Матрица характеристическая для матрицы

Уравнение (2.68) назьшается характеристическим уравнением матрицы А (см. 1, гл. 2). Оно может быть использовано для вычисления всех ее собственных значений. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы, а в случае симметричной матрицы и взаимно ортогональны. Количество к собственных векторов, соответствующих собственному значению X, не превышает кратности этого собственного значения 1 < Для симметрич- [c.117]

Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов [c.215]

Обратимся к случаю, когда элементы матрицы А постоянны. Мы определили характеристические показатели только для периодической матрицы А. Однако из 23.3 следует, что если матрица А постоянна, tq ее, собственные значения играют в решении уравнений в вариациях такую же роль, что и характеристические показатели в случае, когда матрица А является периодической. Поэтому термином характеристический показатель можно пользоваться и в том случае, когда элементы матрицы А постоянны. В задачах, в которых А есть постоянная матрица, характеристические показатели являются ее собственными значениями. [c.467]

Для уменьшения времени позиционирования (при сохранении апериодического характера затухания динамической ошибки) в тех же условиях моделировался стабилизирующий закон управления (5.12) с диагональными матрицами коэффициентов усиления вида Fj = — 10/, Га = 25/. Характер затухания динамической ошибки в этом случае показан на рис. 5.2. Из сравнения полученных переходных процессов видно, что период позиционирования манипулятора с заданной точностью тем меньше, чем глубже отрицательная обратная связь в законе управления (5.12) (точнее говоря, чем левее от мнимой оси лежат корни характеристического уравнения, полученного на основе матричных коэффициентов усиления Fj, Fj). Для матриц Fi, Fj из первого эксперимента все корни характеристического уравнения совпадают и равны —1, а для матриц Fi, Fa из второго эксперимента они равны —5. [c.145]

Соотношения (23) и (24) определяют преобразование возмущении за цикл возмущенного движения, в течение которого происходит одно соударение. Периодическое движение устойчиво, если при увеличении числа циклов возмущения стремятся к нулю. Для этого корни Pi, Р2 характеристического уравнения матрицы, элементы которой совпадают с коэффициентами при Дт, Ди в (23) (24), [c.315]

Если регулятор состояния проектируется не для конечного времени установления (апериодического характера процессов), то приходится выбирать достаточно большое число их свободных параметров по сравнению с другими структурно оптимизируемыми регуляторами. При синтезе регуляторов без оптимизации квадратичного критерия качества приходится задавать либо коэффициенты характеристического уравнения (разд. 8.3), либо собственные значения замкнутой системы (разд. 8.4). Квадратично оптимальные регуляторы состояния требуют выбора весовых матриц матрицы Ц для переменных состояния и матрицы К для управляющих переменных. Для синтеза наблюдателей также необходимо выбрать свободные параметры, которые опять же являются либо коэффициентами характеристического уравнения, либо весовыми матрицами Оь и Нь квадратичного критерия качества (разд. 8.6). К тому же на процесс синтеза наблюдателей влияют параметры принятых моделей внешних воздействий (разд. 8.2), а также величина такта квантования (что относится и к регуляторам). Возможность выбора такого относительно большого числа свободных параметров при синтезе регуляторов состояния, с одной стороны, позволяет достаточно полно учесть характеристики объекта и требования к качеству управления, а с другой стороны, допускает определенный произвол при задании столь большого числа параметров. Поэтому расчет регуляторов состояния редко выполняется за один прием, а чаще проводится итеративно с использованием оценок качества процессов регулирования (изложенных в гл. 4), [c.177]

Для исследования особенности функции контактных давлений (/5(а) на угловой линии упругого тела (а — оо) требуется знание комплексных нулей определителей основных матриц характеристической системы сингулярных интегральных уравнений относительно функций Ф (т,5), п = 1,2 (см. формулу (134.11) из [10]). Из формулы (10) следует, что (с > 0) [c.259]

Условие III — условием III а отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения, построенного для матрицы [dFg/dzi] из Па. [c.191]

В этом легко убедиться, вычислив определитель характеристической матрицы например, для уравнений статики (и колебания) моментной теории упругости, характеристическая матрица имеет вид [c.59]

Если вещественные части Re X, всех характеристических чисел матрицы А не положительны, то следует рассмотреть решения (14), отвечающие характеристическим числам Xj, для которых Re Xj = 0 [c.423]

Теорема 2. Для устойчивости тривиального решения гамильтоновой системы необходимо, чтобы все характеристические числа матрицы были чисто мнимые. [c.452]

Рассмотрим мультислой, расположенный между некоторой подложкой (справа от мультислоя) и бесконечно протяженной окружающей средой (слева). Пусть мультислой описывается характеристической М-матрицей 4x4, а падающая на границу раздела 2 волна — четырехмерным вектором . Тогда обратно в окружающую среду отражается волна , а волна проникает в подложку. При этом является суперпозицией двух собственных векторов среды, описывающих волны, бегущие справа налево. В соответствии с уже принятыми обозначениями (3.16.4) эти волны будем отмечать индексами 2 и 4, а бегущие слева направо — индексами 1 и 3. Это упорядочение остается справедливым не только для одноосных кристаллов, но и для двухосных. Поэтому векторы 1 ), и 1 ) можно записать в виде [c.209]

Характеристическая матрица для матрицы А— матрица К, удовлетворяющая уравнению ( А-скаляр) [c.482]

Пусть Г — постоянная матрица монодромии для некоторой фундаментальной матрицы системы (li). Тогда какая-либо другая постоянная матрица монодромии для некоторой другой фундаментальной матрицы системы (li) представляется обязательно в виде СГС (С —некоторая постоянная неособенная матрица), т. е. имеет те же самые характеристические числа и те же элементарные делители (инвариантные множители), что и матрица Г. Эти характеристические числа (с соответствующими кратностями) и элементарные делители называются инвариантами группы монодромии для системы (li), причем эта группа определяется согласно (7) в зависимости от фиксированного периода т матрицы A t) (см. (5)). [c.129]

Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид- [c.131]

Аналогично, для матрицы Zj с характеристическими числами — Х.2 = 1 и Яз = 2 получаем [c.60]

Одной из центральных в математической экологии является проблема устойчивости. Для детерминистских моделей эта проблема изучена достаточно хорошо (см., например, нашу с Д.О. Логофетом книгу Устойчивость биологических сообществ ), чего нельзя сказать для стохастических моделей. Р. Мей, исходя из чисто интуитивных представлений, предполагает, что коль скоро необходимые условия устойчивости невозмущенной системы — min > о (где X - характеристический корень матрицы сообщества), то при случайных возмущениях можно считать, что условие устойчивости будет иметь вид Хп, п > (а — мера интенсивности возмущений). Кроме того, в качестве критерия устойчивости сообщества в случайной среде Мей предлагает использовать условие существования стационарного распределения, в котором он видит аналог стационарного равновесия детерминистской модели. Развивая эти представления, [c.357]

Стационарное состояние (18.4.12) становится неустойчивым, когда действительные части собственных значений (18.4.13) положительны. Уравнение для собственного значения, или характеристическое уравнение, матрицы Л, решение которого является собственным эначением, имеет вид [c.397]

Собственный вектор (характеристический вектор) матрицы А — это такой ненулевой вектор ш, что Ат = Кю, или / К)А преобразует ш в ш, т. е. оставляет ш инвариантным. Величины Я, соответствующие такому гю, называются собственными значениями (характеристическими значениями) матрицы А. Следовательно, ш будет собственным вектором, если он является нетривиальным (т. е. ненулевым) решением уравнения А — к1)ш — 0 для некоторого числа Я. Компоненты ш составляют множество решений однородной линейной системы с матрицей А—к . Такая система фактически имеет тривиальное решение 1 1 =. .. = ш = 0, где ..., кУп). Но для получения нетривиального решения матрица /4—X/ [c.276]

Пусть теперь А — прощавольная квадратная матрица, элементы которой постоянные числа Составим Х-мат-рицу А — ХЕ (она на.чывается характеристической для матрицы А) [c.137]

Для исследования на устойчивость относительно матриц-столбцов i и X достаточно определить элементарн].1е делители характеристической Я-матрицы [c.147]

Полуопределенные составные системы представляются дополнительно в виде эквивалентных укороченных моделей типа и графы которых и соответствующие формулы для определения их квазиупругих параметров приведены в табл. 6. Характеристические А-матрицы Q ) и //j Q ) эквивалентных (укороченных — в случае полуопределенных систем) моделей соответственно для односвязной и двухсвязной составных систем имеют вид окаймленных диагональных матриц (табл. 7, где приняты обозначения [7—9] — единичная матрица порядка q-, 0 — символ прямой суммы матриц). [c.365]

Здесь G — матрица, N — порядок матрицы, Р — массив коэффициентов полинома размерности N + 1 R, RN, В — массивы размерности N + 1- Матрица G не сохраняется. Если фактическое значение предпоследнего параметра равно 1, то подпрограмма вычисляет дополнительно и корни характеристического уравнения по методу Берстоу [62]. Для этого используется соответствующая подпрограмма PRBM. [c.88]

Размерность матрищя 6, как правило, большая. Для получения собственных значений необходимо применять вычислительные методы линейной алгебры [14, 38, 52, 54]. Особо следует отметить справочник алгоритмов по линейной алгебре [53], пользующийся заслуженной популярностью в прикладных исследованиях. Поскольку не существует алгоритма вычисления собственных значений, эффективного для матриц любого тина, то всякий раз приходится решать проблему выбора алгоритма. Для вычисления комплексных характеристических показателей линейной системы с матрицей С произвольной структуры следует применять QL- и (ЗЛ алгоритмы. При этом эффективность алгоритмов повышается, если предварительно выполнить процедуры масштабирования и приведения матрицы к почти треугольной форме (форме Хессенберга) [53]. Указанные алгоритмы позволяют получать характеристические показатели с машинной точностью, что особенно важно для исследования устойчивости систем, содержащих исчезающе малые параметры, как, например, параметры малых диссипативных сил. [c.486]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Уравнение (36) показывает, что в области пластических деформаций собственные числа системы зависят уже не только от уирзтих свойств и объемных долей компонентов y, но и от деформационного упрочнения матрицы q. Для дальнейшего анализа распределения напряжений на этом этапе необходимо иметь в виду конкретные материалы. Но для того чтобь довести задачу до конца в более общим виде, зададимся пока только значением q = 20. Характеристическое уравнение при этом получается следующим [c.70]

Обозначим теперь через —т нижнюю грань характеристических чисел матрицы О в промежутке времени О < < Г заметим, что т О, так как 8ригб = с11у у = 0. Из определения т и свойств характеристических чисел следует, что в каждой точке 23 и для всех t, О < < Г, выполняется неравенство [c.232]

Если пренебречь наличием подложки, то поле, проникающее в щель, в ней же и затухает. На самом же деле из-за конечности толщины щели (1 между средой, на которую падает волна и подложкой хвост затухающей волны может достичь подложки и прив)ести к туннелированию энергии через щель. При этом наличие второй границы раздела приводит к появлению второй затухающей волны, распространяющейся уже в обратном направлении, к первой границе раздела и т. д. Эта бесконечная последовательность отражений порождает результирующее распределение поля, состоящее из двух затухающих волн в щели, прошедшей волны в подложке и отраженной волны в первой среде. Амплитуды соответствующих полей можно найти с помощью характеристических М-матриц. Нужно лишь при определении импеданса и фазовой толщины учитывать тот факт, что угол является комплексным 9 = тг/2 + / 2", т.е. = п с1 к со%в = = /ЛgАгозЬ. Применим, например, выражение (3.12.19) для вы- [c.227]

Для к.-н. с. определяется характеристическая квадратичная форма В = (введенная в [190]), не зависящая от выбора линейных координат. Квадратично-не-линейная регулярная 0-система, имеющая матрицу симметризатора, обратную матрице характеристической формы [c.221]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Предположим, наконец, что данное решение х = x(t) есть равновесное решение, так что в (13i) —(13г) H(i) = onst. Тогда характеристические показатели определяются в соответствии с 145 единственным образом как характеристические числа матрицы А = —Ш (мультипликаторы s тогда не определяются). Можно утверждать, что результаты, изложенные в 151 по отношению к характеристическим показателям, остаются справедливыми. Действительно, для этого достаточно показать, что матрицы —А и А или (что означает то же.самое) матрицы А и Л имеют те же самые элементарные делители, т. е. что —А = = Т А Т при соответствующим образом выбранной Т. Однако А = —Ш, так что в силу (13г) можно положить Т = 1. [c.135]

Из сказанного становится очевидным, что имеются двоякого рода трудности, связанные с построением строгой теории возбуждения волн в ограниченных пьезокристаллах. Построение матрицы Грина для произвольного среза кристалла чрезвычайно громоздко, а само решение малообозримо, поскольку содержит поперечные волновые числа, которые в общем случае являются корнями алгебраического уравнения восьмого порядка и не имеют аналитических выражений. В принципе можно надеяться, что эта трудность технического порядка может быть преодолена какими-то обходными приемами, которые позволили бы выражать фурье-компоненты матрицы Грина не через сами поперечные волновые числа, а через их комбинации, определяемые коэффициентами характеристического уравнения, подобно тому как это сделано для двухпарциальных волн в 2 гл. 1П. [c.164]

Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям) число диагональных нулевых элементов равно числу указанных мод. Чтобы выполнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью определим вначале характеристическое уравнение для матрицы [к]. Характеристическое уравнение для матрицы [к] есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта к—(о11=0. Если [к] — матрица порядка пХп, то для со получается алгебраическое уравнение /г-й степени, а корни уравнения oi,. ... .., СО ,. .., со являются собственными значениями матрицы [к]. Собственный вектор, отвечающий собственному значенню СО , есть ненулевой вектор d , удовлетворяющий уравнению [k] di = da o,. [c.63]

Прежде чем привести доказательство сформулированной теоремы, сделаем некоторые замечания. Упрощение решения системы (4.15) по сравнению с решением исходной возмущенной системы (4.13) происходит за счет расщепления подсистемы на т подсистем меньшей размерности. Для приведения централизованной системы (4.14) к квазидиагональному виду (4.15) используется лишь информация о характеристических числах матрицы Л системы нулевого приближения = х Л, так как вычисление матриц ... не [c.161]

В силу сделанных предположений о том, что матрицы и Л2 не имеют общих характеристических чисел, матрицы Ж13, 23> - зи 32 равны тоиедественно нулевым. Оставшиеся пять уравнений можно разбить на две группы. Уравнения для уК ц, 21> 22 равносильны решению одного уравнения [c.174]

Для упрощения расчетов будем считать, что характеристические числа матрицы различны, тогда различны и характеристические числа Я,2, Я,д, Х4 лшТ-риЧыА- [c.176]

Лемма 3.1. Матрица S v представления оператора U в подпространстве Fgiy (рассматриваемом над полем имеет простую структуру и ее собственные значения X определяются как К = Х т -Ь -Ь Кйтп, где К,. .., Кп — характеристические числа матрицы (среди них могут быть и кратные), т ,. .., т — целые положительные числа, для которых выполняется соотношение + пг = v (v — степень многочленов из подпространства V v). [c.194]

Из структуры матрицы = 9 г in — Вщ t/f известно, что ее характеристические числа равны всевозможным равностям Иг — Xi, г = 1, тПг, 7 = 1, и, где — характеристические числа матрицы удовлетворяющие соотношениям (3.15), X, — характеристические числа матрицы Следовательно, для существования нулевых корней ni— Xj = О матрицы необходимо и достаточно выпол" нения условия det = О, которое приводит к соотношениям + X m. j = Xj, rriij - -. .. -)- mnj = r, [c.195]

Как уже упоминалось выще, оценку качества равновесия удобно получать на основании качественных критериев, хорошо разработанных в трудах Р. Р. Матево-сяна [39], Я. Л. Нудельмана [46], А. Ф. Смирнова [72] и других исследователей. В настоящей работе будем основываться на понятиях о степени устойчивости и неустойчивости, причем совокупность последовательных коэффициентов устойчивости по предложению Р. Р. Мате-восяна будем называть рядом устойчивости [39]. Следуя [39], ряд устойчивости используется в неортогональной форме, т. е. для определения степени устойчивости и неустойчивости системы не будем решать характеристическое уравнение и вычислять собственные значения матриц, хотя для некоторых рассуждений будут использованы известные свойства собственных чисел. Мы будем рассматривать качественный анализ систем, описываемых уравнениями смешанного метода. При этом будем предполагать, что система уравнений смешанного метода записана таким образом, что сперва расположены все условия совместности деформаций, а затем все условия равновесия (см. рис. 54). [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...