Задача п неподвижных центров

Итак, в случае выполнимости условия (4.19) или (4.20) общие уравнения (4.2) задачи п неподвижных центров допускают интеграл живой силы, который может быть использован иногда для понижения порядка системы или даже, в исключительных случаях, для полного интегрирования этих уравнений. [c.194]

Рассмотрим задачу о движении точки по плоскости в гравитационном поле п неподвижных центров. Гамильтониан этой системы с двумя степенями свободы удобно записать с использованием комплексных чисел. Пусть. .., z — различные точки комплексной плоскости С. Функция Г амильтона задачи п центров имеет вид [c.47]

Теоремы 2 и 3 доказываются с помощью теоремы 1 с использованием регуляризации Леви-Чивита. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о движении точки по плоскости в гравитационном поле п неподвижных центров. Пусть 21,..., — различные точки комплексной плоскости С. Гамильтониан задачи п центров имеет вид Н(р,г)= р У2-ЬУ(г) (р Е С, г Е С г,...., г, ), где У(г) = [c.144]

А к с е н о в Е. П., Г р е б е н и к о в Е. А., Д е м и н В. Г., Применение обобщенной задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников Земли, Сб. Проблемы движения искусственных небесных тел , Изд-во АН СССР, стр. 92, 1963. [c.345]

Аксенов Е. П., Ограниченные решения обобщенной задачи двух неподвижных центров. Вестник МГУ, сер. физ., астр., № 6, стр. 68, 1967. [c.347]

В части второй Ограниченные задачи главы VI и VII оставлены без изменения. Но первые две главы этой части написаны заново. Это объясняется тем, что часть материала этих глав была внесена во 2-е издание нашего курса Небесная механика. Основные задачи и методы 1968 г. и перешла также в 3-е издание этой книги 1975 г. Поэтому нет необходимости опять повторять то, что уже было дважды напечатано. Кроме того, задача двух неподвижных центров входит в монографию проф. Е. П. Аксенова. [c.7]

Поставим сначала задачу многих неподвижных центров в наиболее общем виде. Пусть в некоторой неизменной системе декартовых координат имеется некоторое количество п (п Х) активно действующих, неподвижных центров Мг, обладающих массами т,-, координаты которых обозначим буквами а,-, Ьг, i ( =1,2,..., п). [c.181]

Если рассматривать уравнения круговой ограниченной задачи (14,41) и положить в этих уравнениях п=0, то опять получим уравнения задачи двух неподвижных центров. [c.775]

Однако если г а, то степени отношения а/л весьма быстро убывают при возрастании показателя п, а поэтому практически можно добиться, чтобы разложения (14.117) и (14.119) совпадали с достаточной степенью точности. Вследствие этого для приближенного изучения движения точки Р в гравитационном поле тела с силовой функцией (14.117) можно в ряде случаев пользоваться формулами, получаемыми при решении задачи двух неподвижных центров. [c.789]

В -1961 г. Е. П. Аксенов, Е. А. Гребеников, В. Г. Демин предложили для построения Теории движения ИСЗ использовать обобщенную задачу двух неподвижных центров [35], [36]. Задача Эта заключается в исследовании движения спутника й гравитационном поле, потенциал которого дается формулой [c.584]

С эпохи Лагранжа и Лапласа задача считается интегрируемой, если она решается в квадратурах , т. е. можно найти общий интеграл дифференциальных уравнений задачи, содержащий независимые произвольные постоянные, число которых в точности равно порядку системы. С этой точки зрения наиболее интересными интегрируемыми задачами являются задача двух тел (ч. II) и задача двух неподвижных центров (см. ч. V, гл. 3). В задаче п > 2 тел известны 10 первых интегралов (см. ч. IV), [c.811]

Теорема 21 удачно применена С. В. Болотиным для доказательства неинтегрируемости задачи о движении точки в гравитационном поле п неподвижных центров при п>2 (см. [551). Напомним, что значениям п=1 и п = 2 соответствуют интегрируемые случаи Кеплера и Эйлера. [c.267]

П. Задачи, в которых осуществляется сохранение кинетического момента системы относительно неподвижного центра [c.336]

Уравнения (5) и (6) тождественно совпадают с уравнениями площадей и кинетической энергии в задаче о движении точки, притягиваемой неподвижным центром О пропорционально расстоянию. Следовательно, движение точки М относительно осей х Оу1 тождественно с абсолютным движением точки М, притягиваемой неподвижной точкой О пропорционально расстоянию. На основании установленного в п. 223 точка М описывает относительно осей л хОу эллипс с центром в точке О, причем период обращения точки [c.256]

Теперь предположим, что после разрешения задачи, содержащейся в дифференциальных уравнениях п. 3, путем полного интегрирования этих уравнений, возникает вопрос о разрешении той Же задачи, но с прибавлением новых сил, приложенных к той же системе, причем эти силы направлены к неподвижным центрам или же к центрам, движущимся каким угодно образом, и пропорциональны функциям расстояний от этих центров. Эти новые силы, которые можно рассматривать как силы, возмущающие движение системы, и которые имеют природу, подобную силам Р, Q, R,, от которых зависит функция V, прибавят к этой функции аналогичную функцию, которую мы обозначим через — Q. Таким образом надо будет подставить только V — 1 вместо V в уравнениях п. 10 (предыдущего отдела) и, следовательно, Z — Q вместо Z в соответствующих членах уравнений п. 3, содержащих частные дифференциалы Z по 5, Ф. > >—чтобы получить уравнения новой задачи, которые, таким образом, будут иметь следующий вид [c.419]

Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.). [c.142]

При геометрическом способе определения центроид искомые центроиды находят, исходя из геометрических соображений. Например, если расстояние мгновенного центра вращения от данной неподвижной точки оказывается постоянным, то неподвижная центроида есть окружность если сумма расстояний мгновенного центра вращения от двух данных точек подвижной плоскости, т. е. плоскости самой движущейся фигуры, есть величина постоянная, то подвижная центроида есть эллипс, фокусы которого находятся в этих точках подвижной плоскости, и т. п. (см. задачи 542, 547, 548). [c.179]

Общий случай. Мы предположили, что точка О неподвижна. В общем случае эта точка совершает прямолинейное равномерное движение. Тогда изучают движение тела относительно осей О, X, V, имеющих постоянное направление и начало в точке < . Эти оси совершают прямолинейное и равномерное переносное движение следовательно, относительное движение тела выражается теми же уравнениями, что и абсолютное движение (п. 334). Так как в этом относительном движении горизонтальная проекция О центра тяжести все время находится в начале координат, то задача приводится к случаю, только что рассмотренному. [c.214]

Уравнения движения. Рассмотрим однородный круговой цилиндр, лежащий на наклонной шероховатой плоскости, с образующими, перпендикулярными к направлению линии наибольшего наклона, и предположим, что на него действует только сила тяжести р — mg и, конечно, реакция опоры. Мы, очевидно, имеем здесь условия п. 12, так что можно изучать задачу о движении нормального сечения, проходящего через центр тяжести цилиндра, в плоскости этого сечения, принимая за неподвижную ось соответствующую линию наибольшего наклона, направленную вниз, и за ось Qy) — перпендикуляр к ней, направленный вверх (фиг. 5). [c.42]

Эти замечания нашли интересное применение в так называемой задаче об изменении широт. Эта задача ведет свое начало от того факта, полученного из наблюдений, что движение Земли около ее центра тяжести не только не является простым суточным вращением, рассматриваемым в элементарной космографии, но, строго говоря, не является даже регулярной прецессией, понятие о которой мы дали в п. 20 гл. IV т. I, и даже не представляет собой то общее возмущенное движение (которым мы будем заниматься в п. 61 следующей главы), которое могла бы предвидеть механика абсолютно неизменяемых тел, когда принимается во внимание лунно-солнечное притяжение. Остаются необъяснимыми некоторые дальнейшие малые перемещения мгновенной оси вращения Земли как относительно полярной земной оси, так и относительно неподвижных звезд. Именно эти весьма малые перемещения мгновенной оси относительно неподвижных звезд и вызывают так называемые изменения широт (на небесной сфере). [c.221]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

Для исследуемого процесса или объекта существенна природа характеризующей его величины. В некоторых задачах эта величина постоянна, а не случайна (например, длина одного и того же повторно измеряемого стержня вес повторно взвешиваемого предмета расстояние между заданными неподвижными точками и т. п.). Здесь в результате опыт требуется найти одно значение определяемой величины. В других задачах определяемая величина является случайной (например, размер деталей в партии механические свойства, определяемые по группе образцов отклонение разрывов точек падения снарядов от центра цели и т. п.). Здесь в результате опыта требуется найти те или иные вероятностные характеристики определяемой величины, чаще всего ее среднее значение и меру рассеяния относительно этого среднего значения. [c.210]

Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций балок, плит и т. п., подпертых в одной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т, е. всевозможных видов весов (но в таких вопросах использовались и кинематические соображения). При исследовании стремились свести задачу к схеме неподвижного и уравновешенного рычага. С геометрическим направлением статики связано возникновение понятия центра тяжести. , [c.17]

Решение. Рассмотрим равновесие всей арки, отбрасывая связи и считая ее свободной. Тогда на арку будут действовать заданные силы Р п Q и пара с моментом М р, а также реакции опор ХдИ Уд (реакцию неподвижной шарнирной опоры изображаем двумя ее составляющими, как на рис. 61). В этой задаче удобнее составлять условия равновесия в форме (34), беря моменты относительно центров Л и 6 и проекции на ось Ах. Тогда в каждое уравнение войдет по одной неизвестной силе. Вычисляем моменты и проекции каждой из сил и вносим их в таблицу. При этом, для вычисления моментов силы Q разлагаем ее на составляющие Qx, Q , и пользуемся теоремой Вариньона. [c.70]

В первом издании настоящей книги, а также во втором и третьем изданиях К1шги автора Небесная механика. Основные задачи и методы . Кроме того, обобщенная задача двух неподвижных центров составляет основное содержание упоминавшейся монографии профессора Е. П. Аксенова. [c.203]

Солнца примерио за 12 лет, то в течение небольшого промежутка времени его можно считать иеподвнжггым, а тогда движение малой планеты или кометы можно определить в первом приближении формулами задачи двух неподвижных центров. Задачу о движении космического корабля к Луне также можно рассматривать п первом приближении, как задачу двух неподвижных центров, так как за время перелета к Луне (около четырех суток) последняя переместится по своей почти круговой орбите вокруг Земли не очень значительно. [c.777]

Если, в частности, мы обратимся к атому водорода, состоящему из ядра и одного только электрона с зарядом, равным и противоположным заряду ядра, то эти два заряда механически будут подобны двум материальным точкам, взаимно притягивающимся по закону Ньютона (т. I, гл. XI, 1), с тем лишь различием, что множитель пропорциональности k не будет уже более равен fmm , как в ньютоновом случае. Отсюда следует, что изучение движения электрона вокруг ядра входит в задачу о движении двух точек, притягивающихся с силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния. Более того, мы докажем в п. 21, что задача о движении электрона может быть сведена к задаче о движении материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с сило11, обратно пропорциональной квадрату расстояния. [c.188]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Перейдем непосредственно к динамике твердого тела. В главе VIII были указаны два простейших движения твердого тела поступательное и вращательное. Кинематически изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения любой его точки, в частности центра масс. По теореме о движении центра масс (п. 1.3 гл. XIX, формулы (19.9) и (19.13)) динамически изучение поступательного движения тела сводится к соответствующей задаче динамики точки. Поэтому для самостоятельного изучения остается лишь второе простейшее движение твердого тела — вращение вокруг неподвижной оси, к изучению динамики которого мы и приступим. [c.377]

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки Р необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на осно--вании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение (Г) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений (Г) для живой силы и (101) для потенциала U мы можем получить явное представление характеристической функции Н= Т) — и. [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...