Диски Уравнения упругости

В тех случаях, когда необходимо учесть упругие свойства сооружения, расчетную модель можно представлять системой твердых тел (дисков), соединенных упругими связями между собой и основанием. Возможных разновидностей этой модели может быть очень много, и они зависят от выбора расчетных моделей упругих связей, соединяющих твердые тела. Математической моделью при этом, если не учитывать инерционность основания, в общем случае будет система обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений, число которых 6п, где п — число тел расчетной модели. [c.323]

Основные уравнения. Рассмотрим крутильные колебания многомассовой системы, состоящей из ряда абсолютно жестких массивных дисков, соединенных упругими элементами, которые считаются лишенными массы (рис. П.34). Эта система является общепринятой, хотя и небезупречной эквивалентной схемой для расчета [c.91]

Напряжения в дисках связаны с деформациями уравнениями упругости [c.185]

Зависимость между упругим и пластическим решениями для диска уравнений (22) (27) показана на рис. 15. [c.93]

Для быстровращающихся дисков турбомашин при изгибе следует учитывать влияние растягивающих усилий (так называемый восстанавливающий эффект центробежных сил), для достаточно тонких дисков — влияние упругого прогиба. Уравнения (2.10)—(2.12) также справедливы, если вместо угла ф ввести сумму (ф + б ). Приближенно диск можно считать жестким, т. е. не учитывать в расчете влияние упругого прогиба на восстанавливающий эффект, если [c.357]

При постоянных упругих характеристиках материала диска уравнение (160) преобразуется к виду [c.200]

Механическая система, состоящая из дисков 1 к 2, установленных на упругом валу 3, совершает угловые колебания, которые описываются дифференциальными уравнениями [c.347]

Первые две главы посвящены выводу основных уравнений теории упругости для пространственной и плоской задач. В качестве приложения плоской задачи приводится расчет толстостенных цилиндров с днищем от внутреннего и внешнего давления и вращающихся дисков. Исследуются напряжения при действии силы на острие клина и полуплоскость. В пособии рассматриваются контактные напряжения и деформации при сжатии сферических и цилиндрических тел, дан расчет тонких пластин и цилиндрических оболочек, рассматривается кручение стержней прямоугольного, круглого постоянного и переменного сечений, дается понятие о задачах термоупругости, приводятся расчет цилиндров и дисков на изменение температуры, общие уравнения теории пластичности, рассматривается плоская задача, приводятся примеры. [c.3]

Одночастичная функция распределения весьма чувствительна к низкочастотным колебаниям. Это впервые было установлено в основе теории упругости твердых тел. При Л ->-оо полуширина одночастичной функции распределения в двухмерной системе стремится к бесконечности. В трехмерном же случае полуширина ограничена. Поэтому в отличие от двухмерного случая в трехмерном вид одночастичной функции распределения для упорядоченной фазы принципиально отличается от вида одночастичной функции распределения для однородной фазы. В двухмерных системах достаточным условием существования твердого тела является лишь относительное упорядочение частиц. Рассмотрим системы твердых дисков или сфер при больших плотностях, когда v Vo и v/vo—1<С1. в этом случае уравнение состояния запишем в виде ряда [c.203]

Дифференциальное уравнение крутильных колебаний диска, жестко закрепленного на валу, заделанном в сечении А—А (рис. VII.6, в), при энергетическом методе расчета выводят из равенства моментов упругих сил и сил инерции [c.203]

Масляный клин подшипников скольжения обладает двумя важными особенностями, отличающими его от простой упругой опоры, рассмотренной выше. Это, во-первых, неконсервативность упругих составляюш,их его реакции, вследствие чего в уравнениях (П. 17) i2 =h С21. и, во-вторых, сравнительно большая величина коэффициентов трения, матрица которых симметрична [ИЗ]. Рассмотрим простейший вариант этой задачи внутреннее трение в материале вала отсутствует, а инерцией поворота дисков можно пренебречь. Кроме того предположим, что вал вертикален, а конструкция его опоры А осесимметрична, т. е. выполнены условия (11.18). Тогда можно получить следующую систему уравнений [c.60]

Рассмотрим вкратце неосесимметричный однодисковый ротор (т. е. либо упругие свойства ротора неосесимметричны — некруглый вал, либо диск имеет два различных экваториальных массовых момента инерции). Исследование вынужденных колебаний такого ротора при вращении его на произвольных (т. е. неосесимметричных) упругих опорах, как уже отмечалось в гл. II, сводится к задаче исследования частного решения дифференциальных уравнений с переменными (периодическими) коэффициентами, и ввиду сложности этой задачи мы на ней не останавливаемся. [c.125]

Рассмотрение колебаний вращающегося вала независимо в двух его главных плоскостях становится невозможным, если главные плоскости жесткости некруглого вала не совпадают с главными плоскостями инерции диска в этом случае, аналогично случаю, когда ротор осесимметричен и расположен на произвольных упругих опорах, четыре уравнения для амплитуд колебаний ротора не распадаются на две независимые группы и задача принципиально не сводится к рассмотрению колебаний в одной плоскости. [c.125]

Для пояснения качественных особенностей, вносимых упругими опорами, рассмотрим осесимметричную систему вала с одним диском, расположенным на равных расстояниях от опор. Уравнения вынужденных колебаний такой системы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси координат имеют вид [c.139]

Из сказанного также следует, что теорию работы нелинейного демпфера можно излагать на конкретной схеме ротора, например, той, которая применялась при экспериментальных исследованиях при этом общность выводов не пострадает. Действительно, прогибы диска, определяемые уравнением (II. 30), не зависят непосредственно от схемы ротора, они определяются типом нелинейной характеристики упругих сил системы Р (г), построенной для точки ротора, где расположен диск с учетом упругих свойств всего ротора. При проведении решения безразлично какому типу ротора принадлежит эта нелинейная характеристика и за счет какого элемента системы ротор — статор существует нелинейность опор, вала ротора, креплений дисков к валу, самого корпуса и т. д. Для получения нелинейного демпфирования необходимо, чтобы жесткость системы изменялась скачком от величины j до величины С2 при вступлении в работу нелинейного демпфера. Однако величины Q и j в каждом конкретном случае нужно вычислять по-своему. [c.82]

Начиная с этого момента, прогибы вала под диском и в опоре будут определяться из следующих уравнений равновесия упругих и центробежных сил (здесь не учитываются изгибающие моменты, создаваемые валом) [c.92]

Соотношение (II. 59) представляет собой уравнение равновесия упругих и центробежных сил в точке присоединения диска (массы т ). Соотношение же (II. 60) есть уравнение равновесия упругих и центробежных сил на опоре (массе т ). Эти два уравнения и определяют неизвестные прогибы и как функции оборотов со. [c.93]

Заметим, что за первый участок для схемы ротора, представленной на фиг. 61, с целью упрощения расчетов следует принимать консольный участок, нагруженный диском, который создает центробежную силу и гироскопический люмент. В дальнейшем покажем, что такой диск будет эквивалентен некоторой упругой заделке относительно поперечных и угловых перемещений. Этот участок принят за первый вследствие того, что он имеет более сложное частотное уравнение и из него лучше находить неизвестную жесткость опоры, чем частоту. [c.133]

Задача о движении ротора, имеющего нелинейные элементы в системе ротор — статор, и на диск которого действует сила веса или перегрузка, тесно переплетается с задачей о движении ротора, у которого в опорах имеются различные нелинейные характеристики упругости в горизонтальном и вертикальном направлениях. Для краткости такие опоры будем называть анизотропными. В этом случае задача уже не может быть решена с помощью уравнения, изображающего равновесие центробежных и упругих сил (см. гл. II) [c.150]

В качестве проекций сил и проекций моментов сил в уравнениях (3. 34) и (3. 35) приняты проекции сил и моментов сил упругости, действующие со стороны вала на диск, пропорциональные соответствующим перемещениям диска. Эти силы выражаются с помощью коэффициентов жесткости Сц, 21 и которые [c.127]

Подставив в дифференциальные уравнения Лагранжа выражение кинетической энергии диска (3. 98), выражения обобщенных сил от гироскопического действия дисков (3. 99) и выражения обобщенных сил упругости со стороны вала, вызванных перемещениями и поворотами дисков на основании матрицы (3. 100), получим две системы из 2п уравнений (одну — для колебаний в плоскости XS, другую — для колебаний в плоскости уs) [c.156]

Выведем уравнение колебаний упругого вала, на котором укреплены в различных сечениях тонкие диски с разными моментами инерции. Массой вала пренебрегаем. Кроме того, для упрощения полагаем, что вал имеет постоянное сечение (фиг. 107). [c.259]

Написав уравнение движения диска с моментом инерции 0 р укрепленного на защемленном валу с коэффициентом упругости k p, причем диску сообщено ускорение моментом (фиг. 169,6), получим основное уравнение для исследования рассматриваемого механизма. Это уравнение будет таким же, как и уравнение, полученное из анализа кинетической и потенциальной энергии механизма. [c.373]

Рассмотрим теперь двухмассовую систему XVI на рис. 1.2, особенности которой уже отмечались. Начало процесса колебаний можно представить, например, следующим образом. Пусть на диски действуют две равные и противоположно направленные скручивающие пары, которые в некоторое мгновение (принимаемое за начало отсчета времени) внезапно исчезают. Для некоторого мгновения / > о углы поворота дисков равны ф и фа, так что относительный угол поворота равен фз — ф . Момент сил упругости вала составляет с (фа — Фа) и действует на каждый из дисков так, как показано на рис. 11.6. Обозначив через и моменты инерции масс дисков относительно оси вала, получим уравнения движения [c.26]

Минус в левой части второго уравнения поставлен потому, что упругий момент, действующий на второй диск, направлен по ходу часовой стрелки (отрицательный момент). Деля первое уравнение на /а, второе — на /а и вычитая первое уравнение из второго, получим [c.26]

Соответственно степени уравнения число корней р1 также равно п. Один из корней всегда равен нулю, так что число отличных от нуля частот на единицу меньше числа дисков и равно п — 1. Нулевой корень соответствует повороту всех дисков и вала как жесткого целого ненулевые корни (они все вещественные) соответствуют явлению упругих колебаний. Следовательно, система, состоящая из невесомого вала и п дисков, обладает п — 1 отличными от нуля собственными частотами p , р , , рп-й их принято нумеровать в порядке возрастания частоты. [c.94]

При составлении уравнений (111.33) учтено, что на систему вал—диск действуют диссипативные силы и составляющие дополнительной силы трения Ry и Уравнения (111.34) относятся к диску при этом действующими на него силами являются силы упругости вала и диссипативные силы. [c.172]

Рассмотрим гироскопический ротор — невесомый консольный вал с неуравновешенным диском на конце (рис. 1). Уравнения движения диска с учетом упругих реакций вала и сил внешнего трения [c.16]

Рассматриваются почти периодические колебания упругого ротора с учетом гироскопических моментов на примере невесомого консольного вала с неуравновешенным диском на свободном конце. Колебания системы описываются четырьмя нелинейными дифференциальными уравнениями. Показано, что в рассматриваемой системе кроме чисто вынужденных колебаний существуют почти периодические режимы с частотой обратной прецессии. Исследована их устойчивость. [c.141]

Решение упругой задачи сведено к системе 20-линейных алгебраических уравнений, выражающей условия равновесия элементов диска в перемещениях [c.611]

Дальнейшее уточнение методики приводит к решению объемной задачи теории упругости. Расчет пространственно-напряженного состояния диска сложной конфигурации с эксцентричными отверстиями неправильной формы требует разбиения области решения на большее число элементов. Хотя принципиальных трудностей при решении пространственной задачи МКЭ не возникает, для реализации ее требуются ЭВМ, обладающие значительным объемом оперативной памяти и быстродействием. Например, решение пространственной задачи для РК ДРОС методом конечных элементов с использованием достаточно простого разбиения на элементы (линейные призмы) и решением системы уравнений методом исключения Гаусса потребует приблизительно 2-10 байт оперативной памяти. Сокращения необходимого объема оперативной памяти можно достигнуть применением метода сопряженных градиентов вместо метода Гаусса, однако в этом случае резко увеличивается время счета (до нескольких десятков часов для ЭВМ серии ЕС). [c.106]

Следуя уравнениям (2.51)—(2.53а) и изложенной в п. 4 методике расчета (см. стр. 22—25), определяем границы упругой и пластической зон и значения параметров k и для нижеследующих значений усилий Р OPj-) для зубцов лопатки и диска (табл. 9). [c.63]

Таким образом, установлена аналогия между основными уравнениями, необходимыми для расчета упругих и упругопластических дисков. [c.244]

При определении частоты колебаний дисков газовых турбин необходимо учитывать наличие у этих дисков неравномерного нагрева по радиусу, вызывающего снижение собственной частоты колебаний. Это объясняется как уменьшением модуля упругости материала диска при нагреве (частота пропорциональна корню квадратному из модуля упругости), так и влиянием сжимающих тангенциальных температурных напряжений, действующих в области максимальных прогибов диска при его колебаниях. При наличии температурного градиента собственную частоту колебаний диска следует определять не по формуле (337), а по уравнению [c.271]

Таким образом, уравнения упругости выписаны для общего случая. Ураанения деформаций при рассмотрении растяжения и изгиба диска без учета взаимодействия изгибающих и растягивающих сил (жесткий диск) имеют следующий вид (см. 5 гл. 2) [c.176]

Рассмотрим уравнение (15.11) в приложении к колебаниям вала для простейшего случая (рис. 15.8). Здесь па валу, вращающемся с угловой скоростью ojg, закреплен диск массой т с эксцеитриснте-том е. Собственную массу вала считаем малой по сравнению с т и п расчет не принимаем (упругая система а одной степенью свободы). На вал действует центробежная сила [c.268]

Однородный круглый диск массы М и радиуса / , подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки ГПу р г = —Сф, где ось 2 проведена вдоль проволоки, с—коэффициент упругости, а ф — угол закручивания момент сопротивления движению гпсг = = —Рф, где ф — угловая скорость диска, а р > 0. В начальный момент диск был закручен на угол фо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если [c.282]

Подставив в уравнение (4) t = сек, получим угловую амплитуду диска а, = 0,6 рад. В этом крайнем положении диска упругий момент равен /и = 50 0,6 = 30 кг-сж. З ак как /и- тах= Ю кг-сж, т. е. I г I тах. ТО начинается движение диска против часовой стрелки. При этом упругий момент направлен против часовой стрелки, а момент трения — по часовой стрелке. З еперь дифференциальное уравнение вращения диска принимает вид [c.232]

Динамической расчетной моделью механизма, машины или прибора называют условное изображение их жестких звеньев, упрзтих и диссипативных связей, для которых соответственно указывают приведенные массы и моменты инерции, параметры упругости (или жесткости) и параметры диссипации (рассеяния) энергии, а также скорости движения или передаточные функции. В качестве примера на рис. 1.3 приведена простейшая расчетная динамическая модель машины, звенья которой и соединены упругодиссипативной связью, определяемой параметром упругости связи с при относительном кручении дисков и /3 и параметром / диссипации энергии в этой связи. Обозначения 1 и 2 одновременно отображают моменты инерции звеньев. Для выполнения расчетов по этой схеме путем составления дифференциальных уравнений вращательного движения должны быть указаны числовые значения названных параметров, а также даны моменты Мдв и движущих сил и сил сопротивления, приложенных соответственно к входному и выходному звеньям с угловыми перемещениями ф, и ф2. При этом моменты Л/да и могут быть заданы как функции обобщенных координат ф,, обобщенных скоростей ф и обобщенных ускорений ф i = 1,2). Пусть, например, = = Мд (ф,) и Ме = М,,(ф2). При этом математическая модель для приведенной динамической модели отобразится системой [c.14]

VIh формуя (45) и (46) вытекают выводы, справедливые и при других условиях закрепления стержня. Система с непрерывным распределением масс имеет бесчисленное количество частот и фо[), колебаний. Каждой собственной частоте /> соответствует своя форма колебани11 у. Спектр собственных частот упругой системы — диск-peTHbrii, как ото следует из равенства (46). Разберем общее решение уравнения (4. i), которое запишем в виде [c.400]

В связи с задачами о термонапряженности с учетом температурных зависимостей упругих и дилатометрических свойств, а также пластических деформаций, развиваюш ихся во времени, была разработана их трактовка в интегральных уравнениях, позволившая использовать методы итерации (повторения) и средства вычислительной техники и тем самым получить решения при сложных конструктивно заданных граничных условиях и экспериментально определенных уравнениях состояния. На этой основе были разработаны способы расчета на прочность и ползучесть с учетом температурных градиентов дисков и лопаток газовых и паровых турбин, трубопроводов и фланцевых соединений, толстостенных корпусов и несущих оболочек и других неравномерно нагретых конструкций. [c.40]

Результаты исследований в области теории малых упруго-пластических деформаций, а также обобщение теорем о работе сил упруго-пластических деформирующихся систем позволили рассмотреть предельные состояния конструкций и их элементов по критерию допустимых перемещений и допустимых нагрузок. Применение метода переменных параметров упругости и итерации для составления и решения соответствующих уравнений в ряде случаев в интегральной форме дало возможность решить большой круг конкретных задач расчета по предельным состояниям для брусьев, пластинок, дисков, оболочек, толстостенных резервуаров. Тем самым была найдена возможность использования резервов несущей способности детален и конструкций, связанных с уируго-нластическим нерераспределением напряжений и параметрами диаграммы деформирования материала. [c.41]

В случае же наличия осесимметричных упругих опор и при условии, что главные плоскости изгиба вала и инерции диска овпадают, применяя описание движения во вращающейся вместе с ротором системе координат, получим дифференциальные уравнения движения (11.50), в которых только [в отличие от (11.50)] в правых частях стоят не нули, а некоторые постоянные (так как проекции силы и момента от неуравновешенного грузика на вращающиеся вместе с валом оси координат будут постоянными). Отыскание частного решения, соответствующего таким правым частям, приводит нас к исследованию двух независимых систем уравнений вида (II.63а) и (11.636) эти системы уравнений ничем не отличаются по своей структуре от уравнений (III.36). Таким образом, для каждой из двух главных плоскостей изгиба вращающегося неосесимметричного ротора будет иметь место решение вида (III.42), содержащее два слагаемых, одно из которых при соответствующем резонансе обращается в бесконечность. Для формального нахождения этого решения, как и в случае осесимметричного ротора, можно, вводя фиктивные массовые моменты инерции диска [c.125]

В работах, посвященных проблеме уравновешивания гибких роторов, ограничиваются обычно рассмотрением указанного выше частного случая, при котором задача может быть с формальной точки зрения сведена к задаче о плоских изгибных колебаниях очень во многих случаях допустимо и дальнейшее ее упрощение— полное пренебрежение инерцией поворотов и вращения дисков, т. е. рассмотрение расчетной схемы, состоящей из безынертных упругих участков вала (который к тому же предполагается круглым) и точечных сосредоточенных масс. В последнем случае задача уже в точности эквивалентна задаче о плоских изгибных колебаниях рассматриваемого вала соответствующие ей уравнения для амплитуд прогибов вала чаще всего записывают с помощью коэффициентов податливого вала (а не его коэффициентов жесткости) в форме (III.21) [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...