шарового тензора деформации и девиатора деформации. Шаровой тензор деформации имеет компоненты /3, а девиа-тор деформации — e j = sij — kkSij/ . Очевидно, что первый инвариант девиатора деформации равен нулю. [c.49]

Полагая, что в случае изотропного упрочнения первоначально изотропного несжимаёмого материала в функцию /1 включен только второй инвариант девиатора напряжений, как при выводе уравнений (12.7), получаем зависимости компонентов деформаций от компонентов напряжений [c.269]

Для этой задачи существует кинематически допустимое поле смещений, которое всюду имеет главные деформации = aolE и б2 = — aJE, где — модуль Юнга. Действительно, если обозначить через и а v (бесконечно малые) компоненты смещений относительно прямоугольных осей х и у, то из равенства нулю инварианта в -1- вг следует соотношение [c.95]

Наконец, если тело изотропное, то упругий потенциал должен быть постоянным при произвольном повороте осей координат. С другой стороны, тензор напряжений или тензор деформаций имеет три независимых инварианта первой, второй и третьей степени относительно компонентов тензоров напряжений и деформаций. Поэтому упругий потенциал должен быть выражен через инвариан- ты тензора напряжений, если упругий потенциал представлен компонентами тензора напряжений, или через инварианты тензора де-. формаций, если упругий потенциал представлен компонентами тензора деформаций (4.28). В силу того, что упругий потенциал является однородной функцией второй степени, он может содержать только первый инвариант во второй степени и второй инвариант в первой степени, т. е. [c.68]

Для построения моделей упругопластического тела в настоящее время применяют теории течения и малых упругопластических деформаций (последняя является следствием теории течения, применимой при простом нагружении). Простым нагружением называют процесс, при котором в каждой точке тела компоненты девиатора оД теюора напряжений Д = а- а Е изменяются пропорционально. Здесь То = = (l/3)/i(a) = (1/3) --а - среднее напряжение Л(5) - первый инвариант тензора напряжений а. [c.69]

Данные векторы — девятимерные, но следуя работе [27 ], используют также и пятимерные векторы (так как девиаторы напряжений и пластических деформаций имеют по пять независимых компонент). Величины Rs и представляют собой инварианты девиаторов Rs = У Re = Vj . В процессе пластического деформирования оба вектора описывают в пространствах компонент девиатора напряжений и девиатора деформаций некоторые кривые, которые называются путями нагружения и деформирования. При пропорциональном нагружении, когда соотношения между компонентами девиатора напряжений сохраняют постоянство, эти кривые превращаются в лучи, выходящие из начала координат. Феноменологические закономерности пластического деформирования должны содержать зависимость между любым путем нагружения и соответствующим путем деформирования. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...