Формула обращения преобразования Лапласа

Формулой обращения преобразования Лапласа называется следующее соотношение, позволяющее найти функцию-оригинал /(/) по известному изображению f(p) [c.292]

Формула (2.39) является обобщением всех предыдущих приближенных формул обращения преобразований Лапласа. [c.25]

Ответим, что интегралы типа (4.26) часто встречаются при вычислении преобразований Фурье, а также в формуле обращения преобразования Лапласа (см. 4Ц, Г49]). [c.109]

Пусть PQ — корень уравнения (90.18), имеющий наименьшую по абсолютной величине вещественную часть (Re pQ < 0). Тогда в формуле обращения преобразования Лапласа (90.11) мы можем сместить контур интегрирования с прямой Re / = а так, чтобы он обходил точку /70, а остальные вертикальные участки проходили бы по прямой Re /7 = —А, А Re ра (рис. ПО). Тогда интегралы по горизонтальным участкам уничтожаются, при больших временах интегралы по вертикальным участкам будут экспоненциально малы е , и в интеграле основной вклад даст вычет в полюсе pQ. Таким образом, потенциал (p t) при больших временах будет пропорционален = gi Re/>o g 1га/>о л мнимая часть pQ дает частоту плазменной волны й>о, а ее вещественная часть — коэффициент затухания у. [c.502]

Положим, что функция и (к) обращается в нуль для всех отрицательных значений X, При этом условии нижний предел во втором интеграле (2.13) можно положить равным нулю, а поэтому весь интеграл можно заменить его значением (2.5). В результате получим следующую формулу обращения преобразования Лапласа [c.309]

Проиллюстрируем полученную вещественную формулу обращения преобразования Лапласа простым примером. Пусть [c.506]

Преобразование (6.28) носит название преобразования Лапласа интеграл (6.28) — интеграла Лапласа, формула (6.30) дает обращение преобразования Лапласа (в точках непрерывности оригинала у (t)). [c.199]

Интересно отметить, что отношение vr/v в течение всего времени близко к единице. Это следует из уравнения (97а) и прямого метода обращения преобразования Лапласа (см. ииже формулу (120)) таким образом, [c.139]

ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА [c.20]

Приведем ряд формул приближенного обращения преобразований Лапласа. [c.23]

Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получим для скорости движения частиц следующее интегральное выражение [c.320]

При построении системы КОР используется метод Винера-Хопфа. Первоначально полученные замкнутые решения выражаются тройными интегралами, и при их реализации возникают различные вычислительные проблемы, связанные с медленной сходимостью обращений преобразования Лапласа. Спектральный анализ соответствующих характеристических функций позволил преодолеть эти трудности и построить эффективное решение, в котором все ряды и интегралы имеют экспоненциальную сходимость. Для сингулярных точек области получены асимптотические представления решений и явные формулы для коэффициентов интенсивности. Получены простые формулы для временных осадок штампа на прямоугольнике. Выполнены численные проверки сходимости, приводятся численные результаты по исследованию изменения коэффициента интенсивности напряжений в процессе консолидации. [c.574]

Заметим, что вычисление этих интегралов возможно только в некоторых частных случаях. Применение же формул численного обращения преобразования Лапласа позволяет получать приближенные решения с любой степенью точности. [c.466]

С помощью приведенной методики и численного обращения преобразования Лапласа в [543] решена антиплоская задача о динамическом нагружении трещины конечной длины в плоскости, а в [550] — плоская задача. Показано, что если нестационарные нагрузки прикладываются к поверхности трещины, то в ее вершинах образуются центры уходящих цилиндрических волн. Пока эти волны не начинают взаимодействовать, решение задачи описывается формулами, полученными для полубесконечной трещины. В частности, коэффициенты интенсивности напряжений в случае мгновенного приложения, нагрузки определяются формулами (2.66) для плоской и (2.67) для антиплоской задач. После начала взаимодействия цилиндрических волн, излучаемых противоположными вершинами трещины, распределение напряжений в окрестности трещины становится более сложным. Через некоторое время 21/Сз волновой фронт сливается в одиу расходящуюся волну, окружающую всю трещину. [c.59]

Этот результат связан с формулами обращения для преобразований Фурье и Лапласа его часто называют теоремой Фурье — Меллина . [c.448]

Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как при X = О была задана температура тела v если бы был задан тепловой поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование по косинусам в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового типа в случае граничного условия типа Е, приведенного в 9 гл. I, потребуется уже другое преобразование и т. д. [c.449]

Обращение выражения (3.67) относительно преобразования Лапласа сопряжено с необходимостью отыскания корней алгебраических уравнений Дп =0 высокой степени. Покажем, как из формулы (3.67) можно получить интегральное уравнение относительно Xn(t). Перепишем эту формулу в виде [c.70]

Осуществив в (5.98) обратный переход по формуле обращения для преобразования Лапласа, находим [c.208]

Используя известные формулы обращения и свойства преобразования Лапласа, получаем следующее выражение для скорости свободной поверхности при < 4т [c.173]

Скорость свободной поверхности при 2т > i > 4т находится с учетом / -инварианта при А = который определяется из полученного решения в области разрушения. Используя известные формулы обращения и свойства преобразования Лапласа, получаем следующее выражение для скорости [c.180]

Переходя в (5.52) по формуле обращения для преобразования Фурье — Лапласа от трансформанты к оригиналам, имеем общее решение динамической задачи термоупругости для полосы-пластинки [c.188]

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана — Меллина (см. гл. XIV). Эта формула позволяет получать решения в интересующей нас форме, в том числе в замкнутой форме. Идея метода состоит в том, чтобы выбор ядра интегрального преобразования К р, х) осуществлялся в соответствии с дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции / (л ) получается с помощью интегрального преобразования [c.58]

Вместо обычной формулы обращения (1) преобразования Лапласа можно вывести формулу обращения, не содержащую контурного интегрирования, а содержащую лишь операцию дифференцирования и перехода к пределу. [c.505]

Отметим, что из формулы (21) можно получить формулу обращения для преобразования Лапласа. Однако воспользуемся соотношением (21) и получим формулу обращения для комплексного преобразования Фурье, которая определяется соотношением [c.512]

Глава II посвяш,ена интегральным преобразованиям и их применению для решения задач о распространении волн. Рассматриваются преобразование Фурье и некоторые его модификации — преобразования Лапласа и Ханкеля, двойные преобразования (преобразования по двум переменным) и методы обраш,ения. Как показано в 18, в некоторых случаях двойные преобразования обращаются элементарно — отпадает необходимость вычисления интегралов в формуле обращения. В 21 рассматриваются способы описания волн деформаций с помощью рядов Фурье — преобразования Фурье на конечном (переменном) интервале. [c.5]

Основную роль при исследовании рассматриваемых ниже задач играет преобразование Фурье и некоторые его модификации (преобразования Лапласа, Ханкеля) и соответствующие этим преобразованиям ряды, которые также можно рассматривать как (дискретные) формулы обращения для интегральных преобразований с конечными пределами. [c.48]

Интегральное преобразование функции и (х), определяемое правой частью (13.2), называется двусторонним преобразованием Лапласа. Правая же часть (13.3) служит для него формулой обращения. В соответствии с утверждением предыдущего пункта, если оу — О, при I р I — оо (хотя бы по некоторой дискретной последовательности), то а (х) при X > О определяется особыми точками ьи (р), лежащими левее прямой р = а, и при х << О — особыми точками, лежащими правее указанной прямой. [c.62]

Пусть теперь значение х произвольно. Преобразование Лапласа, как это следует из (18.13) и формулы обращения для преобразования Фурье, равно [c.81]

Возможны случаи, когда уравнение (22.36) не имеет корней например, в формуле обращения для преобразования Лапласа, если единственным большим параметром является / (V = t). При этом, чтобы воспользоваться методом перевала, следует перенести в показатель экспоненты функцию g (р) или ввести какую-нибудь другую подходящую функцию, записав [c.116]

Решение интегрального уравнения (2.5) по отношению к ориги-тлу представляется формулой обращения преобразования Лапласа. [[ля установления этой формулы проведём следующие рассуждения. [c.309]

Комбинируя выражения (7.35), (7.36) и (7.38) и используя формулу обращения преобразования Лапласа прн условнн Д 1, получаем [c.223]

Симс [106] использовал уравнение Халпина — Цая, чтобы вычислить модули релаксации однонаправленных графитоэпоксидных и боро эпоксидных композитов. Результаты, полученные квазиупругим методом и методом коллокаций обращения преобразования Лапласа, очень хорошо согласовались. При расчете предполагалось, что модуль всестороннего сжатия эпоксидной смолы постоянен, а податливость при сдвиге меняется по степенному закону (формула (76)). Согласно данным, приведенным в разд. II, Ж,2, более реально считать постоянным [c.153]

Формулы приближенного обращения преобразований Лапласа. Применение интегрального преобразования Лапласа прп решении динамических задач приводит к весьма сложной проблеме обращения преобразований Лапласа. Лишь для частных видов зависимостей функции F p) от переменной р такое обращенпе возможно с помощью справочных руководств. Поэтому весьма полезны приближенные формулы обращения. [c.22]

Методы численного обращения преобразования Лапласа можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, основанные на непосредственном вычислении интеграла Меллина (второго интеграла в (6.76)). Методы первой группы основаны на определении оригинала из интегрального уравнения первого рода, представлен-нрго первой формулой (6.76). [c.155]

Будем рассматривать вектор-функцию Г (р) как определяемую согласно (6.70), причем она удовлетворяет формально всем требованиям осуществимости преобразования Лапласа согласно (6.58) и обращения согласно (6.61). Действительно, вектор-функция Г (р) аналитична в полуплоскости (6.72), причем достаточные условия (теорема VII, п. 6.3) выполняются. Таким образом, обращение вектор-функции Г (р), являющееся изображением решения векторноматричного дифференциального уравнения (6.35) при нулевых начальных данных, может быть получено по формуле [c.183]

Алгаритм I позволяет последовательно отыскать вектор-функции Г (р)° 7 (0° и перейти к вектор-функциям у (/У т. е. определить Б соответствии с (8.64) матрицы А (О В (f) и вектор-функцию f (ty Осуществление алгоритма I основано на применении формул прямого, обратного преобразования Лапласа и обращении изображений при помощи теоремы о вычетах (п. 6.4). [c.249]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

В то время как его оригинал при /— оо неограничен. Вместе с тем, в случае изображения сложного вида возможность обойтись без анализа его поведения на комплексной плоскости р очень заманчива. В связи с этим разработаны способы обращения на вещественной оси [53]. В соответствии со сказанным выше при проведении выкладок обычно требуется очень высокая точность. Приведем здесь одну любопытную формулу (Уиддера), основанную на дифференцировании изображения на вещественной оси. Продифференцируем п раз преобразование Лапласа под знаком интеграла (что законно при достаточно большом значении р). Получим [c.73]

Граничные и начальные условия выведены из основных уравнений теории Тимошенко с учетом условий симметрии для изгиба и угла сдвига. Параметр s для реальных материалов изменяется от 3 до 4. Пренебрежение деформацией сдвига соответствует бесконечной жесткости на сдвиг, и в этом случае s=0. Получены точные решения в явной форме для прогиба И изгибающего момента на основе преобразования Лапласа по i, л и обращения по формулам Римана— Меллина. Сначала решения строятся на основе представления нагрузки в классе гладких функций, аппроксимирующих б-функцию. Затем предельным переходом получаются решения, соответствующие б-функциям. Показано, что решение задачи с самого начала для нагрузок в классе б-функций приводит к таким же результатам. Для s = 3 проведены численные расчеты в нескольких сечениях. Из расчетов следует, что первой приходит более быстрая изгибная волна со скоростью Е/ р, а затем приходит сдвиговая волна со скоростью / kGIp. [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...