ОГРАНИЧЕННЫЕ ЗАДАЧИ Задача неподвижных центров

Аксенов Е. П., Ограниченные решения обобщенной задачи двух неподвижных центров. Вестник МГУ, сер. физ., астр., № 6, стр. 68, 1967. [c.347]

В части второй Ограниченные задачи главы VI и VII оставлены без изменения. Но первые две главы этой части написаны заново. Это объясняется тем, что часть материала этих глав была внесена во 2-е издание нашего курса Небесная механика. Основные задачи и методы 1968 г. и перешла также в 3-е издание этой книги 1975 г. Поэтому нет необходимости опять повторять то, что уже было дважды напечатано. Кроме того, задача двух неподвижных центров входит в монографию проф. Е. П. Аксенова. [c.7]

Дифференциальные уравнения движения точки ЛЬ в задаче двух неподвижных центров получатся из обших уравнений ограниченной задачи трех тел (14.35 ), если координаты о, 11о и 1, т]1 двух конечных масс Л1о н М рассматривать как величины постоянные, или, если положить в уравнениях (14.39) ==0, е = 0. [c.774]

Если рассматривать уравнения круговой ограниченной задачи (14,41) и положить в этих уравнениях п=0, то опять получим уравнения задачи двух неподвижных центров. [c.775]

Орбиту точки Мг, определяемую квадратурами (14.102) задачи двух неподвижных центров, можно рассматривать так же, как первоначальную, промежуточную или невозмущенную орбиту в ограниченной задаче трех тел. Тогда метод изменения произвольных постоянных позволит нам найти решение ограниченной задачи, определяемое теми же формулами (14.102), (14.102 ), в которых только произвольные постоянные (элементы невозмущенной орбиты) будут некоторыми функциями времени, определяемыми соответствующей системой канонических уравнений. [c.782]

Приложение к ограниченной задаче трех тел. Предположим, что величины а 4- Р и Z фиксированы, следовательно, фиксировано и значение (О = 7 (а -Ь Р)/Р. Выберем ц, равным р/(а -f Р). Случай fx = О соответствует движению в ноле ньютоновского притяжения к неподвижному центру. Для этого случая уравнения движения в обозначениях 28.2 имеют вид [c.616]

В этой главе рассматривается простейшая ограниченная задача небесной механики — задача о движении материальной точки, притягиваемой (или отталкиваемой) несколькими неподвижными точечными центрами. Сама материальная точка не оказывает на эти центры никакого действия и называется, по этой причине, пассивно действующей. Каждый нз неподвижных центров обладает некоторой конечной массой, но не оказывает никакого действия на все другие неподвижные точечные массы. Сила, с которой каждый неподвижный точечный центр действует на свободную, пассивно действующую материальную точку, предполагается направленной по прямой, соединяющей обе точки. По величине эта сила предполагается пропорциональной произведению масс этих точек и некоторой функции от расстояния между ними. В более общем случае эта сила может также зависеть от первых двух производных по времени от упомянутого расстояния. [c.181]

В предыдущей главе мы рассматривали задачу о движении пассивно действующей материальной точки, находящейся под действием заданных сил, исходящих от неподвижных центров. Мы упомянули также, что представляет интерес рассмотреть еще более общую задачу, предполагая, что пассивная точка движется под действием активных масс, каждая из которых обладает заданным движением. Такие задачи называются в небесной механике — ограниченными задачами. Число активно действующих масс вообще может быть каким угодно. Например, прп изучении полета космического корабля (искусственного небесного тела ) в пределах Солнечной системы мы, естественно, можем считать, что это искусственное тело не оказывает никакого влияния и воздействия на планеты и их спутники. Движение планет мы можем считать заданным, так как эта задача издавна изучается в небесной механике, и мы знаем и свойства их движения и умеем рассчитывать их положения и скорости при помощи аналитических или хотя бы численных методов. Более того, так как планеты Солнечной системы движутся почти в одной плоскости и почти по круговым орбитам, то мы можем считать (по крайней мере в течение не очень большого промежутка времени), что активные тела в рассматриваемой модельной задаче движутся по окружностям, лежащим в одной плоскости. Такого рода задачи называются круговыми ограниченными задачами. Например, можно рассматривать в первом приближении движение Луны под действием притяжения Земли и Солнца, считая, что Луна не оказывает на Солнце и Землю никакого влияния. [c.209]

Поэтому здесь мы будем рассматривать обобщенную ограниченную задачу в том же смысле, в котором мы рассматривали задачу неподвижных центров в предыдущей главе. [c.210]

Нашей целью было только указать, что для интегрирования ограниченной задачи трех тел (круговой, эллиптической, параболической или гиперболической) вполне можно использовать в качестве первого приближения (промежуточной орбиты) орбиту точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, а развитие метода и вывод всех необходимых и весьма громоздких формул не входит в задачи этой книги. [c.785]

Задача рассматривается в ограниченной постановке, когда в разложениях в ряды моментов ньютоновских сил тяготения удержаны члены степени не выше первой относительно величины, обратной расстоянию от неподвижной точки тела до притягивающего центра. Введением систем координат соответствующих кинематике прецессионного движения удалось получить условия существования регулярных прецессий в рассматриваемой постановке. Показано, что регулярные прецессии твердого тела с неподвижной точкой в ньютоновском поле сил возможны только в трех случаях. [c.124]

Сложность решения таких задач зависит от многих факторов, в том числе и от характера внешнего силового поля. Например, в случае консервативного поля сил (тяжести) движение тела вокруг своего центра масс может быть сильно хаотичным (классическая задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки). В этом случае построить сколько-нибудь общую теорию интегрирования невозможно естественная возможность продвинуться дальше — это наложить какие-то ограничения на геометрию твердого тела, а также на необходимость обладания силовым полем какими-то группами пусть даже и скрытых симметрий. [c.7]

Итак, наша специальная плоская круговая ограниченная задача трех твердых тел, расположенных указанным образом, приводится к задаче о движении пассивно-действующей точки Ог под действием сил, зависящих только от расстояний между центрами масс тел, исходящих от неподвижной точки Оо и от точки О], описывающей круговую орбиту вокруг центра Оо. [c.442]

Можно прийти к весьма простому для рассмотрения предельному случаю названной задачи, если исходить вместо общей задачи трех тел из так называемой ограниченной задачи трех тел. Последняя есть частный случай плоской задачи трех тел, в которой масса точки Р3 равна пулю, а точки Рх, Р2 описывают окружности . Чтобы получить дифференциальные уравнения движения для точки Р3, введем в заданной плоскости вращающуюся систему осей с началом в центре инерции точек Р1 и Р2, так что точки Рх и Р2 относительно повой системы координат будут неподвижными. Без ограничения общности можно принять, что угловая скорость и = 1 в силу уравнений (12 5) для прямоугольных координат Х2к-1, Х2к точки Рк к = 1, 2, 3) во вращающейся системе координат получаются следующие дифференциальные уравнения [c.168]

Годографический подход к ограниченной задаче трех тел может определяться двумя основными направлениями исследований 1) распространение на этот случай годографических изображений 2) вывод необходимых функций преобразования для данного векторного пространства. В частности, годограф скорости можно получить на основе известных результатов динамики движения относительно двух притягивающих центров, воспользовавшись годографическим методом анализа. Функции преобразования для годографа скорости можно вывести, используя анализ преобразований для усложненной задачи, как указывалось в работе [11]. В обоих случаях первоначальные усилия должны быть направлены на годографическое решение задачи двух неподвижных центров [26], которая уже решена в аналитическом виде. Поскольку в этой задаче отсутствуют перемещения притягивающих центров, соответствующие ей дина- [c.80]

Годографическое преобразование из пространства положений в пространство скоростей для двух неподвижных центров потребует дополнительного использования отражения (или переноса с отражением) и поверхностного увеличения. Усложнение или пересмотр этого, до сих пор еще неизвестного годографического преобразования, необходимые для перехода от задачи двух неподвижных центров к ограниченной задаче трех тел, приведут к появлению вращения. Годографическое преобразование для одного притягивающего центра является конформным в действительности это контактное преобразование [11—14]. Но отражение — это уже не конформное, а изогональное преобразование, в то время как вращение не сохраняет ни угловой меры изогональности, ни угловой меры и направления конформного преобразования. Соответствующее исследование методами теории преобразований должно помочь выяснить многие непонятные свойства траекторий в ограниченной задаче трех тел, после того как будет рассмотрено влияние этих элементов преобразования на траектории в данном векторном пространстве. Предварительное исследование показывает, что годографический анализ после преобразования из необходимого пространства годографических [c.81]

Функциональный синтез и анализ траекторий в присутствии большого числа притягивающих центров следует начинать с годографического решения ограниченной задачи трех тел. Первый этап такого исследования должен быть связан с задачей двух неподвижных центров в двумерном пространстве с последующим распространением полученных результатов на трехмерное пространство и на ограниченную задачу трех тел путем последовательного годографического решения предыдущей задачи. Годографическое преобразование для двух неподвижных центров будет включать в себя отражение (помимо основных элементов преобразования подеры, геометрической инверсии и увеличения) для векторных пространств всех порядков. Можно ожидать, что такая последовательность работы приведет не только к аналитическим решениям и способам исследования задач, представляющих непосредственный интерес (полеты на Луну и к планетам), но также позволит по-новому осветить аналитическую связь между ньютоновой и релятивистской механиками. [c.86]

Однако один частный, или, лучше сказать, специальный случай ограниченной круговой задачи трех тел оказывается вполпе интегрируемым, и общее решение задачи в этом специальном случае может быть написано в квадратурах. Мы имеем в виду так называемую задачу двух неподвижных центров, которая была проинтегрирована еще Эйлером и с тех пор неизменно привлекала к себе внимание многих механиков и математиков. Задача двух неподвижных центров заключается в определении движения материальной точки нулевой массы , притягиваемой двумя конечными неподвижными точечными массами, но не оказывающей на них никакого влияния. Поэтому эту задачу можно рассматривать как специальный случай ограниченной задачи, в котором только две конечные массы остаются неподвижными, не только в относительной, но и в неизменной системе координат. [c.774]

Чтобы показать это, возьмем уравнения ограниченной задачи (круговой, эллиптической, параболической или гиперболической) в координатах Нехвила, т. е. уравнения (14.98), в которых 0 и 1 суть величины постоянные, так что Мо и М являются в этой системе координат неподвижными центрами. [c.783]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Лагранжевы решения ограниченной задачи трех тел принимают особенно простой вид в случае круговой задачи. Действительно, в этом случае точка Aii описывает вокруг Мо (или вокруг центра масс G) окружность, и мы имеем е = 0, р=1 и v = n. Тогда различие между системой (14.41) и системой уравнений Нехвила исчезает и все точки либрации оказываются неподвижными и в системе (Gxyz). Следовательно, в каждом из лагранжевых решений точка М2 описывает вокруг точки G окружность радиуса а с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости движения точки Ail. [c.773]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...