Действительные корни уравнения частот

Теорема о действительности корней уравнения частот доказана. [c.234]

Действительные корни уравнений частот, 191. [c.668]

Смешанный спектр. Можно сконструировать примеры упругих систем, где наряду с участками сплошного спектра имеются точечные частоты. Так, добавляя к бесконечной балке на основании Винклера сосредоточенную массу М, получим спектр, изображенный на рис. 1, в. При этом точечная частота со является действительным корнем уравнения [c.172]

В точках и 22 (рис. 103) абсцисс, что является геометрической новленного факта. Итак, корни уравнения частот действительны и положительны. Предельный случай мы имеем при [c.227]

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот—действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что — комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень ш, являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды главной формы номер кг будут также комплексными числами вида й =а, -4-/р,-, амплитуды главной формы номер / будут комплексными сопряженными числам й/=а — /р,-. Подставляя й и й/ в условие (171.2), мы получим . [c.373]

Докажем, что оба корня его действительные и положительные. Тем самым будет доказано, что решение исходных уравнений можно искать в тригонометрической форме. Из уравнений частот f(fe ) =0 найдем значения функции f при k = Q, 13.1 си/ ап, С22/а22, оо. Положим для опреде- [c.212]

Уравнение частот имеет всегда действительные корни, как это было доказано выше. [c.250]

Итак, уравнение (8.66) — это уравнение третьей степени относительно квадратов частот со упругих волн с коэффициентами, зависящими от компонент волнового вектора к. Из симметричности детерминанта Кристоффеля следует, что корни уравнения (8.66) — действительные числа. В результате для каждого заданного значения к получаются три положительных значения частоты которым соответствуют три независимых [c.203]

Характеристическое уравнение (6.13b) относительно собственной частоты Q имеет помимо нулевых корней еще два положительных действительных корня Qi и Qn. а именно [c.264]

Ч (X) = о является уравнением с действительными коэффициентами четвертой степени относительно Х . Когда частота ш находится в пределах 0 (О это уравнение при т > 2 имеет пару комплексно-сопряженных корней с большим модулем и другую пару комплексно-сопряженных корней С меньшим модулем [I]. Расположим корни в следующем порядке Х4, Хг = = Х1, Хз, Х4 = Хз,. .., Ху+4 = —Ху, причем I Хх I )> I Хд , и первые четыре корпя расположены в правой половине комплексной плоскости. С увеличением частоты комплексные корни с меньшим модулем Хд, Х4, Х,, Хд стремятся к. действительным значениям, и при ю = со появляются две пары действительных кратных корней Хд = Х4 )> 0 и X = Хд < 0. Когда частота находится в пределах Ссо <С(о , имеем четыре действительных корня 0 < [c.20]

График на рис. 2 построен для г = 0. Уравнение (1) в этом случае совпадает с дисперсионным уравнением Рэлея — Лэмба [2]. На рис. 2 в низкочастотной области имеются две длинноволновые ветви, выходяш,ие из начала координат и удовлетворяющие также уравнению (3). Все остальные корни уравнения (1) на низких частотах являются комплексными. По мере возрастания частоты первая мнимая ветвь переходит в действительную. Частота перехода = я/2 носит название критической и является резонансной для стенки (на высоте стенки умещается половина длины сдвиговой волны). Выше этой критической частоты вторая ветвь дисперсии проходит в действительной области и при со —оо стремится к асимптоте в то время как первая ветвь стремится к асимптоте, соответствующей дисперсии поверхностной волны Рэлея. На частотах выше = я/2 появляются новые мнимые ветви (они возникают из комплексных ветвей, не изображенных на графике, в критических точках, соответствующих минимумам [c.30]

Так, например, если в уравнении (617) = О, а Од, = Оц os mt, где а — амплитуда колебаний нагрузки, а ш — ее угловая частота, то при действительных корнях характеристического уравнения (626) [c.477]

Таким образом, не существует границы между устойчивым и неустойчивым состояниями недемпфированной системы, а есть граница между нейтрально устойчивым и неустойчивым состояниями. Внутри области нейтральной устойчивости все корни располагаются на мнимой оси. На границе устойчивости четыре корня совпадают при положительной частоте и четыре — при отрицательной, а затем уходят с мнимой оси. Внутри области неустойчивости имеются четыре комплексных корня, соответствующие резонансным колебаниям опоры и низкочастотному качанию лопасти. Подстановка s = ш, где со — действительное число, определяет всю область нейтральной устойчивости, а не только границу флаттера. Наиболее простой путь определить границу устойчивости — это найти решение характеристического уравнения при s = ш. Область неустойчивости находится там, где невозможно получить все восемь корней уравнения при действительном (0. При несвязанном движении (5 — 0) корни определяются выражением s = ш, где м = 1, соу и Мх- Поскольку неустойчивость вызывается четырьмя корнями, она требует резонанса колебаний опоры и винта. При резонансе связь, создаваемая Sj, в некоторых условиях порождает неустойчивость. [c.618]

Для системы с конечным числом степеней свободы (и) уравнения частот представляют алгебраические уравнения высокой степени (2я), имеющие столько действительных и положительных корней для частоты, сколько степеней свободы имеет система. [c.341]

Четыре действительных и положительных корня уравнения (461) дадут спектр частот собственных колебаний четырех- [c.326]

Итак видно, что наша методика действительно позволяет без труда получить как хорошо известное классическое выражение для плазменной частоты, так и обобщение его на случай произвольной анизотропии изоэнергетических поверхностей. Это обстоятельство не вызывает удивления, ибо мы фактически точно следуем обычной процедуре разыскания плазменных частот (см., например, обзор [24] ). Действительно, в классической теории плазменные частоты определяются как корни уравнения Ree(ш, ) = 0. В 11 мы видели, однако, что выражение 1 — 2 кf как раз и играет роль обоб- [c.172]

Для случая /3 < 1/л/1 + е график функции у х) показан па рис. 2.26,а. Пз пего видно, что для каждого значения у имеется ровно три действительных корня X. Это значит, что каждому действительному значению волнового числа соответствует три значения частоты. Поскольку исходное уравнение (1) имеет третий порядок относительно со, то других корней нет. Значит нри таком соотношении параметров неустойчивость отсутствует. [c.118]

Хотя дисперсионное уравнение для изгибных нормальных волн при п = I значительно сложнее аналогичного уравнения для пластинки, поведение ветвей действительных корней очень схоже для этих двух случаев. Типичный спектр частот для семейства изгибных нормальных волн самого низкого порядка показан [c.169]

Эти постоянные легко интерпретируются, именно tty — амплитуда колебания, р — начальная фаза, k — круговая частота. Решение в форме (4.21) возможно, если все корни уравнения (4.5) мнимые. Действительно, полагая А, = ik, от решения (4.3) приходим к решению вида (4.21), где А —величины действительные, что будет дальше доказано. [c.217]

Покажем теперь, что уравнение частот (4.24) имеет относительно все действительные положительные корни. Допустим среди этих корней имеются комплексные сопряженные. Например, [c.219]

Волны в слоях и пластинах. Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические типы упругих волн [1, 2]. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим (переносящим энергию) вдоль пластины, слоя илн стержня, и стоячим (не переносящим энергии) в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнения для пластины с граничными условиями равенства нулю напряжений на двух поверхностях приводит к системе из двух характеристических уравнений для волнового числа к-р. Она имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенный тип волны в пластине (мода). [c.25]

Точка будет существовать, если Ьо — > О, но при этом корни характеристического уравнения будут действительными разных знаков, т. е. точка Яз будет седлом при любых значениях е . Это значит, что для данных значений I, в системе устойчивых движений с частотами (при е = 0) и ki и q (при е 0) не может быть. [c.206]

Динамическая теория решетки. Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6—8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть 3. (5—число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g(v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. Борн и Карман [8] использовали метод, в основном подобный тому, каким мы пользовались при выводе формул (5.1) и (5.2), и показали, что их результаты подтверждают закон Дебая для низких температур, согласно которому теплоемкость [c.320]

При повышении частоты первые мнимые корни переходят в комплексные, затем в критических точках комплексные корни вновь превращаются в мнимые, которые в свою очередь преобразуются либо снова в комплексные, либо в действительные, и т. д. Критические точки, соответствующие переходу корней из мнимой области в действительную, отвечают поперечным резонансным частотам свободной полосы. Уравнения для них tg д,о + th (Хо = О, где знак + соответствует симметричным волнам, получаются из уравнений (6.65) и (6.67) при )ii=iO. Расположение критических точек (они совпадают с экстремумами мнимых ветвей) п общий характер дисперсионных зависимостей на рис. 6.12 во многом аналогичны рассмотренным выше (ср. рис. 6.10 и 6.12). На высоких частотах все действительные ветви стремятся к асимптотам А, = io. Исключение составляют первая симметричная и первая антисимметричная действительные ветви, которые стремятся к асимптоте, отвечающей дисперсии волны рэлеевского типа [192]. [c.199]

Вид решения определяется корнями Х . уравнения (3. 10). Минимальную частоту собственных колебаний отдельной оболочки определим как наименьшее значение частоты, при котором 64=0 [52]. Минимальной частоте соответствуют корень Х=0 и форма колебаний оболочки как кольца Н/1Е=0. При частоте <о влияние сил инерции на деформации оболочки невелико, все корни имеют действительную часть ВеХу=4=0. Уравнение 4 (со)=0 [c.124]

Условием, при котором не все А одновременно равны нулю, является обращение в нуль определителя системы, что представляет характеристическое уравнение и-ной степени относительно со . Из него определяются п действительных положительных корней (О — квадратов собственных частот (А = 1, 2,. .., п). Для каждой А -ной собственной частоты из исходной системы алгебраических уравнений находятся только отношения величин Aif между собой (собственная форма колебаний, соответствующая частоте 0) ), например [c.68]

Вид решения определяется корнями Ху уравнения F (X) = 0. Минимальную частоту собственных колебаний отдельной оболочки м определим как наименьшее значение, при котором 64 = 0. Этому условию и корню X = 0 соответствуют колебания оболочки как кольца Л = 0. При частоте а> (и влияние сил инерции на деформации оболочки невелико, все корни имеют действительную часть Ке X,- 0. Уравнение (со) = 0 имеет три корня со, со", со". Если частота равна одному из этих значений, то решение имеет особенность, характерную для кратных корней линейных дифференциальных уравнений. Помимо указанных частот имеются другие, когда уравнение Т (X) имеет кратные корни. Поскольку при наличии кратных корней Ху матрица А становится вырожденной, она не может использоваться непосредственно для расчета составной конструкции и должна быть преобразована. Другая цель преобразования матрицы А — получить матрицу с действительными Элементами, так как, используя матрицы с комплексными элементами, мы теряем в точности расчета. [c.20]

При построении общего интеграла системы уравнений (II. 176а) была принята во внимание лишь половина корней уравнения частот (II. 181). Действительно, каждому положительному корню этого уравнения соответствует отрицательный корень, равный положительному по абсолютной величине. Но легко убедиться, что несущественным изменением постоянной е а функцию sin (— XJ -f ea) можно привести к функции sin (Яа -р Ец). Действительно, положим ea — n — Ец. Тогда [c.236]

До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот — действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что — комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень со , являюн ийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды собственной формы с номером к будут также комплексными числами вида а = aj + iPj, амплитуды собственной формы с номером I будут комплексными сопряженными числами а = oti — iPj, Подставляя ai и в условие (6.2.1), мы получим [c.180]

Еслиуои / —действительные числа, ТО у ( , t) в любое время t и на произвольном расстоянии от начала можно изобразить суммарным вектором двух векторов вынужденных колебаний с амплитудами г/о и г/ в начале и конце струны. Величины этих векторов изменяются гармонически с угловой частотой (3 в зависимости от расстояния Е- Их фаза — а или же [+ а (Z — Е)1 изменяется линейно с расстоянием g и частотой а. Оба вектора вращаются с угловой скоростью ю. Проекции векторов г/о, yi, заданные уравнением (4), например на действительную плоскость, определенную осью Е и действительной осью координат, равны сумме обоих векторов, заданных уравнением (8). В результате получаем действительные корни уравнения (3). Из уравнения (8) видно, что пока вынужденные колебания находятся только на одном конце струны, появляются на струне узлы на расстояниях удовлетворяющие условию РЕ = хп (и = 0,1 для уа Ф О, у 1=1=0) или же условию р (Z — Е) = у-я (х = О, 1, [c.171]

Четыре корня этого уравнения в общем случае находят численными методами, но границу устойчивости можно определить аналитачески. На плоскости параметров системы существуют области, в которых все корни имеют отрицательные действительные части, соответствующие устойчивому движению, и области, где один или более корней имеют положительные действительные части, соответствующие неустойчивости. Границей устойчивости в s-плоскости является мнимая ось. Пересекать мнимую ось может либо действительный корень, перемещаясь по действительной оси, либо пара комплексно-сопряженных корней при определенной частоте. Апериодическую неустойчивость, вызванную перемещением действительного корня через начало координат в правую полуплоскость, называют дивергенцией. Это — статическая неустойчивость, поскольку при нулевой частоте не действуют силы, обусловленные скоростями или ускорениями. Под флаттером будем понимать колебательную неустойчивость, соответствующую перемещению в правую полуплоскость комплексных корней. [c.587]

В табл. 15.4 приведено сравнение корней, полученных без учета и с учетом взаимосвязи для примера, рассмотренного в разд. J5.3.4.6 и 15.3.5. Взаимосвязь в этих случаях влияет в направлении стабилизации поперечных и дестабилизации.продольных колебаний, а также несколько изменяет их частоту. Действительные корни продольного и поперечного движений достаточно точно определяются без учета вза имосвязи, особенно для бесшарпирного несущего винта. Вообще говоря, уравнения движения, не учитывающие взаимосвязь, дают вполне приемлемое качественное описание динамики системы, а для большинства ее параметров и достаточно точную количественную оценку. Однако, судя по собственным векторам, вследствие взаимосвязи появляются существенные составляющие от поперечного движения в продольном и от продольного в поперечном. [c.739]

Решение уравнения (31.21) для изотропной плазмы с максвелловским распределением соответствует волнам поперечной поляризации с фазовой скоростью, большей скорости света, а поэтому практически не отличается от результата, получаемого при полном пренебрежении тепловым движением частиц плазмы. Тот факт, что фазовые скорости поперечных волн превышают скорость света, означает, что невозможно выполнение условия черенксвского излучения. Напротив, продольные волны, определяющиеся корнями уравнения (31.20), могут иметь малые фазовые скорости, а поэтому могут излучаться равномерно движущейся заряженной частицей. В окрестности области прозрачности, где действительная (е ) часть диэлектрической проницаемости обращается в нуль, мнимая (е ) часть также мала, что и соответствует возможности слабозатухающих колебаний. При этом мнимая часть диэлектрической проницаемости имеет тот же знак, что и частота. Поэтому в пределе малой е имеем [c.116]

Мы показали, что оба ряда (11.16) и (11.17) с равным правом могут быть использованы прй решении задачи дифракции на диэлектрическом теле. Эти представления в некотором отношении дополняют друг друга. Действительно, на частоте, при которой, например, становится неразрешимой задача Дирихле (в данном простом примере при k, удовлетворяющих уравнению J ik л/е а)= о), применение разложения (11.16) становится неудобным, так как это приводит к необходимости раскрывать в ряде для внутреннего поля неопределенность типа оо — оо. В этом случае почти всегда целесообразно использовать представление (11.17). И наоборот, при неразрешимости задачи Неймана (т. е. в нашем примере при частотах, являющихся корнями уравнения 1п(кл/еа)=0) следует использовать разложение (11.16) по функциям ы . [c.116]

Между тем вещественная часть т дает точную величину вертикальной составляющей волнового вектора, равную квадратному корню пз выражения, стоящего в фигурных скобках в формуле (55). В этом выражении при частотах со, меньших частоты Вяйсяля — Брента N (г), преобладает первый член, давая простое дисперсионное соотношение для внутренних волн (54). Сравнение показывает, что друп е члены имеют порядок квадратов малых величии и р /р. Действительно, из уравнения (29) следует, что при ю < сумма этих членов алгебраически меньше, чем [c.362]

Наинизшая ветвь действительных корней семейства Р 2,д) имеет фазовую скорость, которая на высоких частотах стремится к фазовой скорости релеевской поверхностной волны. Нормальные волны более высокого порядка семейства (2,д) имеют в качестве В1.1сокочастотного предела фазовой скорости значение скорости сдвиговой волны. Эти две особенности характеристик распространения относятся ко всем семействам нормальных волн более высокого кругового порядка. Кроме того, Грин [41] дал вывод приближенного диснерсиоиного уравнения, включающего приведенную переменную вида уа/щ это уравнение позволяет представить дисперсионные кривые всех основных нормальных волн при ге > 2 как функцию коэффициента Пуассона. Таким образом, согласно последним данным, свойства семейств нормальных волн сп> 2 аналогичны свойствам семейства нормальных волн сп — 2. [c.173]

Это уравнение определяет зависимость ю от волнового вектора к. При этом ю является комплексной величиной её действительная часть определяет частоту колебаний, а мнимая — коэффициент затухания. Физический смысл имеют те из решений уравнения (2), мнимая часть которых отрицательна (соответственно затуханию волн таковыми являются только два из корней уравнения (2). Если чki< Ygk (условие (25.1), то коэффициент затухания мал и (2) даёт приближённо ш = Уgk — г — известный уже нам результат. В противоположном предельном случае k Ygk уравнение (2) имеет два чисто мнимых корня, соответствующих чисто затухающему апериодическому движению. Один из корней есть [c.126]

На низких частотах уравнение (6.67) для длинных волн преобразуется к виду 6 (1 — v) — fio = О.Оно соответствует дисперсии крутильной волны в стержне согласно теории Сен-Венана (см, 3 гл. 5). Для корней, удовлетворяющих неравенству (6.61), уравнение (6.67) приводится к следующему ash2 + 2Ъ= О, которое при V = 1/3 (а = 5) имеет один действительный корень Я>= 0, четыре мнимых Х= 0,65яг, 0,78ni и бесконечное число комплексных корней. Приближенные значения комплексных корней могут быть вычислены по формуле [c.198]

Устойчивость установившихся режимов работы привода определяется видом характеристического уравнения линеаризованной системы (9). Спектр собственных частот системы зависит от упруго-массовых параметров привода и от параметров МВН — его жесткости, массы и передаточного отношения рычажной системы. Для оценки влияния каждого из этих факторов использовался численный метод решения с последовательной вариацией конструктивно реализуемых параметров МВН. Установлено, что, изменяя параметры МВН, можно управлять спектром собственных частот привода, смещая последние из опасных резонансных зон. Идеальный безмассовый МВН с абсолютно жесткими связями играет роль безынерционной следящей системы и не влияет на собственные частоты привода. Все корни xapaKTepn TH4e Kofo определителя в исследованном диапазоне изменения параметров МВН являются действительными положительными числами. Значит, в рамках принятых допущений о малости отклонений система привода с МВН устойчива. Вопрос об устойчивости больших отклонений решался путем моделирования неустановившихся режимов работы приводов на АВМ. [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...