Грина — Лагранжа

Коши — Грина, 34 Лагранжа, 40 Пиола, 35 Фингера, 36 Эйлера, 40 лагранжев, 35 линейный, 39 материальный, 35 пластических, 89, 92, 95, 104 [c.260]

Функция Рэлея ( Гамильтона, Лагранжа, Грина, Лапласа, рассеяния, действительного переменного, многих переменных, распределения...). Функция от функции. Силовая функция тяготения. [c.22]

Математики и физики-теоретики Эйлер, Лагранж, Лаплас, Пуассон, Грин, Гамильтон в своих обобщающих трудах по статике, динамике, теории потенциала тоже продвигаются к точному определению понятий работа и энергия . Так, в 1828 г. бывший пекарь Джордж Грин в сочинении Опыт приложения математического анали- [c.116]

Условие стандартности функционала Лагранжа (9.4.18) после преобразований с привлечением формул Грина и с >четом независимости вариаций 8 ,8v,5w на поверхности /"и 8и ,5и,,5и, 8Фу на контуре Г приобретает вид [c.140]

Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых и поверхностных сил, действующих на S , и заданных на перемещений в состояниях и как показано в табл. [c.389]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

Из (1.60), (1.63) получаются соотношения, связывающие материальную производную тензора деформаций Грина — Лагранжа Ё(2) С тензором скорости деформаций d [c.43]

Они связывают компоненты второго тензора напряжений Пио-ла — Кирхгофа S с компонентами тензора деформаций Грина — Лагранжа Е. Альтернативные формы определяющих соотношений гиперупругого материала можно получить, используя другие пары сопряженных (необязательно инвариантных) тензоров напряжений и деформаций. Получим, например, такие соотношения с помощью несимметричных тензоров напряжений и деформаций. Пользуясь (1.47), запишем следующие выражения для удельной потенциальной энергии деформаций [c.72]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

Получить потенциальную функцию W(Е) с помощью связи тензоров деформаций Коши — Грина и Грина — Лагранжа (1.49) [c.79]

В формуле (2.100) предполагается, что материальная производная тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через материальную производную тензора градиента деформаций F при помощи (1.61). [c.107]

Вариация тензора деформаций Грина — Лагранжа Е определяется следующим образом [c.111]

Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). [c.119]

В соответствии с обозначениями (5.5), (5.22), формулы (1.62) для скоростей компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа принимают вид [c.163]

Выражения компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа через компоненты тензора градиента перемещений приведены в (1.50). В обозначениях (5.5) имеем [c.194]

Рассмотрим потенциал (6.21) как функцию инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа, т. е. [c.200]

Введем следующие инварианты тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.200]

Отметим, что в (6.24) не используется симметрия компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа, так как в (2.14) эти компоненты предполагаются независимыми. [c.200]

Пользуясь соотношениями (6.23), устанавливаем связь между инвариантами (6.19) правого тензора деформаций Коши — Грина и инвариантами (6.24) тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.201]

Эти формулы можно записать в более компактной форме, если вместо компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа использовать компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина. Пользуясь (6.23), из (6.31) получаем [c.202]

В частности, для тензора деформации Грина — Лагранжа [c.65]

Симметричный тензор F JS F , энергетически сопряженный с тензором Грина-Лагранжа, называют тензором Пиолы-Кирхгофа. (Сопряженные пары с использованием тензоров деформации (2.17) приведены в работе [73]. Еще одна, видимо, последняя, сопряженная пара получена в работе [77] из равенства [c.58]

На основании (1.2)-(1.5) формулы для физических компонент тензора деформации (срединной поверхности) Грина-Лагранжа принимают вид [c.234]

Наконец, вычисляем компоненты тензора Грина-Лагранжа. Имеем [c.284]

Для решения задачи механики деформируемого тела используются цилиндрические лагранжевы координаты. Интегрирование по области при вычислении энергии деформирования тела осуществляется по исходной геометрии, постоянной для каждого шага [120, 121, 148]. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций Лагранжа, который вводится с помощью меры деформаций Коши — Грина. Для характеристики напряженного состояния используется тензор напряжений Пиола. Возможны и другие подходы решения физически и геометрически нелинейных задач [164]. [c.93]

Эта теорема в разных формах впервые была сформулирована Лагранжем (1762), Гауссом (1813), Грином (1828), Остроградским (1831) и соответствующим образом называется. [c.531]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж ) писал в 1788 г. Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил... Многие из величайших математиков, от Ньютона и Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, корректность задачи —таков неполный список. [c.16]

Природа формулы Лагранжа (первой формулы Коттерилла — Кастильяно) аналогична природе формул Грина (15,49). [c.488]

Тензоры деформаций Грина — Лагранжа, Фингера, Карни и Альманси [c.36]

Тензор называется тензором деформаций Грина — Лагранжа, — тензором деформаций Фингера, — тензором деформаций Карни, — тензором деформаций Альманси [63]. Эти тензоры объективные (правые) тензоры Е и Е ) (функции и) инвариантные, а (левые) тензфы и (функции V) индифферентные. Они фильтруют абсолютно жесткие движения тела вида (1.43), превращаясь в нулевые тензоры [c.36]

В настоящей и последующих главах упрощаем некоторые обозначения. Для второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа вместо вводим обозначение S, а для тензоров деформаций Грина — Лагранжа и Альманси вместо обозначений и используем Е и е соответственно. [c.68]

Определяющие соотношения гиперупругих материалов при больших деформациях используются в основном для моделирования поведения резиновых тел. Рассмотрим некоторые модели изотропных материалов, описывающие деформации таких тел. Вследствие изотропии материала потенциальная функция W должна зависеть только от главных инвариантов тензора деформаций Грина — Лагранжа /г(Е), /2(E), /з(Е) (см. (1.1)). В определяющих соотношениях (2.14) потенциальную функцию W I, I2, /3) прямо использовать нельзя вследствие того, что материал резины предполагается несжимаемым (J = detF = 1), так что справедливы равенства (1.46). Условие несжимаемости формулируем с помощью правого тензора деформаций Коши — Грина С, связанного с тензором деформаций Грина — Лагранжа Е первой формулой (1.49) [c.79]

Здесь Qtij — компоненты линейной ча.сти приращения тензора деформаций Грина — Лагранжа [c.159]

Таким образом, t ij — линейная часть приращений компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа tEij, отнесенного к текущей конфигурации, является инкрементальным аналогом производной Коттера — Ривлина от тензора деформаций Альман-си или инкрементальным аналогом тензора скоростей деформаций. Кроме того, приращения компонент второго тензора напряжений Пиола — Кирхгофа, отнесенные к текущей конфигурации, являются инкрементальными аналогами компонент производной Трусделла от тензора напряжений Коши. [c.196]

Компоненты правого тензора деформаций Коши — Грина If ij выражаются через компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа qEjj с помощью первой формулы (1.49). В декартовой системе координат получаем [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...