Кинетическое уравнение для амплитуд

В этой же главе предложены кинетические уравнения для амплитуд, а не для их квадратов — аналога матрицы плотности. Кинетическое уравнение для амплитуд сохраняет гораздо больше информации о волновых функциях, чем аналогичные уравнения для функции распределения или матрицы плотности. [c.137]

Учтем в уравнении (231) затухание амплитуды а и возможность рождения пакета с волновым вектором к за счет рассеяния на других атомах. Мы получим кинетическое уравнение для амплитуды [c.227]

Формула (1.105) показывает, что при скачке давления в волне порядка величины самого давления перед фронтом ширина фронта порядка длины пробега молекул. При дальнейшем увеличении амплитуды волны, если пользоваться той же формулой, ширина становится меньше пробега. Этот результат, конечно, не имеет физического смысла. Если газодинамические величины сильно меняются на расстояниях порядка пробега молекул, то теряет силу гидродинамическое рассмотрение вязкости и теплопроводности, в основе которого лежит предположение о малости градиентов. Ширина сколь угодно сильной ударной волны, конечно, не может стать меньше пробега молекул, о чем свидетельствует рассмотрение, основанное на использовании кинетического уравнения для газа (см. гл. VII). [c.77]

Найти явное выражение для интеграла столкновений в кинетическом уравнении (5.4.20) с точностью до членов второго порядка по амплитуде взаимодействия Ф(к). Рассмотреть марковское приближение для линеаризованного интеграла столкновений. [c.426]

Для реальных металлов функции ъ(р) очень сложны. В еще большей мере это относится к амплитудам рассеяния. Поэтому получить точные числовые значения проводимости и теплопроводности весьма трудно. Гораздо легче найти температурные зависимости и порядок величии этих коэффициентов. Для этого в большинстве случаев даже не нужно решать кинетическое уравнение и вполне достаточна концепция длины свободного пробега. Мы начнем с рассеяния на примесях. В 3.2 мы уже рассматривали этот процесс для вывода кинетического уравнения в форме (3.12) и можно было бы получить соответствующие оценки для а и X из найденных там формул. Однако мы не будем делать этого, и для единообразия с другими механизмами рассеяния получим величины а и X из качественных, но более наглядных соображений. [c.47]

Этот результат можно истолковать как обобщенное энергетическое соотношение с энергетической константой Е , зависящей от х. Уже из уравнения (2.155) очень наглядным способом можно найти закон уменьшения амплитуды. Если построить график зависимости потенциальной энергии от х (рис. 75), то из полученной диаграммы сразу же — совершенно аналогично соотношениям для линейного осциллятора — определяется кинетическая энергия. Для этой цели нужно нанести на указанный график наклонную прямую Ео—гх. В области u>0 эта прямая имеет отрицательный наклон. [c.91]

Часть обобщенной силы зависящую от сил сопротивления, считаем равной нулю. Постоянные Н, р и Ь, характеризующие гармоническую возмущающую силу, соответственно являются амплитудой, круговой частотой и начальной фазой этой силы. В этом случае, как и в случае собственных линейных колебаний, из уравнения Лагранжа в предположении, что для кинетической и потенциальной энергий справедливы формулы (2) и (3), получают дифференциальное уравнение [c.412]

Рассмотрим влияние колебаний скорости внешнего потока с постоянной амплитудой колебаний на тепловой пограничный слой в предположении, что диссипацией кинетической энергии можно пренебречь. Это допущение может быть оправдано для сравнительно небольших амплитуд колебания скорости. Пренебрегая в первом приближении влиянием нелинейных членов как в пульсационном, так и в осредненном по времени уравнениях энергии и используя выражение (277), получим уравнения теплового пограничного слоя для степенного закона изменения скорости Uo = Ах" относительно безразмерных параметров для осредненного движения [c.110]

Витки нутации. Амплитуду нутации для любого момента времени можно найти путем вычитания угловых координат вектора кинетического момента, определяемого уравнениями (20), из истинных значений соответствующих углов в тот же момент времени, определяемых уравнениями (12) и (13) для случая, когда внешний момент продолжает действовать, именно амплитуда выражается при помощи этих разностей соотношениями [c.16]

Уравнения движения жидкости получены в теории гидродинамики для их вывода необходимо находить потенциальную и кинетическую энергию жидкости во вращающемся и перемещающемся баке. Перемещение поверхности жидкости выражается через амплитуду для каждой формы перемещения, как это показано на рис. 18.12. [c.594]

Для описания газа используется кинетическое уравнение для амплитуд. Как видно, столкновения частиц приводят, во-первых, к пакетизации их волновых функций, а во-вторых, к случайным парным столкновениям. Каждое такое столкновение уничтожает два сталкивающихся волновых пакета и рождает два рассеянных пакета. Так как число частиц сохраняется, то вместо операторов рождения и уничтожения удобнее пользоваться операторами рассеяния. Оператор рассеяния равен произведению оператора уничтожения на оператор рождения (порядок действия операторов читается справа налево). Очевидно, что член столкновений равен произведению двух операторов рассеяния. [c.299]

С помощью кинетического уравнения для амплитуд можно понять, как происходит сужение волнового пакета тяжелой броуновской частицы. А затем, по аналогии, можно описать механизм пакетизации волновых функций макроскопических течений (в том числе, звуковых волн) в газе. Видно, что квантовый хаос у волновых функций атомов газа сам по себе приводит к классическому описанию волн и вихрей в обычном газе. [c.299]

Гидродинамическая теория структуры вязкого скачка уплотнения теряет смысл в случае ударных волн большой амплитуды, когда ширина скачка уплотнения достигает порядка длины пробега молекул. Сильный скачок уплотнения необходимо рассматривать на основе молекулярно-кинетической теории газов, т. е. на основе кинетического уравнения Больцмана. И. Е. Тамм (1965) ) и независимо Г. М. Мот-Смит (Phys. Rev., 1951, 82 6, 885—892) построили приближенное решение кинетического уравнения для этого случая. Решение основано на представлении функции распределения в виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих параметрам начального и конечного состояний, причем коэффициенты, определяющие вес той и другой функций, меняются вдоль координаты от О до 1. Они отыскиваются в ходе решения. Ширина скачка при неограниченном возрастании амплитуды волны pjp стремится к определенному пределу и имеет, как и следовало ожидать из физических соображений, порядок длины пробега молекул. [c.213]

В. В. Болотина (1964), где, кроме корреляционного метода, обсуждены также возможности и полученные результаты в области применения ква-зистатического метода и метода кинетических уравнений для исследования статистических свойств колебаний пластинок и оболочек при случайных нагрузках. Болотин отмечает, что применению математической статистики в различных областях физики и техники посвяш ено огромное количество работ, причем многие результаты из статистической динамики могут быть интерпретированы в терминах теории пластинок и оболочек. В свойственных теории оболочек задачах приложения этих результатов заключаются в установлении обш их свойств спектра колебаний. В линейных задачах это в настоящее время выполнимо что касается колебания оболочек с конечными амплитудами, то здесь в ближайшем будущем придется, по-видимому, ограничиться рассмотрением конкретных задач, представляющих непосредственный интерес для практики. С точки зрения теории оболочек упор надо делать на учет континуального характера работы оболочки (В. В. Болотин, 1966). [c.257]

Когда постановка задачи является более ограниченной и требуется определить равновесную форму спектра, не интересуясь его динамикой, возможен принципиально иной подход [16, 123] к проблеме акустической турбулентности. Предполагая, что фазы различных фурье-компонент спектра слабо коррелировапы, можно от динамических дифференциальных уравнений перейти к кинетическому уравнению для средних значений квадратов амплитуд. Такой подход позволяет наряду с процессами самовоздействия, приводящими к возникновению коррелированных гармоник и переходу гармонической волны в пилообразную, учесть еще и процессы перемешивания волн, бегущих в различных направлениях. Это перемешивание, связанное с неодномерным характером явления, может привести к размытию фронта пилообразной волны и в этом смысле действует подобно турбулентной вязкости. Как показано в работе [126], стационарный спектр в [c.266]

Анализ этих данных показывает, что процесс накопления скрытой энергии Ане, а следовательно, и повреждаемости материала во времени, протекает с переменной скоростью н и носит затухающий характер, что находится в хорошем соответствии с кинетическим уравнением повреждаемости (4). В связи с этим представляют интерес экспериментальные зависимости скорости изменения в деформируемых объемах образцов Пе от величины текущих значений изменения п.лотности скрытой энергии Дм . Графики этих зависимостей для сталей 45 и 40Х в отожженном состоянии представлены в координатах и — — Днй (рис. 2, а, б) и 1п Нй — Дне (рис. 2, а, б ) соответственно. Анализ этих графиков, а также аналогичных графиков для других исследованных материалов показал, что они хорошо описываются кинетическими уравнениями иовреждаемости (4), (11) и (14). Анализ графиков показывает, что в полулогарифмических координатах 1п й — Д й (рис. 2, а, б ) экспериментальные данные хорошо укладываются на веер прямых, угол наклона которых к оси Апе зависит от амплитуды напряжений и температуры образцов, с увеличением которых наклон прямых уменьшается, что находится в хорошем соответствии с кинетическими уравнениями (4), (13) — (14). [c.92]

С целью опреде.ления параметров кинетического уравнения (14) экспериментальные данные,, представленные для сталей 45 (рис. 2, а, а ) и 40Х (рис. 2, б, б ), а также аналогичные даньгые для других материалов, подвергнуты статистической обработке по методу наименьших квадратов. Результаты статистической обработки представлены на рис. 3 и 4. Анализ этих данных показывает, что параметр кинетического уравнения пов21еждаемости (14) зависит в основном от амплитуды циклических напряжений Оа- Экспериментальные точки на рис. 3 хорошо укладываются на прямые в координатах 1аА — Оо, т. е. наблюдается экспоненциальная зависимость кинетического параметра А от амплитуды наиряжений Оа в квадрате, что находится в хорошем соответствии с зависимостями (15)—(16). Па- [c.92]

Для нроведеним расчетов циклической долговечности нри переменных нагрузках закономерности накопления усталостных повреждений yAo6Fio представлять в виде кинетических уравнений, связывающих скорости накопления усталостных повреждений от уже накопленного к данному моменту времени усталостного повреждения и от уровня амплитуд напряжений [c.17]

Существующие варианты теорий, описывающие метод ВРЛС и основанные на кинетических уравнениях, не учитывают фазовые соотношения между модами резонатора и не могут, следовательно, адекватно описывать взаимодействие многомодового лазерного излучения с поглощающей средой, имеющей в общем случае сверхтонкую структуру (естественную или наведенную внешними полями). Экспериментальные результаты в [21], показывающие зависимость ширины линии поглощения водяного пара от амплитуды и частоты внешнего высокочастотного поля, демонстрируют принципиальную возможность изучения с помощью широкополосного метода ВРЛС структуры линий, скрытых под доплеровским контуром. Для правильной количественной интерпретации результатов измерений необходимо развивать волновую теорию метода ВРЛС. [c.131]

Таким образом, непрерывное течение начиная с некоторого момента становится невозможным. Возникает вопрос как описывать такое течение в рамках механики сплошной среды. Поступают следующим образом вводится поверхность разрыва — ударная волна. При распространении волн сжатия конечной амплитуды профиль волны за счет сил давления стремится сделаться как можно круче. В то же время за счет диссипативных процессов профиль сглаживается. В результате действия этих факторов возникает зона с резким изменением параметров, которая разделяет две области среды возмущенную и невозму-щенную, — зона ударного перехода. В этой зоне градиенты величин, характеризующих состояние газа — плотности, давления, скорости, — очень велики. Протяженность ударного перехода в газах составляет несколько длин свободного пробега молекул. Для расчета зоны ударного перехода уравнения механики сплошной среды неприменимы, необходимо пользоваться молекулярно-кинетическими представлениями. [c.17]

Ha рис. 29 приведена картина деформации осредненного по времени температурного поля в пограничном слое под действием высокочастотных колебаний скорости внешнего потока. С увеличением амплитуды и уменьшением частоты деформация осредненного по времени температурного поля под действием колебаний увеличивается. Для учета диссипации кинетической энергии решение уравнения (277) для малоамплитудных колебаний удобно искать в виде ряда [c.114]

Рассмотрим несколько ярких примеров проявления резонанса. В главе 2 описан резонатор Гельмгольца как цример гармонического осциллятора. Напомним, что для него при использованных допущениях можно считать всю кинетическую энергию сосредоточенной в слое воздуха, движущемся в горлышке резонатора, а потенциальную энергию, связанной с упругой деформацией воздуха, заключенного в широкой части резонатора (аналогия с пружинным маятником). Потери в резонаторе Гельмгольца связаны с трением в отверстии резонатора и излучением звука. Будем как обычно хараетеризовать их слагаемым 2ух в уравнении линейного осциллятора, Если поместить резонатор Гельмгольца в гармоническое звуковое поле с частотой и и амплитудой давления Р,, то в нем возникнут вынужденные колебания с амплитудой [c.97]

Решение с помощью внутренних координат. Относительное положение атомов задается ЗЛ — 6 (или ЗМ—5) координатами. Вместо того чтобы следовать изложенному выше способу, можно выразить потенциальную и кинетическую энергию как функции этих ЗЛА —6 внутренних координат и таким путем получить непосредственно вековое уравнение порядка 3//—6, не содержащее нулевых решений. Имеется много возможностей для выбора внутренних координат (см. Вильсон и Кроуфорд [943]). Пожалуй, наиболее естественным в случае несимметричной молекулы является выбор в качестве координат ЗМ—6 междуатомных расстояний или, точнее, изменения Q ЪЫ—6 равновесных расстояний между атомами. Такие координаты также называют центрально-силовыми координатами (см., например, Шефер и Ньютон [778]), так как они лучше всего соответствуют центральной сис-теме сил (см. стр. 85). Вследствие того что при малых амплитудах эти координаты являются линейными функциями от прямоугольных координат смещений, потенциальная энергия является квадратичной функцией от координат (3,- и может быть записана в виде [c.161]

В пределе нулевого периодического потенциала справедливость нолу-классической модели должна нарушаться, поскольку тогда электрон оказывается свободным. В однородном и постоянном электрическом поле свободный электрон может непрерывно увеличивать свою кинетическую энергию за счет электростатической потенциальной энергии. Однако полуклассическая модель запреш,ает межзонные переходы и требует поэтому, чтобы энергия электрона оставалась ограниченной пределами той зоны, в которой электрон находился первоначально ). Следовательно, чтобы можно было применять нолукласси-ческую модель, сила периодического потенциала должна превышать некоторое минимальное значение. Подобные ограничения довольно трудно обосновать, но они имеют очень простой вид, и мы сформулируем их без доказательства ). В данной точке /с-пространства полуклассические уравнения справедливы для электронов из п-ш зоны в том случае, если амплитуды медленно меняющихся внешних электрического и магнитного полей удовлетворяют следующим условиям [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...