Касательного модуля теория

Касательного модуля теория 318, 319 Кастильяно теорема 63, 65, 66, 77, 294, 299, 312 Кирхгофа гипотеза 218, 219, 222, 267, 395 [c.533]

Здесь Е, и Et — соответственно секущий и касательный модули, определенные по диаграмме растяжения для точки М. Опыт на кручение при постоянной растягивающей силе выявляет разницу между различными теориями пластичности наиболее контрастным образом. По теории течения с гладкой [c.562]

С другой стороны, большая часть трудностей развития основ теории к настоящему времени преодолена, и подтверждается это тем, что развитые точные методы анализа могли быть последовательно использованы для изучения микромеханики упругопластического поведения композита. В настоящий момент лучше всего разработан метод конечных элементов, который в сочетании с двумя одинаково развитыми возможностями— методом начальных деформаций Фойе и Бейкера [12] и методом касательного модуля Адамса [1—3] — позволяет моделировать сложные области и граничные условия, возникающие в задачах механики композитов. Подходы Фойе —Бейкера и Адамса полностью описаны в их указанных выше работах, соответствующие программы для ЭВМ введены в библиотеки и при желании могут быть использованы. [c.238]

Второй подход использует связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений (типа теории течения), подчиняющуюся ограничениям, накладываемым начальной симметрией материала [9]. При этом неявно предполагается, что касательный модуль материала при сложном напряженном состоянии равен модулю, измеренному при одноосном напряженном состоянии. [c.123]

В этом параграфе будет рассматриваться вариант деформационной теории, называемый теорией касательного модуля, в которой связь напряжения—деформации дается соотношениями [c.318]

С учетом этнх предварительных замечаний нетрудно получить следующие выражения для Л и В в теории касательного модуля [c.319]

Подставляя (11.26) и (11.27) в (11.12) и (11.15) соответственно, получаем выражение для функционалов П и Пе для материалов, описываемых теорией касательного модуля. Тогда получим два вариационных принципа [4—6]. [c.319]

Применим теперь теорию касательного модуля для случая идеально пластического материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса. Диаграмма S — Г для этого материала изображена на рис. 11.2 материал ведет себя [c.320]

Изложенная теория в общем удовлетворительно подтверждается экспериментами Кармана и других исследователей. При этом следует иметь в виду, что касательный модуль Е практически определяется с малой точностью из-за неизбежного разброса точек и быстрого изменения наклона касательной к кривой деформации. [c.273]

Поскольку Н — величина постоянная, то и касательный модуль G в этой теории должен быть постоянным, а это означает, что в одноосном случае данная теория дает диаграмму с линейным упрочнением. [c.134]

ВОДИМЫХ ПОЧТИ ВПЛОТЬ ДО разрушающего образец уровня, скорость нарастающей волны была скорее такой же, как у упругого стержня, Со=К /р, а не той, которая ожидалась согласно касательному модулю определяющей кривой напряжение — деформация по теории волн конечной амплитуды. [c.235]

Если зависимость деформации материала от нагрузки нелинейна, для определения критической силы прибегают к теории касательного или приведенного модуля деформаций, которые подставляют в формулу Эйлера вместо модуля упругости. Касательным модулем деформаций Е называется тангенс угла между касательной к диаграмме зависимости напряжения от деформации в данной ее точке и осью абсцисс. Приведенный модуль деформаций (для прямоугольного сечения) равен [c.72]

В первом диапазоне нагрузок до предела пропорциональности для расчета на устойчивость применима формула (43). Во втором диапазоне следует применить или теорию касательного, или теорию приведенного модуля деформаций, для чего нужно иметь диаграмму механических испытаний материала, или ее аналитическое выражение. Для древесных пластиков, например, диаграмма механических испытаний имеет вид такой [c.73]

Применяя теорию касательного модуля деформаций, т. е. подставив в формулу (44) вместо модуля упругости касательный модуль, получаем выражение [c.75]

Кривая критическое напряжение — гибкость на основе теории Кар.мана строится следующим способом. Располагая кривой а = а (i) (и, следовательно, значением Е), для каждого значения о р определяют соответствующее значение касательного модуля н затем по ( рмулам типа (105) или (106) вычисляют значение приведенного модуля Т. После этого по формуле (104) определяют гибкость [c.82]

Обнаруженный эффект может быть объяснен только характерным ужесточением полуфабриката (см. рис. 7.2) в поперечном направлении с ростом уровня радиальных напряжений. Нелинейная диаграмма сжатия пакета слоев полуфабриката в первом приближении может быть аппроксимирована кусочно-линейной зависимостью (см. рис. 7.4). Эта аппроксимация, хотя и вносит некоторую погрешность, зато позволяет, пользуясь минимальным числом параметров, описывать широкий спектр диаграмм. Для полуфабрикатов конструкционных композитов ориентировочные диапазоны характеристик следующие предел пропорциональности а = 0,5- 2 МПа, степень анизотропии к = (определяемая через касательный модуль Е,) составляет 30—200 (к = А,) до предела пропорциональности и 4—50 к = = ш) после него. Напряжения порядка а соответствуют средним напряжениям при намотке крупногабаритных конструкций, что косвенно указывает на необходимость использования при расчете нелинейной теории. [c.462]

Изложенная теория в общем удовлетворительно подтверждена экспериментами Кармана и других исследователей. При этом следует иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, касательный модуль Е практически определяется с малой точностью из-за неизбежного разброса точек и быстрого изменения наклона касательной к кривой деформации. Во-вторых, высказывались сомнения в достаточной точности опытных данных вследствие значительного влияния концевых условий и особенностей нагружения в испытательных машинах. [c.355]

Такую же формулу можно получить осреднением модулей сдвига по Рейссу [ 4.2]. В некоторых случаях зависимость для модуля поперечного сдвига (4.10) дает неудовлетворительные результаты, но учитывая приближенный характер теории оболочек типа Тимошенко, в которой соотношения упругости для поперечных касательных напряжений удовлетворяются интегрально, использование более точных формул, например из работы [ 4,3], нецелесообразно. [c.82]

Для точного измерения малых деформаций можно применять зеркальный тензометр и тензодатчики. При этом определяют модуль сдвига и касательные пределы текучести, упругости и пропорциональности. Так же, как и при изгибе, следует различать два условных предела текучести при кручении реальный, основанный на вычислении истинных напряжений, и номинальный с вычислением напряжений по обычным формулам сопротивления материалов [19]. В обоих случаях допуск (исходя из удлинения 0,2% при растяжении) следует выбирать по 1П теории прочности g = 1,5е = 0,3%. Так же, как и при изгибе, номинальный предел текучести выше, чем реальный, вследствие появления остаточных напряжений обратного знака. Как показала С. И. Ратнер, превышение номинального предела над реальным для разных материалов составляет 20—30%. [c.49]

Функции плотности 8о(р) и / (р) подбираются на основе экспериментальных измерений ударной адиабаты и изотермической сжимаемости. В зоне с более низкими давлениями р, в которой касательные напряжения сравнимы по величине с р, сферическое течение описывается посредством условия пластичности, устанавливающего связь между главными значениями напряжений Ог и Oq. Вариации плотности вещества в этой зоне незначительны, поэтому такие изменения можно связать с давлением Уз (< г + Зад), используя обычный модуль всестороннего сжатия. Наконец, внешняя зона, где напряжения не достигают соответствующего предела, описывается уравнениями теории упругости. [c.304]

В расчетах по данной теории обычно считают osP l, а а = = Ф(5)—универсальной функцией от s. Это означает, что при использовании данной теории ограничиваются траекториями малой и средней кривизны без учета излома траектории. В силу сказанного принимается Р = 20к, где Ок — касательный модуль сдвига. [c.268]

История определения критической силы для сжатого стержня берет начало от работ Г Эйлера. Определенная им критическая сила кр.з была подвергнута экспериментальной проверке, и было сделано заключение, что она дает сильно завышенные результаты. Однако, как выяснилось позже, ее применяли для случая X < Х,пред.э. что было ошибкой. Когда же стали брать гибкости %, не выводящие материал за пределы пропорциональности, то результаты теории, т. е. значения кр. ) = п Е]х/Р, хорошо согласовались с экспериментом. Теперь встал вопрос об определении теоретическим путем критической силы для случая работы материала -la пределом пропорциональности. В конце XIX в. Энгессером было предложено заменить в формуле Эйлера модуль Е касательным модулем Е(. Это дало хорошее совпадение с экспериментом, но такая замена не была обоснована теоретически. При изучении вопроса появилась мысль о двух зонах деформирования Ах и. 42, которая была высказана Ясинским (1894) и затем Карманом (1910). Формула Ясинского — Кармана хотя и приблизила теоретический результат к эксперим( нту, однако давала стабильно завышенный результат. [c.360]

Немецкий ученый Ф. Энгессер, работая над границами применения формулы Эйлера, пришел к выводу, что можно расширить эти границы, если заменить в ней постоянный модуль упругости переменной величиной, которую он назвал касательным модулем упругости. Эта величина, в свою очередь, выражала отношение напряжения материала к относительной его деформации, т. е. изменению длины стерншя по сравнению с его первоначальными размерами [40, с. 351, 352, 356—359]. Касательный модуль дал Энгессеру возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука, а также из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением у Энгессера возникла дискуссия с Ясинским, который утверждал, что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при его выпучивании уменьшаются и что испытания, проведенныеБаушингером, доказывают необходимость пользоваться в этой области поперечного сечения постоянным модулем упругости, а вовсе не касательным модулем [43, с. 214]. Этот спор закончился тем, что Энгессер признал правоту Ясинского, переработал свою теорию и ввел для двух областей поперечного сечения два различных модуля. Исследуя влияние поперечной силы на величину критической нагрузки в стойках, он нашел, что эта величина для сплошных и сквозных решений различна. В сплошных ее влияние мало и им можно пренебречь, а в сквозных оно может оказаться значительным. Энгессер вывел формулы для определения того отношения, при котором [c.254]

Представление опытных данных в форме (7.47) мол ет оказаться недостаточно удобным для практических целей, если конструктор не располагает соответствующей диаграммой касательного модуля (см. рис. 7.15). В этих случаях экспериментальные кривые для определенного материала строятся в координатах критическое напряжение — гибкость %. (Зднако с точки зрения теории подобия зависимости (7.47), изображенные на рис. 7.14, имеют большую общность и пригодны для приближенного моделирования продольного изгиба профилей и панелей из различных конструкционных материалов. [c.157]

Эксперименты Баушинге-ра (Baus hinger [1881, 2]), в которых он также изучал кручение призматических стержней круглого, эллиптического, квадратного и прямоугольного поперечных сечений, имели преимущество быть выполненными четверть века спустя после создания теории Сен-Венана. Тем не менее и Баушингер нашел, что измерения при кручении достаточно чувствительны для того, чтобы легко обнаружить существенную нелинейность, однако он не был настроен против представления результатов своих опытов в видетаблицы значений касательного модуля при сдвиге. На рис. 2.37 приведены значения касательного модуля при сдвиге, найденные Баушингером при различных формах поперечного сечения чугунных призматических образцов. [c.135]

Осенью 1948 г. я задумал эксперимент ), который, как казалось в то время, позволит провести непосредственную экспериментальную проверку применимости квазистатической функции состояния, если нелинейная волновая теория действительно применима. Идея была чрезвычайно простой. Теория волн конечной амплитуды утверждала, что постоянные волновые скорости при заданной большой деформации определялись касательным модулем неизвестной кривой напряжение — деформация. Предварительно квазистатически напрягая длинный образец до желаемой деформации, вводя при этом продольные нарастающие волны нагружения, мы должны бы по результатам измерения волновой скорости находить искомые значения касательного модуля опытным путем. Так как могли быть [c.233]

Зависимость свойств резины от того, из какой партии изготовления она взята, была четко показана в опытах Мэллока в 1889 г. (Mallo k [1889, 1]), который определил динамические и квазиста-тические значения модулей Е, п К для мягкой серой, красной и жесткой серой резин. Значения Е w определялись по обычной методике. Он оценил объемную упругую податливость, помещая индийскую резину под давлением до 550 фунт/дюйм в заполненную водой стеклянную трубку. Он определил модули при малых напряжениях и касательные модули при больших удлинениях. Эти результаты приведены в табл. 141, где единицы измерения — дюйм, фунт, секунда. Можно заметить значительное изменение определявшихся величин с изменением разновидности резины, различия между динамическими и статическими значениями, зависящие от плотности. Наконец, опыты по измерению вязкости продемонстрировали одно из затруднений, испытывавшихся Больцманом в 1882 г. (Boltzmann [1882, 1]), когда он выбрал резину в качестве материала для образцов в опытах по проверке теории Сен-Венана удара о стержень (гл. П1, раздел 3.34). [c.373]

Работая в области теории продольного изгиба, Энгессер ) предложил расширить область применения формулы Эйлера, введя в нее вместо постоянного модуля упругости Е, переменную величину Et = dalds, которую он назвал касательным модулем упругости. Определяя касательный модуль из опытной кривой сжатия для какого-либо частного случая, он получил возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, в своем поведении отклоняющихся от закона Гука, а также для стержней из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением возникла дискуссия между ним и Ясинским. Последний указал"), что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при выпучивании уменьшаются и что в соответствии с испытаниями Баушингера для этой области поперечного сечения следует пользоваться постоянным модулем упругости Е, а не касательным Впоследствии Энгессер переработал свою теорию, введя в нее два различных модуля для двух областей поперечного сечения ). [c.357]

Если система не обладает достаточной гибкостью, то потеря устойчивости может происходить в упруго-пластическом состоянии. Ф. Энгессер развил теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом упругости в предполон ении, что во всех точках поперечного сечения происходит процесс нагружения. В этом случае критическая сила определяется не модулем упругости, как в задаче для упругого материала, а касательным модулем (мы получаем касательно-модульную критическую силу). Ф. С. Ясинский по поводу этой теории заметил, что следует учесть разгрузку в части сечения. Это приводит к существованию нейтральной оси сечения. Учитывая разгрузку в поперечном сечении в предположении, что результирующая осевая сила остается неизменной, Ф. Энгессер получил формулу для критической силы, которая отличается от соответствующей формулы для упругого стержня тем, что вместо модуля упругости в нее входит приведенный модуль, зависящий от формы поперечного сечения стержня. В течение почти всей первой половины нашего столетия считалось, что приведенно-модульная нагрузка и есть критическая нагрузка для упруго-пластических систем и что первоначальный результат Энгессера ошибочен. Было опубликовано большое число работ, в которых на основе этой концепции решаются различные задачи. [c.346]

Аюдульной. Она была предложена несколько позже Ф. С. Ясинским и Т. Карманом. Долгое время теория приведенного модуля считалась правильной, а теория касательного модуля — неверной. [c.417]

В первой работе Энгессера (1889 г.) формула для критического напряжения отличалась от формулы (139.10) тем, что в ней вместо приведенного модуля К фигурировал касательный модуль E . На возможность образования зон разгрузки при потере устойчивости обратил внимание Ф. С. Ясинский, после чего Энгессер переработал свою теорию и ввел приведенный модуль К. Совсем недавно, в 1947 г., старое решение Энгессера, отброшенное самим автором, получила новое освещение в работе Шенли. Представим себе, что стержень нагружается непрерывно возрастающей силой когда сила достигает [c.311]

В течение многих лет формула (155), основанная на приведенном модуле Ву, применялась инженерами, которые имели -дело с такими пластическими материалами, как алюминиевые сплавы и строительная сталь, но некоторые эксперименты показали, что результаты испытаний лучше согласуются с формулой (151). Рис. 118, например, представляет результаты испытаний для сплошных круглых стержней из алюминиевого сплава ). Видно, что для больших значений гибкости результаты совпадают с кривой Эйлера, для коротких же стержней результаты удовлетворительно согласуются с кривой, отвечающей теории касательного модуля. Таким образом, метод рассуждения, примененный при вычислении о р в упругой области, становится неудов--летворительным за пределом упругости, так как к-ривая, отвечающая теории Ег, основанная на этом методе, не согласуется с результаталЙ лспытаний. г [c.154]

Кривая одноосного растяжения малоуглеродистой стали с разгрузкой испытуемого образца (рис. 58) показывает, что остаюч-деформация измеряется отрезком ОО. Пластическая деформация начинает проявляться на участке АВ и происходит без увеличения нагрузки. На участке ВС происходит упрочнение материала, поэтому угол наклона касательной к кривой ВС и к оси абсцисс tg р называют модулем упрочнения. Упрочнение имеет направленный характер, т. е. материал меняет свои механические свойства и приобретает деформационную анизотропию, при этом пластическая деформация растяжения ухудшает сопротивляемость металла при последующем его сжатии (эффект Ба-ушингера). Как видно из приведенной кривой, растяжение малоуглеродистой стали при пластических деформациях нагруженного и разгруженного образца значения деформаций для одного и того же напряжения . в его сечении не является однозначным. Методы теории пластичности, наряду с изучением зависимости между компонентами напряжений и деформаций, возникающих в точках тела, определяют величины остаточных напряжений и деформаций после частичной или полной разгрузки дetaли, а также напряжения и деформации при повторных нагружениях. [c.96]

Рис. 6. Касательное напряжение на поверхности раздела фаз в слоистой среде при воздействии поперечной нагрузки (по Вёлькеру и Ахенбаху [76]). Штрих-пунктирная кривая соответствует теории эффективных модулей сплошная — численному интегрированию штриховая — методу стационарной фазы.

Метод головного импульса был использован также для исследования нестационарных волн, распространяющихся вдоль слоев и возникающих при внезапном приложении касательных напряжений в сечениях, перпендикулярных слоям. В работе Вёлькера и Ахенбаха [76] определены касательные напряжения на границах раздела слоев и проведено сравнение с результатами решения по теории эффективных модулей, оперирующей с осредненными напряжениями. Результаты сравнения показаны на рис. 6. Видно, что для применимости метода головного импульса в действительности необходима только параболическая форма дисперсионной кривой низшей моды и при малых [c.373]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Курс прикладной механики Бресса состоит из трех томов ). Из них лишь в первом и третьем рассматриваются задачи сопротивления материалов. Автор не делает никаких попыток ввести результаты математической теории упругости в элементарное учение о прочности материалов. Для всех случаев деформирования брусьев предполагается, что их поперечные сечения остаются при деформировании плоскими. В таком предположении исследуются также внецентренные растяжение и сжатие, при этом используется центральный эллипс инерции, как это было разъяснено выше (см. стр. 178). Бресс показывает также, как подходить к задаче, если модуль материала изменяется по площади поперечного сечения. Гипотеза плоских сечений используется им также и в теории кручения, причем Бресс делает попытку оправдать это указанием на то, что в практических применениях поперечные сечения валов бывают либо круглыми, либо правильными многоугольниками, почему депланацией их допустимо пренебрегать. В теории изгиба приводится исследование касательных напряжений по Журавскому. В главах, посвященных кривому брусу и арке, воспроизводится содержание рассмотренной выше книги того же автора. [c.182]

Числовое значение модуля упругости Е для различных материалов меняется в весьма широких пределах например, для сталей имеем приблизительно =2,1 10 кг1см , для дерева =1-10 кг см . Коэффициент Пуассона о всегда выражается правильной дробью, меньшей 0,5 последнее обстоятельство можно установить наперед из физических соображений, как это будет показано далее, в 18. В случае материалов, не обладающих или почти не обладающих пластическими свойствами, т. е. материалов хрупких, каковы, например, твердые легированные стали, чугун, камни, диаграмма растяжения не имеет начального прямолинейного участка (рис. 27. б)-, но в большинстве случаев начальная часть ее мало отклоняется от прямой для упрощения теории этот участок приближенно заменяется прямой, и таким путем закон Гука условно применяется иногда и к материалам, отличающимся хрупкостью. Опыт показывает, что, пока материал работает в условиях упругих свойств (прямолинейный участок диаграммы на рис. 27, а), наблюдается пропорциональность между касательными напряжениями на гранях элементарного параллелепипеда и относительным сдвигом этих граней [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...