Метод сопряженных функций

В настоящей главе метод сопряженных функций применяется порознь для процессов теплообмена и гидродинамики, а взаимосвязь этих процессов учитывается (при необходимости) с помощью формул теории возмущений по методу последовательных приближений. Такой подход существенно облегчает решение общей задачи и является в известной степени наглядным, позволяя количественно оценить указанную взаимосвязь. [c.6]

Поскольку используемый в книге метод сопряженных функций существенным образом опирается на математический аппарат функционального анализа, то для удобства читателя авторы сочли целесообразным привести в приложении краткие сведения из этого раздела математики, необходимые для лучшего уяснения материала книги. Этой же цели служит содержащаяся в приложении краткая сводка формул векторного анализа, используемых лри выкладках. В приложении приведены также полезные в практических расчетах функции Грина для случая нитевидного и точечного источников тепла в канале с твэлом и теплоносителем. [c.7]

В теплотехническом отношении активная зона современного ядерного реактора представляет собой сложную теплообменную систему из активных элементов (твэлов) и омывающего их теплоносителя. Надежность такой системы в значительной мере определяется правильным выбором и поддержанием температурного режима ее элементов. Поэтому важнейшими задачами инженерных исследований при создании реактора являются определение и оптимизация полей температуры в твэлах и каналах при нормальных и переходных режимах работы ЯЭУ [35, 89, 64]. Предполагая знакомство читателя с основами общей теории теплообмена и гидродинамики [39, 17, 26, 57, 109], а также спецификой теплообмена в ЯЭУ [66, 14, 56], рассмотрим применение в подобных инженерных исследованиях метода сопряженных функций и теории возмущений. [c.29]

Вывод сопряженного уравнения гидродинамики установившегося потока. Рассмотрим метод сопряженных функций применительно к исследованию гидродинамики в каналах с теплоносителем. Дифференциальное уравнение гидродинамики Навье—Стокса для общего случая переменной плотности и вязкости жидкости имеет вид (571 s [c.67]

Рассмотрим применение метода сопряженных функций при исследованиях нестационарных процессов переноса тепла. Важность рассматриваемых вопросов обусловлена тем, что нестационарные режимы при работе ЯЭУ реализуются достаточно часто (пусковые режимы, переходные, аварийные и т. п.). [c.77]

О ПРАКТИЧЕСКОМ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА [c.111]

Весьма перспективно использование теории возмущений для решения обратных задач теплообмена и гидродинамики с привлечением экспериментальных данных, при этом в условиях действующей ЯЭУ могут быть определены неосновные параметры, по- лезные для технической диагностики установки (например, контактное термическое сопротивление в твэлах, коэффициенты теплоотдачи, распределение источников тепловыделения и т. п.). Некоторые аспекты такого использования метода сопряженных функций обсуждаются в гл. 6. В лабораторных условиях постановка обратных задач теплообмена и гидродинамики дает возможность получать информацию фундаментального характера (например, информацию о профиле скоростей теплоносителя, о, турбулентной теплопроводности и вязкости в потоке, о толщинах пограничного и теплового слоев и т. п.). [c.115]

В заключение отметим, что приведенные соображения о практическом применении метода сопряженных функций можно рассматривать как перечень проблем, подлежащих дальнейшей разработке. [c.116]

Если мы сделаем преобразование в этой задаче, используя метод сопряженных функций, то увидим, что по причине, указанной в п. 641, бесконечно малая окружность перейдет в аналогичную фигуру, т. е. в другую окружность. [c.529]

Основное возражение, касающееся применения метода сопряженных функций в гидродинамических задачах, состоит в трудности отыскания соответствующих формул преобразования. Однако чтобы нх найти, можно воспользоваться удобным правилом, а именно, если нам известно движение жидкости внутри области, ограниченной одной или двумя бесконечными кривыми, то мы можем, вообще говоря, при тех же самых границах найти более сложное движение, когда имеются источники и вихри. Действительно, обозначим через и т потенциал скорости и функцию тока этого движения. Тогда т постоянна вдоль границ. Если мы используем I, Т в качестве наших формул преобразования, то заданные границы преобразуются в прямые, параллельные оси . Движение в этой области, вызванное вихрями и источниками, уже исследовано. Поэтому можно определить движение в областях более общего вида. [c.540]

Течение из конечного линейного источника питания в песчаник бесконечной величины. Метод сопряженных функций. В последнем разделе была подвергнута рассмотрению задача единичной скважины, дренирующей песчаник, в который поступает жидкость из бесконечного источника питания. Такая обстановка создается, если линейный источник питания, например, канал или река, параллелен [c.154]

Введение. Многие задачи о движении жидкостей в пористой среде, имеющие практическое значение, можно с достаточным приближением свести к одному из видов плоского течения, проанализированных в предыдущей главе. Однако остаются иные задачи, имеющие также весьма серьезное значение, которые отличаются вполне определенным пространственным характером. Так, если скважина, вскрывшая продуктивный песчаник, полностью не проходит сквозь него, то течение в той части песчаника, которая не вскрыта забоем скважины, будет иметь компонент скорости, направленный вверх и влекущий жидкость в скважину. В верхней же части пласта песчаника течение будет попрежнему в значительной степени радиальным и будет иметь сравнительно небольшой компонент скорости по вертикали. Поэтому распределение давления в пласте песчаника будет изменяться по вертикальной координате, т. е. задача будет иметь пространственный (трехмерный) характер. По отношению к общим методам решения пространственных задач следует заметить, что все те методы, которые были рассмотрены нами в приложении к плоским системам (глава IV), за исключением только одного из них, имеют свои аналоги в том случае, когда в систему включается третья координата. Только метод сопряженных функций не имеет своего аналога для случая трехмерного уравнения Лапласа. Все же для решения практических задач мы находим, что имеющиеся в нашем распоряжении методы вполне достаточны для получения искомых результатов. [c.216]

Излагаемый ниже прием называется методом сопряжения. Пусть 0+ и 0 — верхняя н нижняя полуплоскости. Рассмотрим некоторую аналитическую в области 0+ функцию ср(2). Введем в области 0 функцию, которую обозначим через ф (г) и определи.м формулой [c.417]

Заметим, что метод сопряжения удается эффективно использовать при решении контактных задач, когда упругое тело ограничено дугой окружности, и задач, когда разрезы располагаются вдоль дуги одной окружности. В этом случае продолжением функции посредством сопряжения является функция Ф(1/г). [c.424]

Метод аппроксимации кривых с сопряжением производных до вторых включительно получил название теории сплайнов i). Поскольку сопряжение функции, а также ее первых и вторых производных отвечает условиям неразрывности перемещений, углов наклона и моментов в изгибаемой балке, получаемая таким образом кривая аналогична упругой линии тонкой линейки, натянутой на дискретные точки, в которых заданы перемещения. В связи с этим и теория приложений методов сопряжения производных к задачам теории упругости получила название теории двумерных сплайнов . [c.564]

В соответствии с этим методы определения функций положений и функций перемещений звеньев различны. Функции положений звеньев определяют в результате решения систем уравнений, отображающих зависимости переменных и фиксированных величин, характеризующих кинематические схемы механизмов. Таким образом, методами определения функций положений звеньев являются методы решения уравнений и их систем. Функции перемещений звеньев строятся из отрезков функций положений звеньев по условиям гладкости сопряжений кусков функций положения. Следовательно, методы построения функций перемещения должны основываться на определении левосторонних и правосторонних пределов функций положения и их производных в точках ветвления (бифуркации). [c.46]

Для того чтобы иметь возможность решать уравнение (3.78) операционным методом, сделаем замену временной координаты х на — с, я под лаплас-образом сопряженной функции будем понимать величину, определяемую выражением [c.92]

МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОСНОВНОГО И СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛА [c.94]

Измерение распределения сопряженных температур можно осуществить способом, непосредственно вытекающим из самого определения функции ценности теплового источника. В самом деле если имитатор точечного теплового источника перемещать по всему объему теплофизической системы и одновременно измерять в различных точках установившиеся значения температур, то тем самым будет получена наиболее универсальная информация — данные по сопряженной функции Грина в+(г Го). По этой функции численным интегрированием можно найти сопряженную температуру +(г) для любых видов параметра Р(г), т. е. для любых интересующих нас функционалов. Можно также разработать и косвенные методы измерения сопряженных температур, основан-114 [c.114]

Представляется также перспективным применение аппарата сопряженных функций для моделирования характеристик различных теплофизических систем, в частности нестационарных. При этом в основу физического моделирования можно положить равенство соответствующих функционалов моделируемых систем и с учетом этого условия устанавливать связи между теплофизическими параметрами. Такой метод в сочетании с известным в S 115 [c.115]

Очевидно, что и к этому случаю может быть применен метод преобразования с помощью сопряженных функций. [c.116]

Отсюда следует, что для вычисления гармонически сопряженной функции v(в) заданную функцию надо разложить в ряд Фурье (17.7), построить гармонически сопряженный ряд (17.8) и вычислить сумму этого ряда во всех точках определения v(в). Если, как это бывает обычно, функция и (в) разрывна или испытывает значительное колебание на небольшом участке изменения 0, то для улучшения сходимости рядов (17.7) и (17.8) по методу А. Н. Крылова формулы (17.5) следует применять к функции Р (Z) — 1(2), где (2) — какая-нибудь известная функция, имеющая те же особенности, что и функция Р (2). [c.148]

Все три приема (методы сопряженных градиентов, Б. Т. Поляка и быстрого градиента) влияют на улучшение прохождения оврагов , образуемых штрафными функциями на поверхности целевой функции. Поэтому совместное применение этих приемов нецелесообразно и рекомендуется использовать только один из них — метод сопряженных, градиентов. [c.52]

При таком учете производных вблизи точек их разрыва могут быть зигзагообразные ходы (в градиентном методе) вдоль линий предельных мощностей ГЭС. Однако метод сопряженных градиентов, ускоряющий зигзагообразный обход границ ограничений (учитываемых с помощью штрафных функций), выполнит свою полезную роль и в последнем случае. [c.63]

Другие итерационные методы. Популярными методами решения систем с симметричными положительно определенными матрицами являются метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряженных градиентов, изложенные в п. 5.1.10 в связи с задачей минимизации квадратичной функции (5.4). Изложение метода минимальных невязок, линейного многошагового метода с чебышев-ским набором параметров и других методов можно найти в [8, 13, 16, 58, 59]. [c.129]

Под методом сопряженных направлений для минимизации квадратичной функции (5.4) понимают метод спуска (5.36), в котором направления [c.142]

Метод сопряженных направлений позволяет найти точку минимума квадратичной функции (5.4) не более чем за т шагов. [c.143]

Минимизацию произвольной функции / методом сопряженных градиентов осуществляют в [c.143]

Для этой цели выгодно широко пользоваться методами сопряжения и суперпозиции функций. [c.75]

Целью настоящей книги является популяризация метода сопряженных функций и теории возмущений применительно к инженерным аспектам разработки и исследований ЯЭУ с машинным и непосредственным преобразованием тепловой энергии в электрическую. Авторы полностью отдают себе отчет в том, что далеко не все подходы к изучению инженерно-физических проблем ЯЭУ на основе метода сопряженных функций к настоящему времени разработаны. В частности, слабо развиты вопросы оптимизации инженерных характеристик реактора с использованием метода сопряженных функций. Здесь более ясна общеметодическая сторона дела (см., например, [72, 98, 1]), и теперь настоятельно необходима конкретизация и формализация оптимизационных задач. [c.5]

В этих и аналогичных исследованиях незаменимую роль для расчетного анализа могут сыграть аппарат сопряженных функций и формулы теории возмущений. Разумеется, принципиальная возможность привлечения новых методов для исследования инженерно-физических характеристик ЯЭУ, таких как метод сопряженных функций и теория возмущений, сама по себе не является решающей для успеха дела. Кроме того, необходимо, чтобы использование новых методов было экономически целесообразно, чтобы эти методы были конкурентоспособными в сравнении с традиционными. С этой точки зрения крайне актуальна разработ ка на новой основе достаточно эффективных расчетных aлгopит мов и программ для ЭВМ, развитие простых и плодотворных экспериментальных методов с использованием понятия функции цен ности. [c.5]

Решая задачу кручения Сен-Венана, Томсон применяет метод сопряженных функций, введенный Клебшем, используя его для вычисления напряжений и угла закручивания бруса с поперечным сечением в виде кольцевого сектора. [c.320]

Если ложе реки или канала пересекает выход песчаника (см. фиг. 39), то источник питания жидкостью нельзя рассматривать больше как бесконечную линию, а вместо этого ее следует принимать К8К конечную линию питания. Такую систему можно подвергнуть рассмотрению методом сопряженных функций (гл. IV, п. 8), что приводит к системе конфокальных эллипсов для эквипотенциальных линий и софокусных гипербол для линий тока (см. фиг. 40). Разумеется, течение в скважину, вскрывшую пласт песчаника, получающего питание водой из такого конечного линейного источника, будет меньше по сравнению с тем случаем, когда источник питания будет иметь бесконечную длину. Это различие между ними становится незначительным, если скважина расположена очень близко к конечному линейному источнику питания. При решении этой задачи методом преобразования сопряжеьной функции установлено, что на любом заданном расстоянии от источника питания текущий дебит будет наибольишм, если скважина расположена на перпендикуляре, рассекающем пополам линейный источник, и будет уменьшаться по мере [c.206]

Отклонения кривых равного давления [уравнение (3)] от небольших круговых контуров скважин не имеют никакого физического значения. Однако следует заметить, из чисто академического интереса, что можно получить, если только это необходимо, строгие окружности равного давления, применяя метод сопряженных функций (R. С. J. Howland, Ргос. ambridge Ptiil. So .. 30, 315, 1934). [c.434]

Рис. 6.4. Поиск экстремума квадратичной функции методом покоординатного спуска (а), методом параллельных касательных (б), методом нанскорейшего спуска (в) и методом сопряженных градиентов (г)

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

В гл. 3 с использованием сопряженных уравнений исследуются нестационарные процессы переноса тепла в каналах ядерных реакторов. Здесь также в центре внимания находится получение формул теории возмущений, которые в данном случае характеризуют нестационарные процессы. Описываются наиболее общий метод собственных функций, используемый для разложения нестационарного решения в ряд Фурье и требующий для своей реализации знания системы собственных функций сопряженного уравнения, биортогональной к системе собственных функций основного уравнения. [c.6]

Для сильно выпуклой гладкой функцин / при некоторых дополнительных условиях метод сопряженных градиентов обладает высокой сверхлиней-ной скоростью сходимости. В то же время его трудоемкость невысока и сравнима с трудоемкостью метода напскорейшего спуска. Если решается задача минимизации функции с очень большим числом переменных, то метод сопряженных градиентов, по-видимому, является единственным подходящим универсальным методом. [c.143]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

Следующий раздел книги Клебш посвящает задаче Сен-Ве-нана. Он опускает соображения физического характера, введенные Сен-Венаном при использовании им здесь полуобратного метода, и ставит проблему в чисто математической формулировке найти силы, которые должны быть приложены к торцам призматического бруса, если объемные силы отсутствуют, по боковой поверхности бруса не приложено никаких сил, но между продольными волокнами действуют лишь касательные напряжения в осевом направлении. Таким путем Клебш получает возможность задачи осевого растяжения, кручения и изгиба рассматривать и решать как единую задачу. Подобная трактовка вопроса принимает более сложный вид, чем у Сен-Венана, поскольку при этом подходе опускается физическая сторона явления и решение получается слишком абстрактным, чтобы заинтересовать инженера. Клебш проходит мимо тех многочисленных приложений, на которых останавливается Сен-Венан, демонстрирующий эффективность своего метода на балках различных поперечных сечений. В качестве примеров Клебш приводит случаи сплошного эллиптического бруса и полого бруса, поперечное сечение которого образовано двумя конфокальными эллипсами. Почти никакого практического интереса эти задачи не представляют, но Клебш обращается к ним для того, чтобы впервые ввести новый прием математической трактовки, а именно, использовать сопряженные функции в решении задачи Сен-Венана. [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...