Плоская деформация уравнения совместности

Из шести уравнений совместности деформаций Сен-Венана в плоской задаче остается только одно [c.73]

Последняя строка здесь представляет уравнение совместности деформаций плоской задачи, выраженное в напряжениях, и называется уравнением Леви. [c.76]

Решения плоской задачи в тригонометрических рядах, подробно рассмотренные выше для изотропного материала, могут быть распространены и на случай ортотропного материала, например, подчиняющегося закону Гука в форме равенств (4.9). В этом случае, проводя решение в напряжениях и используя функцию напряжений Ф х, у) (4.18), придем не к бигармоническому уравнению (4.20), а к уравнению совместности деформаций такого вида [c.108]

Ограничимся случаями плоской деформации и плоского напряженного состояния, для которых вместо одного уравнения совместности в обычной теории упругости здесь уже оказывается четыре одно прежнее, обычное, и три новых, связывающих три компонента деформации е , е , у у и кривизны и Ху граней, параллельных осям у и х [c.51]

Исследуемое состояние называется обобщенным плоским напряженным состоянием. Сопоставляя уравнения (4.11) и (4.17) С уравнениями (4.4) и (4.2), убеждаемся в их полном совпадении (с заменой X на >. ). Остается рассмотреть лишь уравнения совместности деформаций. Ввиду малости всех компонент деформаций (зависящих в той или иной форме от переменной г) откажемся от рассмотрения всех уравнений совместности, за исключением [c.277]

Таким образом, из изложенного следует, что уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций в напряжениях для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния совпадают между собой (в последнем случае понимаются усредненные значения напряжений). Такую же структуру (отличающуюся лишь постоянными) имеют и соотношения, связывающие деформации и напряжения. Следовательно, эти задачи в математическом отношении аналогичны друг другу. [c.277]

Таким образом, решение задачи для физически нелинейной упругой среды сводится к решению уравнений равновесия (4.4) гл. III и уравнений совместности деформаций (4.6) гл. III с учетом соотношений (4). Очевидно, что рассмотрение задач плоской деформации и плоского напряженного состояния (как и для линейной среды) можно проводить единым образом, поскольку различие сказывается лишь на значениях постоянных. [c.668]

Соотношения Коши (19.2), уравнения равновесия (19.3) и условия совместности деформаций (19.4) для плоского напряженного состояния сохраняют свой вид таким же, как и в случае плоской деформации. [c.443]

Решение в напряжениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), записанных в напряжениях а ., Оу, х, , и уравнения совместности деформаций (19.4), в котором деформации согласно соотношениям упругости (19.12) заменяются напряжениями. Поступая аналогично случаю плоской деформации и подобным же образом исключая смешанную производную т х и у функции т ., получим уравнение [c.443]

Следует также отметить, что в случае постоянных объемных сил уравнение совместности (24) справедливо как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации. Следовательно, в обоих случаях распределение напряжений будет одним и тем же, если формы границ и приложенные к ним внешние усилия совпадают ). [c.49]

К группе геометрических уравнений относятся также уравнения совместности деформаций (уравнения неразрывности) Сен-Венана. В случае плоской задачи из шести уравнении неразрывности остается только одно [c.68]

Следует отметить, что уравнение совместности деформаций, выраженное через напряжения (4.8), (4.9) или функцию напряжений (4.11), имеет такой же вид и в случае плоской деформации. [c.70]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Уравнение совместности деформаций (9.57) для пологой оболочки отличается от уравнения (4.5) плоской задачи в декартовых координатах тем, что в правой части уравнения (9.57) имеются члены, зависящие от радиусов кривизн / 1 и Т 2, отсутствующие в уравнении (4.5). [c.255]

Уравнения (137) устанавливают линейную зависимость но переменным а 1 и ГС2, которая в общем случае не справедлива. В случае плоской деформации эти три уравнения совместности не учитываются. Таким образом, предположение о плоском [c.45]

Выразим уравнение совместности деформаций (9.90) через напряжения. С этой целью воспользуемся законом Гука (применим вариант обобщенного плоского напряженного состояния — уравнения (9.91)). Подставляя (9.91) в (9.90) и сокращая на Х/Е, будем иметь [c.662]

Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворяют ли функции (12.50) уравнениям однородной плоской задачи теории упругости уравнениям равновесия (9.87) и уравнению совместности деформаций (9.94). [c.149]

Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворяют ли функции (12.65) уравнениям однородной плоской задачи теории упругости уравнениям равновесия (9.87) и уравнению совместности деформаций (9.94). При подстановке (12.65) в (9.87), получаем [c.158]

Так как вес единицы объема тела Я1 ляется величиной постоянной по всему объему тела и не зависит от координат, то уравнение совместности как для плоского напряженного состояния, так и для плоской деформации будет выражаться одинаково [c.11]

Длинная цилиндрическая оболочка с плоским массивным днищем находится под действием внутреннего газового давления (рис. 103, а). Так как днище массивное, то его деформациями пренебрегаем. Краевые силы и моменты прикладываем только к краю цилиндра (рис. 103, б). Для их определения необходимо составить два уравнения совместности деформаций [c.169]

Общие замечания. Совместное решение полученной выше нелинейной системы уравнений представляет большие трудности. Однако, как и в случае плоской деформации, часто возможно разбить систему на две группы уравнений, решаемые последовательно уравнения для напряжений и уравнения для скоростей. Если напряжения найдены, то для скоростей v г уравнения будут линейными. [c.214]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Решение задач, в которых рассматриваются упругая и пластическая области около надрезов при плоской деформации, усложняется вследствие того, что должны удовлетворяться условия упругой и пластической совместности, а напряжения должны быть связаны как с упругой деформацией [по уравнениям (21)], так и с приростом пластической деформации (см. гл. III, раздел 16). [c.36]

Уравнения совместности деформаций заменяют гипотезой плоских сечений, прямых радиусов, прямых нормалей или Другой кинетической -гипотезой [c.18]

Рассмотрим применение вариационных методов к решению задачи осадки полосы шириной 26, толщиной 2й и длиной I между шероховатыми плитами в условиях плоской деформации. Эта задача решена выше методами совместного решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности и методом работ. [c.259]

Проверяем пригодность заданной функции Ф х, у) = 2х для решения предложенной задачи. В связи с этим подставляем ее в уравнение совместности деформаций плоской задачи теории упругости (5.11) [c.116]

Заменяя в этом уравнении по формулам (4.2.4) деформации напряжениями и принимая во внимание уравнения равновесия (4.2.9), получаем для плоской деформации следующее уравнение совместности деформаций в напряжениях [c.97]

Плоская деформация и уравнения совместности ( 3.15—3.16) [c.148]

Из-за специальной формы тензора деформации в случае плоского напряженного состояния шесть уравнений совместности (3.104) [c.208]

Так же как при плоском напряженном состоянии, уравнения совместности для плоских деформаций сводятся к одному уравнению (6.44). [c.209]

Если это значение х подставить в условие совместности (16.159), то для трех неизвестных компонент напряжения Ох, Оу, т получим три уравнения, определяющие установившуюся ползучесть в условиях плоской деформации. Одно из этих уравнений примет вид [c.689]

Допустим, что щ = 0, щ = М1(ж1,ж2), щ = М2(ж1,Ж2). Это деформировап-пое состояние, в котором е-ц = О, называется состоянием плоской деформации. Уравнения равновесия и совместности принимают впд [c.55]

В случае плоской деформации условия совместности в прпрагценпях деформаций сводятся к одному уравнению [c.89]

Рассмотрим особенности применения метода конечных разностей в плоской задаче на примере использования функции напряжений (см. 4.4). В этом случае задача сводится к решению уравнения совместности деформаций в виде бигармо1гического уравнения [c.235]

Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные силы p/ i(J i, Х2 , pF2(xi, Х2) и при Xi, 2 00 проекции вектора перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. Определим для случая плоской деформации напряженное состоя-иие. Умножим уравнения равновесия (6.5) и уравнение совместности деформаций (б.П) на ядро Фурье ехр + и проинте- [c.164]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Как в случае плоской деформации, так н в случае обобщенного плоского напря/кенного состояния решение плоской задачи сводится к определению трех составляющих напряжения Ох, Оу, Хху и трех составляющих деформации е, е , ху из одних II тех же уравнений равновесия и совместности. деформаций. [c.67]

Дальше ограничимся приложениями тео-Комповенты перемещений рии к плоским задачам, в которых можно в случае плоской задачи ввести перемещения из начального состояния, применяемого для определения компонент тензора деформаций. В этом случае можно пользоваться уравнениями совместности. Шесть уравнений совместности Сен-Венана Вцы = О (см. 5 гл. II) в случае плоской задачи (1.2) сводятся к следующим четырем соотношениям [c.482]

Условия (136) не исключают зависимости остальных напряжений и деформаций от переменной Хд, т. е., строго говоря, плоская задача является трехмерной, и ее решение связано со всеми трудностями, характерными для пространственных задач. Если пластина является достаточно тонкой, вводится дополнительное предположение о том, что напряжения и деформации незначительно изменяются по трлщине, т. е. что e j и (г, / = 1,2) зависят только от переменных Х2- Необходимо, однако, иметь в виду, что такое предположение является приближенным, так как при этом в общем случае невозможно удовлетворить всем уравнениям совместности деформации, которые сводятся к (132) и [c.44]

Решение плоской эадачи в напряжениях. Подставим в уравнение совместности (VIII.37) выражения (VIII.36) для деформаций. Получим уравнение, содержащее только напряжения [c.190]

Напряжения и деформации. Уравнения равновесия и совместности. При рассмотрении дисков, имеющих плоскую срединную поверхность, взаимным влиянием растягивающих и изгибающих сил пренебрегали. Однако в некоторых случаях диски выполняют несимметричными, искривленными не только для лучшей компоновки, но также для использования восстанавливающего эффекта центробежных сил и уменьшения напряжений изгиба. Несимме- [c.39]

Согласно выражению (18.11) деформации Вц, равны и линейно связаны с давлением р. Если касательными напряжениями можно было бы пренебречь ( 12 = 0), то уравнение совместности свелось бы к уравнению Лапласа = О в плоскости пласта. Отсюда уравнения совместности деформаций выполнялись бы только в стационарных течениях, когда к уравнению Лапласа сводится и уравнение пьезопроводпости (18.16) для плоской фильтрации. Поэтому условие постоянства горного давления в теории упругого режима фильтрации следует формулировать только для нормальных компонент — касательные изменяются согласно (18.17) отбор жидкости может привести к возникновению весьма существенных касательных напряжений в скелете породы. [c.161]

Для регцения плоской задачи в напряжениях необходимо уравнение совместности деформаций (5.3) представить в напряжениях, воспользовавшись законом Гука (5.8). В результате этой операции получаем [c.114]

Т = + То21пр. Эти формулы вытекают также из решения осесимметричной плоской задачи термоупругости в напряжениях без привлечения условий однозначности, что объясняется понижением порядка уравнения совместности деформаций (4.2.39) в осесимметричном случае ( =0) (см. уравнение (4.2.45)) при подста-I (1Р [c.125]

Уравнения совместности можно написать и для компонент лагранжева тензора линейных деформаций вследствие очевидной аналогии с эйлеровой интерпретацией, приведенной выше. Для плоской деформации, происходящей в плоскостях, параллельных Х1Х2, шесть уравнений (3.104) сводятся к одному [c.134]

Доказать, что в термоупругостн уравнение совместности (6.44) можно записать через функцию напряжений Эри Ф = Ф xi, хг) в случае плоской деформации в виде ф= —а (Г — Го)/(1 — v), а в случае плоского напряженного состояния — в виде (р= —аЕ (Т — То). [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...