Тензор второго ранга

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Рз ось Oz — углы у,, у 2, У3. Формулы (27) полностью аналогичны формулам (31) для моментов инерции относительно осей координат, а (28) формулам для центробежных момен-гов инерции (35) 9 гл. 3. Это и естественно, так как компоненты тензоров второго ранга преобразуются по единым формулам при переходе от главных осей к другим осям координат, повернутым относительно главных. [c.570]

Величина представляет собой тензор второго ранга. Определим -ю компоненту импульса жидкости, переносимую в направлении 1 (единичный вектор 1 направлен вдоль Уоо) [c.101]

Тензор инерции определяется девятью компонентами, т. е. 3" = 9, и /7 = 2 — он является тензором второго ранга. [c.110]

Момент инерции тела относительно некоторой оси I определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и v общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат х, у, Z относительно рассматриваемой точки О моменты инерции J , JУ к Jz центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга ). Поэтому матрица [c.177]

Строго говоря, векторное произведение геометрически изображается односторонней площадью параллелограмма, построенного на умножаемых векторах, а площадь параллелограмма в свою очередь — вектором, который направлен так, чтобы, смотря из конца этого вектора, мы видели обход контура, ограничивающего площадь, против хода стрелки часов (т. е. как указано в определении). Таким образом, век торное произведение, по существу, есть не вектор, а антисимметричный тензор второго ранга. [c.30]

Совокупность с коэффициентов gij скалярного произведения, подчиняющаяся указанному закону при преобразованиях координат, образует тензор второго ранга, который называется метрическим. [c.16]

Из определения формы Т(х,у) следует, что ее значение не меняется при преобразованиях базисных векторов. В этом смысле набор Л ее коэффициентов Урд, p,q = 1,2,3, представляет собой тензор второго ранга. Он называется связанным с точкой О тензором инерции множества Q точечных масс. Найдем компоненты тензора Л [c.45]

Доказательство. Форма 2 не меняет значений при преобра- зованиях координат. Поэтому коэффициенты (а, ) образуют тензор второго ранга. Он может служить метрическим, так как форма 2 положительно определена. [c.618]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Тензору напряжений, как и любому другому тензору о двумя индексами (тензору второго ранга), можно поставить в соответствие геометрический образ — поверхность второго порядка, так же как тензору с одним индексом (тензору первого ранга, или вектору) можно поставить в соответствие прямолинейный отрезок, а числу (тензору нулевого ранга) — точку на числовой оси. [c.551]

Это кубическое уравнение для р имеет корни р , р , р . Оно аналогично уравнениям собственных значений тензоров инерции и скоростей деформаций. Все эти тензоры второго ранга. [c.552]

Тензоры второго ранга (N—2) имеют в трехмерном пространстве девять координатных компонент л = 3 =к Тензор второго ранга называют также диадиком. Обозначим компоненты диадика через ац (i, /=1, 2, 3). Тогда диадик можно записать в виде матрицы в круглых скобках [c.9]

По аналогии с формулой (1.2) тензор второго ранга (диадик) можно условно записать в виде [c.10]

Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются буквами с одним свободным индексом, например ai. Тензоры второго ранга (диадики) обозначаются символами с двумя индексами. Так, тензор (1.19) обозначается просто aj/. [c.11]

Формула (1.50) является естественным обобщением формулы (1.41) на случай тензоров второго ранга. [c.13]

Закон преобразования (1.50) компонент тензоров второго ранга легко обобщить на случай тензоров ранга N [c.13]

Для симметричного тензора второго ранга ац — ац и вектор диадика Dv = 0. Тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы двух тензоров [c.13]

Направляющим тензором второго ранга называют тензор =dij/d. [c.15]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

В каждой точке пространства и в каждый момент времени i тензоры имеют свои значения, образуя тензорное поле. Последнее называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты тензора являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х, t. Если компоненты тензора не зависят от времени t, то тензорное поле называется стационарным. Поля тензоров в индексных обозначениях можно записать в таком виде скалярное поле ф = ф(х,-, t) или <р = ф(х, ) векторное поле v = v(xi, t) или г>=г(х, t) поле тензора второго ранга aa = aij(xt, t) или au = aij(ii, t). [c.15]

Геометрическое (векторное) представление тензоров второго ранга в евклидовом линейном ге-мерном пространстве. В аналитической геометрии в основу рассуждений всегда кладется определенная координатная система. С другой стороны, при построении векторного исчисления координатную систему стараются игнорировать, ставя в соответствие каждому вектору геометрический образ в виде направленного отрезка. При исследовании более сложных физических величин, таких, как тензоры второго и более высоких порядков, геометрическое представление возможно уже лишь в абстрактном л-мерном линейном пространстве. Такое геометрическое представление имеет большое значение для установления физических законов и их экспериментальной проверки. [c.20]

Пусть в трехмерном евклидовом ортогональном пространстве Яз задан тензор второго ранга ац. Пятимерным, пространством Ильюшина называется евклидово пространство Rs, порожденное тензором-девиатором —бца так, что [c.21]

Пусть теперь в трехмерном евклидовом пространстве задан тензор второго ранга апространстве Ильюшина Rs, порожденном тензором-девиатором Эц (), можно построить подвижный многогранник (репер) Френе pi (i=l, 2,. .., 5), связанный с траекторией Э=Э(1). Орты рг репера Френе связаны между собой обобщенными формулами Френе [8] [c.24]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы. [c.87]

Условимся далее обозначить тензоры второго ранга так Г, А, В, и т. д. [c.46]

Так как формулы преобразований (1.39) и (1.40) линейны относительно компонент тензоров, можно распространить аналитический закон сложения тензоров первого ранга (векторов) на тензоры второго ранга, а также на тензоры высших рангов. [c.46]

Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга [c.46]

Симметричный тензор второго ранга характеризуется такими соотношениями между своими компонентами Антисимметричный тензор имеет следующее свойство Т Оче- [c.46]

Покажем теперь, что произвольный тензор второго ранга можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Действительно, введенное нами выше действие сложения позволяет написать [c.46]

Некоторые свойства тензоров второго ранга. Представление антисимметричного тензора второго ранга вектором [c.47]

Сумма диагональных элементов матрицы тензора второго ранга называется его линейным инвариантом. Из выражений (1.37) и (1.38) видно, что линейный инвариант построенного нами мультипликативного тензора — скалярное произведение векторов а-Ь. [c.47]

Тензору напряжений, как и любому другому тензору с двумя индексами (тензору второго ранга), можно поставить в соответствие геометрический образ — поверхность второго порядка, так же как тензору с одним индексом (тензору первого ранга, или вектору) можно поставить в соотвегсгвие [c.568]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Из формул (142.12) следует, что шесть компонентов деформации образуют афинный ортогональный тензор второго ранга, который называют тензором деформации [c.227]

Заменяя Vi в (1.42) согласно (1.43), получим девятичленную формулу записи тензора второго ранга (диадика) [c.12]

Таким образом, можно сказать, что если имеется совокупность трех векторов 0-43), преобразующихся в векторы (1.46) при переходе к новой системе координат так, что имеет место преобразование (1.50) их компонент, то совокупность этих трех векторов гТ,- образует тензор второго ранга, или диадик. [c.13]

Свойства тензоров второго ранга. Отметим некоторые важные свойства тензоров второго ранга. Произведением тензора ац на скаляр X называется тензор bij, компоненты которого bij = Xaii. Суммой тензоров aij и bij называется тензор сц, компоненты которого ij — aii + bij. [c.13]

Если вектор Б коллинеарен вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет свое значение, не меняя направления, то направление вектора а называется главным направлением тензора второго ранга. В этом случае Ъ=Ка, где скаляр X носит название главного значения тензора, причем bj=Xaj. Найдем главные значения тензора второго ранга и его главные направления, или главные оси. Полагая Ь=Ха, что равносильно bj = Xaj = —XSijai, и подставляя значение bj в (1.60), получим систему трех уравнений относительно aj [c.14]

В трехмерном пространстве тензоры второго ранга иногда полезно представлять квадратными матрицами третьего порядка, а тензоры первого ранга (векторы)—матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Хотя скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно представлять матрицами, не каохдая матрица представляет собой тензор. Вследствие этого для тензорных величин вместо [c.17]

Скалярное произведение тензора второго ранга aij на вектор b=biet можно записать так [c.18]

Всякая девятка чисел а,/, преобразующаяся по формуле (2.12), образует тензор второго ранга. Вследствие закона парности касательных напряжений (2.8) этот тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга [c.44]

Итак, абсолютные скаляры, векторь и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры — тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39)—тензоры второго ранга. [c.45]

Совершенно ясно, что метод, примененный нами для построения простейших тензоров второго ранга, позволяет построить тензоры высших рангов. Для этого следует ртсс.мотреть соответствующие произведения компонент трех, четырех н т. д. векторов. Приведем полное определение тензора -го ранга, заданного в ортогональной системе декартовых координат. [c.45]

Курс теоретической механики. Т.1 (1982) -- [ c.115 , c.116 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 1 (1975) -- [ c.769 , c.775 ]

Теория пластичности (1987) -- [ c.36 ]

Теория упругости (1970) -- [ c.802 ]

Механика жидкости и газа (1978) -- [ c.17 ]

Лекции по гидроаэромеханике (1978) -- [ c.19 ]

Нелинейная теория упругости (1980) -- [ c.426 ]

Механика сплошной среды Т.1 (1970) -- [ c.54 , c.61 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...