Инварианты тензора симметричного второго

Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V тензорный эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора). [c.774]

Инварианты тензоров деформаций. Инварианты симметричного тензора второго ранга находятся через смешанные компоненты. Имея одинаковые ковариантные компоненты тензоры дефор- [c.72]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

На рис.11.7 и 11.9 для симметричной части ячейки периодичности показаны характерные зоны деформирования и изолинии полей на пряжений, отнесенных к пределу прочности матрицы. Деформирование материала в пределах зоны пластичности соответствует участку АВ, а в области, названной зоной начальной закритической деформации, описывается участком ВС на диаграмме деформирования матрицы (см. рис.И.6). Другая выделенная область — зона развитой закритической деформации — объединяет материал в состояниях, которым соответствуют значения второго инварианта тензора микронапряжений большие, чем в точке С на диаграмме. На рис. 11.8 и 11.10 изображены линии одинаковых значений второго инварианта и компонент тензора микродеформаций. [c.263]

Отсюда, в частности, следует что производная любого инварианта симметричного тензора X второго ранга есть симметричный тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ- [c.19]

Приведем еще формулы дифференцирования главных инвариантов симметричного тензора X второго ранга [c.20]

В статьях [132], [133 ] рассматривается двухосное напряженное состояние с симметричными циклами изменения главных напряжений в одной фазе. Выдвигается гипотеза о том, что в предельном состоянии квадрат первого инварианта тензора напряжений /1 (см. том I, главу I) является линейной функцией второго инварианта Jt [c.718]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Разложение тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части. Сопутствующий антисимметричному тензору вектор. Инварианты. Сферическая и девиаторная части [c.120]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Уравнение (1.82) инвариантно относительно выбора системы координат. Следовательно, его коэффициенты /i, /3, /3 составленные из смешанных компонент тензора, инвариантны. Они называются инвариантами симметричного тензора второго ранга. Первый, или линейный инвариант равен сумме элементов матрицы (Т /), стоящих на ее главной диагонали, [c.44]

Сделайте подробный вывод кубического уравнения (1.82) и его коэффициентов — инвариантов симметричного тензора второго ранга. [c.50]

Здесь ё — вспомогательный постоянный симметричный тензор второго ранга д — его первый инвариант д т(и ) — [c.743]

В [62] также доказано, что полная н несократимая система совместных инвариантов произвольного числа симметричных тензоров второго ранга в трехмерном пространстве состоит из величин вида (4.22), где в качестве тензоров Xi, Хг, Хз надо взять [c.95]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Рассмотрим характеристическое уравнение симметричного тензора второго ранга [c.65]

Следовательно, основными инвариантами симметричного тензора второго ранга являются [c.66]

Из тензорной алгебры известно, что из компонент симметричного тензора деформации может быть образован один линейный инвариант и два инварианта второй степени е и Указанному отвечает следующее выражение для плотности свободной энергии [20] [c.26]

Для вычисления этого инварианта введем в рассмотрение тензор Риччи, — симметричный тензор второго ранга, — определяемый равенствами [c.628]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

Для этих двух сред Ф = Ф eij, 8). Из двух симметричных тензоров второго ранга и можно составить только щесТь независимых скалярных инвариантов, содержащих компоненты тензоров деформации - инварианты 1, Ь и /3, введенные выше, а также инварианты, содержащие кроме компонент тензора деформаций еще и компоненты тензора анизотропии [c.140]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Два тензора (14.22) — произведения тензоров второго ранга на инварианты. Этот случай был рассмотрен ранее (14.4). Что же касается четырех тензоров (14.23), то они будут равны друг другу, если a J и да симметричны. В частном случае, если [c.102]

В дальнейшем, иногда в качестве трех независимых инвариантов симметричных тензоров второго ранга будут приниматься а, а, а . [c.102]

Величина oj) должна быть объективной, поэтому функция г должна удовлетворять условию инвариантности ijj(B) = = ijj(QBQ ) для всех ортогональных преобразований Q в Ж и Это соотношение выполняется тождественно, так как, согласно уравнениям (2.3.30), величина В объективная. Таким образом, If) есть изотропная скалярная функция симметричного тензора второго порядка В. Согласно хорошо известной теореме Коши такая функция может зависеть от В только через три его главных инварианта 1 , а = 1, 2, 3 [c.129]

Коэффициенты квадратичной функции F зависят от выбора осей координат. Сама же функция Р, равная произведению не может зависеть от выбора координат — это есть инвариант, т. е. величина, не изменяющаяся при переходе от одной системы координат к другой. Следовательно, функция Р Хх, Хг, Хз) есть инвариантная квадратичная функция координат, а значит, совокупность коэффициентов этой функции представляет собой симметричный тензор второго ранга (по числу индексов) — тензо о инерции ) [c.365]

Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 6e,j = А (би,, j + 6iij, i) представляют собою обобщенные перемещения, а Оу — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что ОцОец есть инвариант, поэтому Оц — симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что [c.220]

Известно, что в трехмерном пространстве любой инвариант симметричного тензора второго ранга есть функция его собствен- -ных значений или, что эквив алентио, функция его главных-иива -риантов 1ь 1)2, 1з- Любой инвариант вектора есть функция его лины. ., . [c.18]

Заметим, что всякий симметричный тензор второго ранг тяожно представить в виде суммы не более шести линейно неза висимых тензоров (базисных). В случае трансверсальной изотро ПИИ для квазилинейной тензорной зависимости оказалось четыр базисных тензора. Квазилинейная ортотропная тензорная функ ция включает в себя зависимость от шести инвариантов, и поэто му тензорный базис для ортотропии состоит из шести тензоров (самый общий случай). [c.244]

Тензор напряжений, как и всякий симметричный тензор второго ранга, имеет три независимых инварианта, за которые могут быть приняты главные напряжения сь, Tj. Нумерация главных напряжений выбирается так, чтош.1 выполнялись неравенства многих случаях в качестве инва- [c.7]

Вследствие того что Оц является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совжстности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. [c.163]

Инварианты деформацин. Из тензорного исчисления хорошо известно, что из компонентов симметричного тензора второго ранга можно образовать три инварианта. Таким образом, инварианты деформации можно получить из смешанного тензора у - Эти инварианты являются коэффициентами при различных степенях Я в разложении детерминанта [c.16]

При это1У1 ко1У1понента /, связанная с инвариантом (следом) тензора ЬыЬ ь, называется скалярным рассеянием вторая часть рассеянного света, характеризуемая параметром (степенью анизотропии), называется анизотропным, или квадрупольным рассеянием, обе компоненты 1 и /г — симметричным рассеянием. Наконец [c.23]

Вектор не имеет инвариантов, отличных от функций его длины. Симметричный., .ензор второго ранга имеет три независимых инварианта. Здесь рассматриваются его алгебраические инварианты, выражающиеся через компоненты тензора с помощью действий сложения и умножения. Это — линейное, квадратичное и кубическое относительно компонент тензора выражения, обозначаемые /1(0), /а (О). з(О). [c.431]

Теперь можно легко ответить на вопрос о числе независимых инвариантов симметричного тензора второго ранга. Все они в главной системе координат должны быть фупк ]Ц-ями только трех компонент, и, следовательно, их число ле может быть больше трех, а из загшси инвариантов (4.28) в главной системе ясно, что все три найденных ранее инварианта независимы. [c.63]

Левая часть равенства (1.8) представляет собой скаляр (инвариант). Поэтому на основании (1 .36) выражение в скобках при х,йх в правой части равенства (1.8) является тензором второго ранга. При этом ( . ) —несимметричный тензор, так как и, фщ, а (%,(%, )— симметричный тензор, поскольку и , и == Несимметрич- [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...