Задача многих неподвижных центров

Задача многих неподвижных центров [c.181]

Поставим сначала задачу многих неподвижных центров в наиболее общем виде. Пусть в некоторой неизменной системе декартовых координат имеется некоторое количество п (п Х) активно действующих, неподвижных центров Мг, обладающих массами т,-, координаты которых обозначим буквами а,-, Ьг, i ( =1,2,..., п). [c.181]

ЗАДАЧА МНОГИХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ 187 [c.187]

ЗАДАЧА МНОГИХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ 189 [c.189]

ЗАДАЧА МНОГИХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ l9l [c.191]

ЗАДАЧА МНОГИХ НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ 193 [c.193]

Здесь мы будем рассматривать задачу двух неподвижных центров как частный случай общей задачи многих неподвижных центров. Пусть имеются только два неподвижных центра Л 1 и М2 с массами т1 и Ш2 соответственно. Выберем неизменную систему координат так, чтобы одна из координатных осей (пусть это будет ось Ог) проходила через эти неподвижные центры. [c.203]

Обобщенной задаче двух неподвижных центров посвящено более сотни работ. Многие из них нашли отражение в книге [27]. Здесь мы отметим те из них, которые касаются качественных исследовании. [c.588]

Применение метода Якоби. Учитывая последний вывод, остается исследовать движение тела, притягиваемого неподвижным центром. Эта задача может быть решена многими способами, но с точки зрения последующих приложений необходимо, чтобы мы решили ее с помощью одного частного метода, а именно метода Якоби, изложенного в 10. [c.61]

Исследование особенностей капиллярных колебаний заряженной капли представляет значительный интерес в связи с разнообразием академических, технических и технологических приложений (см. [1-2] и указанную там литературу). В связи с повышенным вниманием к такому физическому объекту большая часть задач, сформулированных для заряженной капли в рамках линейных моделей, уже решена. В последние годы появилось много работ, посвященных нелинейному анализу (см. [3-8] и указанную там литературу), позволяющему получать существенно более детальную информацию об объекте. Тем не менее, в связи с громоздкостью аналитических расчетов многие аспекты нелинейных колебаний заряженной капли остаются пока не рассмотренными или непонятными. Сказанное относится, например, к так называемой трансляционной неустойчивости капель и пузырей, проявляющейся, когда в спектре начально возбужденных мод имеются две соседние [4], а также к особенностям реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия различных мод капиллярных осцилляций капли [5,6]. Согласно [4] центр масс трансляционно-неустойчивой капли приобретает в результате реализации нелинейных колебаний скорость поступательного движения. Такое утверждение представляется неверным, поскольку противоречит известному положению механики никакими движениями внутри замкнутой системы невозможно привести в движение ее центр масс. Появление в расчетах [4] поступательного движения центра масс связано с некорректностью задания начальных условий, поскольку требование неподвижности центра масс в начальный и все последующие моменты времени следует ввести в формулировку задачи в качестве дополнительного условия, при этом поступательного движения (читай "трансляционной неустойчивости") при колебаниях поверхности капли не возникает. До сих пор не предпринималось попыток нелинейного анализа объемно заряженной диэлектрической капли, капиллярные осцилляции которой, как будет показано ниже, обладают рядом особенностей по сравнению с идеально проводящей каплей. [c.104]

Из кинематики известно, что всякое движение является по существу своему относительным и требует обязательного указания системы отсчета, по отношению к которой оно рассматривается. При зтом одна и та же точка может по отношению к одной системе отсчета находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно, а по отношению к другой системе совершать неравномерное криволинейное движение, и наоборот. Отсюда вытекает, что закон инерции имеет место только по отношению к некоторым определенным системам отсчета, которые называются инерциальными. Вопрос о том, можно ли данную систему отсчета рассматривать как инер-циальную, решается опытом. Как показывает опыт, для нашей солнечной системы инерциальной можно практически считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении многих технических задач можно с достаточной для практики точностью рассматривать в качестве инерциальной систему отсчета, связанную с Землей, или же систему, имеющую начало в центре Земли, а оси, направленные на неподвижные звезды. [c.171]

Параллельно с аналитическим методом в механике развивались и геометрические методы, получившие наиболее яркое развитие в работах замечательного французского ученого Пуансо (1777—1859). Он впервые (1803 г.) изложил статику в таком аспекте, в каком ее и теперь излагают во всех высших технических учебных заведениях. Много открытий и геометрических интерпретаций законов механики Пуансо сделал и в кинематике и в динамике. К их числу относится работа Пуансо по изучению геометрическими методами движения тела с одной неподвижной точкой. Эта важная задача механики имеет, как показала С. В. Ковалевская (1850—1891), однозначное решение только в трех случаях 1) движение тела по инерции вокруг центра тяжести (случай Эйлера — Пуансо) 2) движение симметричного тела вокруг точки, лежаш,ей на оси симметрии (случай Лагранжа), и 3) движение не вполне симметричного тела с определенным распределением массы (случай, открытый Ковалевской и названный ее именем). [c.16]

Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля. Например, в случае консервативного поля сил (тяжести) движение тела вокруг своего центра масс может быть сильно хаотичным (классическая задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки). В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно естественная возможность продвинуться дальше — это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрий. [c.7]

Векторы L и М в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и М удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально [c.38]

Годографическое преобразование из пространства положений в пространство скоростей для двух неподвижных центров потребует дополнительного использования отражения (или переноса с отражением) и поверхностного увеличения. Усложнение или пересмотр этого, до сих пор еще неизвестного годографического преобразования, необходимые для перехода от задачи двух неподвижных центров к ограниченной задаче трех тел, приведут к появлению вращения. Годографическое преобразование для одного притягивающего центра является конформным в действительности это контактное преобразование [11—14]. Но отражение — это уже не конформное, а изогональное преобразование, в то время как вращение не сохраняет ни угловой меры изогональности, ни угловой меры и направления конформного преобразования. Соответствующее исследование методами теории преобразований должно помочь выяснить многие непонятные свойства траекторий в ограниченной задаче трех тел, после того как будет рассмотрено влияние этих элементов преобразования на траектории в данном векторном пространстве. Предварительное исследование показывает, что годографический анализ после преобразования из необходимого пространства годографических [c.81]

Главная проблема в теории ИСЗ может быть решена двумя способами во-первых, с помощью классических методов возмущений и, во-вторых, путем построения промежуточных орбит на базе некоторых аппроксимирующих выражений для геопотенциала, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения в замкнутой форме. Поскольку результаты применения классических методов приведены во многих монографиях по небесной механике ), в нашей книге мы ограничимся изложением второго способа. При этом в основу построения промежуточных орбит будет положена обобщенная задача двух неподвижных центров, силовая функция которой включает в себя как вторую, так и третью зональную гармонику геопотенциала и позволяет проинтегрировать уравнения движения в квадратурах. [c.8]

Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых интегрируемых задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих интегрируемых случаев можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение. [c.365]

Однако один частный, или, лучше сказать, специальный случай ограниченной круговой задачи трех тел оказывается вполпе интегрируемым, и общее решение задачи в этом специальном случае может быть написано в квадратурах. Мы имеем в виду так называемую задачу двух неподвижных центров, которая была проинтегрирована еще Эйлером и с тех пор неизменно привлекала к себе внимание многих механиков и математиков. Задача двух неподвижных центров заключается в определении движения материальной точки нулевой массы , притягиваемой двумя конечными неподвижными точечными массами, но не оказывающей на них никакого влияния. Поэтому эту задачу можно рассматривать как специальный случай ограниченной задачи, в котором только две конечные массы остаются неподвижными, не только в относительной, но и в неизменной системе координат. [c.774]

В 1766 году Лагранж переехал в Париж, где был радостно встречен Даламбером, Клеро, Кондорсе и другими. В это время стало известно, что Эйлер оставил пост президента физико-математического класса Берлинской академии и переехал в С.-Петербург. Даламбер предложил кандидатуру Ла-1фанжа, Эйлер горячо ее поддержал, и 6-го ноября 1766года Лагранж переехал в Берлин, где и пробыл до 1787 г. Сборники Берлинской академии в этот период обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике. Именно к этому времени относятся его знаменитое решение задачи Кеплера (ряд Лагранжа), исследования по вопросу о вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, решение задачи о притяжении эллиптического сфероида, создание основ теории возмущений и многие другие. [c.584]

Так как в природе абсолютно неподвижных материальных объектов не существует, то принципиально невозможно установить абсолютно неподвижную систему отсчета. Следовательно, понятия абсолютного движения и абсолютного покоя, т. е. движения и покоя относительно абсолютно неподвижной системы отсчета, не имеют конкретного смысла. В теоретической механике возможность установления абсолютно неподвижной системы отсчета постулируется. Эту систему отсчета можно мыслить как часть введенного Ньютоном трехмерного абсолютно неподвижного пространства, в котором все измерения проводятся на основании аксиом геометрии Эвклида. За основную, или абсолютно неподвижную систему отсчета, отвечающую полностью принятой в теоретической механике совокупности основных законов, условно принимают гелиоцентрическую систему, т. е. систему координат с началом в центре Солнца и осями, направленными к трем так называемым неподвижным звездам. Но при решении многих технических задач движение Земли относительно гелиоцентрической системы не учитывают и абсолютно неподвижную систему отсчета соединяют с Землей. Очевидно, что при этом совершаются некоторые погрешности, которые, однако, невелики и могут быть учтены. [c.7]

Было бы слишком долго излагать другие проблемы динамики, при разрешении которых геометры упражняли свое остроумие после проблемы о центре колебания и до того времени, когда разрешение подобных проблем было сведено к твердо установленным правилам. Указанные задачи, которые ставили себе Бернулли, Клеро, Эйлер, можно найти рассеянными в первых томах петербургских и берлинских мемуаров, в парижских мемуарах (за годы 1736 и 1742), в сочинениях Ивана Бернулли и в Opus ules Эйлера. Эти задачи состоят в определении движения многих тел, тяжелых или лишенных тяжести, которые толкают или тянут друг друга с помощью нитей или несгибаемых рычагов, к которым они неподвижно прикреплены или вдоль которых они могут свободно скользить и которые, после сообщения им каких-либо импульсов, предоставляются затем самим себе или принуждаются двигаться по заданным кривым линиям или поверхностям. [c.311]

Движение точки в поле тяготения земного сфероида. Названная задача является основной в теории движения близкого искусственного спутника Земли. Следует, конечно, еще учитывать существенное влияние атмосферы Земли на движение спутника, и этому учету посвящен ряд работ. Не останавливаясь здесь на этом вопросе, рассмотрим движение спутника в поле тяготения Земли, пренебрегая всеми остальными факторами. Отличие поля тяготения Земли от поля тяготения ньютоновского центра вызывает возмущения в траектории спутника и отличие ее от кеплеровского эллипса. Существует хорошо разработанный в небесной механике аппарат теории возмущенийтак называемые уравнения в оскулирующих элементах. Использование этого аппарата позволяет весьма просто установить, что основными возмущениями в рассматриваемом случае будут поступательные движения узла орбиты и перигея орбиты. Однако эта задача оказалась занимательной и совсем с другой точки зрения. Обнаружилось, что эта задача в известном смысле эквивалентна старой классической задаче о движении точки в поле тяготения двух неподвижных притягивающих центров. Эта последняя задача, как известно, интегрируется в квадратурах она рассматривалась многими авторами, но не нашла конкретного применения в небесной механике. Появление искусственных спутников стимулировало бурный прогресс в исследованиях и привело, между прочим, и к открытию упомянутой эквивалентности. Таким образом, старая задача получила новое и очень важное конкретное приложение к теории движения искусственных спутников Земли. Первая публикация [1], устанавливающая эквивалентность двух задач, принадлежит молодым советским ученым Е. П. Аксенову, Е. А. Гребенникову, В. Г. Демину, (1961 г.). (В книге Брауэра и Клеменса [2], изданной в 1961 г., также содержится краткое упоминание о такой эквивалентности). Рассмотрим вопрос несколько подробней. [c.38]

И равномерное движение по отношению к неподвижным координатным осям, т. е. по отношению к осям, не изменяюш,им своего положения в неподвижном пространстве. Затруднение заключается, однако, в том, что у нас нет никаких средств судить о неподвижности таких осей самое понятие неподвижного пространства лишено какого бы то ни было содержания следовательно, предложенный ответ должен быть отвергнут, как лишенный смысла, и поставленный нами вопрос об основных координатных осях механика (так можно назвать те оси, к которым предполагается отнесенным движение по инерции изолированной материальной точки) остается открытым. Не вдаваясь в обсуждение этого вопроса, представляющего значительные трудности ), заметим, что во многих случаях (и, в частности, при решении большинства вопросов динамики, с которыми приходится иметь дело в технических приложениях) возможно пренебречь движением Земли в таких случаях основные оси, к которым отнесено движение по инерции, можно считать неизменно связанными с земным шарбм. Если при решении поставленной задачи необходимо принять в расчет вращение Земли (напр., отклонение падающих тел к востоку, дэижение маятника Фуко), то за основные оси можно взять оси, проходящие через центр Земли и направленные на какие-либо неподвижные звезды. [c.12]

Во многих задачах механики абсолютно твердого тела рассматривается вращательное движение тела, одна из точек которого неподвижна относительно некоторой системы отсчета. К такого рода задачам приводит, например, теория гироскопа, И в механике свободного тела в случаях, когда можно отделить вращательное движение относительно осей Кёнига от движения центра масс, мы приходим к задаче о движении тела с одной неподвижной точкой —центр масс неподвижен относительно осей Кёнига, Например, в задаче, связанной с ориентацией в пространстве искусственного небесного тела. [c.377]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...