Тензор второго ранга в главных осях

В 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются главными осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными моментами инерции. [c.285]

Пусть К,, = К,, симметричный тензор второго ранга в криволинейной системе координат х х ,х . В точке М базис (е,,е2,ез). Переведем этот тензор к главным осям [c.223]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Количество движения жидкости и скорость поступательного движения тела вообще не параллельны. Величины ( , к = = 1, 2, 3) образуют симметричный тензор второго ранга, поэтому существуют три взаимно перпендикулярных главных направления таких, что при поступательных движениях тела вдоль этих направлений векторы количества движения жидкости и поступательной скорости тела параллельны, в других случаях такой параллельности вообще нет. Если декартовы оси координат направлены по главным направлениям, то Я 2 = хз = = А,2з = О, причем вообще [c.195]

Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V тензорный эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора). [c.774]

Всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту координатных осей. Поэтому в выражение скаляра Ь могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформаций, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора второго ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали. В этом легко убедиться, составляя указанную сумму в двух [c.167]

Симметричный тензор второго ранга поворотом системы координат можно привести к главным осям X, Y, Z, в которых все недиагональные компоненты тензора обращаются в нуль, и вместо матрицы (1.3) можно написать [c.13]

При описании трехмерной фильтрации в анизотропных средах закон Дарси записывают в векторном виде, где коэффициент фильтрации является тензором второго ранга с симметричной матрицей, которая имеет диагональный вид в главных осях анизотропии. По структуре трубный пучок аналогичен грунтам с трансверсальной (осесимметричной) анизотропией, у которых два главных компонента тензора коэффициента фильтрации равны между собой (слоистые породы). [c.183]

В работе [9] Бреннер дал обобщение предыдущего изложения на случай, когда главные трансляционные оси частицы могут быть ориентированы любым образом по отношению к главным осям ограничивающих стенок. Как мы сейчас покажем, с точностью до первого порядка по отношению размера частицы к размеру границы избыточное сопротивление частицы в поступательных движениях молено представить в виде симметричного тензора второго ранга (диадика), значение которого не зависит от формы и ориентации частицы. [c.336]

Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций. Тензор деформаций Т , является симметричным тензором второго ранга. Поэтому при в точке М. всегда можно выбрать в качестве [c.70]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Известно, что такие теплофизические свойства, как теплопроводность и линейное тепловое расширение, изменяются в зависимости от направления. Анизотропия проявляется также в отношении электропроводности, электрической прочности, диэлектрической проницаемости и пьезоэлектрических свойств. В кристаллофизике 16, гл. 1 ] показано, что при помощи симметричных материальных тензоров второго ранга могут быть описаны следующие свойства или коэффициенты анизотропных сред теплопроводность, тепловое расширение, электропроводность, диэлектрическая проницаемость. Для этих свойств существует в ортотропных телах три независимых константы в главных осях. [c.237]

Коэффициенты в уравнении (4.3.10) образуют тензор поперечной непроницаемости г ,. Следовательно, собственные векторы этого тензора второго ранга направлены вдоль главных осей эллипса сечения. В соответствии с (4.3.8) значения п определяются длинами главных осей. Это доказывает эквивалентность метода эллипсоида показателей преломления и метода, описанного в предыдущем разделе. [c.89]

ДЛЯ отыскания угла 0 между главным направлением тензора напряжения и осью X. Уравнение (2.23.24) допускает два решения, отличающиеся друг от друга на угол п/2, в соответствии с наличием двух взаимно перпендикулярных главных направлений двумерного тензора второго ранга. [c.499]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

В методе прямой проверки существенно используются два обстоятельства во-первых, то, что компоненты тензора ранга г преобразуются как произведения г компонент векторов, и, во-вторых, то, что проверке подлежит, как правило, тензор, записанный покомпонентно в главной кристаллографической системе координат, а последняя строится на элементах симметрии исследуемой среды (кристалла), так что оси симметрии и нормали к плоскостям симметрии (элементы точечной группы этой среды) совпадают с координатными осями или занимают какие-либо другие особые положения (например, вдоль биссектрис углов между осями и т.п.). При такой записи число ненулевых компонент тензоров минимально, а сама запись имеет наиболее симметричный вид. [c.297]

Отметим еще одно важное свойство симметричных тензоров второго ранга — возможность приведения к главным осям. В кристалле, рассматриваемое свойство которого описывается тензором второго ранга, существует система координат, для которой тензор имеет вид [c.5]

Правда, выбором осей, который в данном случае произволен, можно фиксировать три коэффициента. Нам представляется, однако, более рациональным подсчитывать число независимых компонент без учета возможности свободного выбора осей. При этом достаточно сослаться на пример тензора е у(и)) (или любого другого тензора второго ранга). Число независимых компонент тензора е,у в триклинной, моноклинной и ромбической системах равно соответственно шести, четырем и трем (см. табл. II). В то же время во всех этих случаях в системе главных осей тензор е у имеет три независимых компоненты. Разница же между кристаллами указанных классов очень большая, поскольку в ромбическом кристалле главные оси фиксированы, а в триклинном кри- [c.152]

Тензор инерции является симметричным тензором второго ранга. Он имеет шесть различных компонентов. По главной диагонали располагаются моменты инерции относительно координатных осей. Поворотом координатных осей до совпадения с главными центральными осями инерции тензор приводится к диагональному виду. Остаются только компоненты по главной диагонали / , /2 и /з, которые в этом случае являются главными центральными моментами инерции, а центробежные моменты инерции обращаются в нули [c.151]

КИ активные молекулы и области полос поглощения, то тензор bik есть симметричный тензор второго ранга, который может быть преобразован к главным осям таким образом, что в тензоре остаются только три диагональных элемента, а все недиагональные исчезают [115, 116]. [c.71]

Будучи симметричным тензором второго ранга, тензор новрежденности В имеет три взаимно ортогональных главных нанравления (главные оси новрежденности) и три соответствующих собственных значения (главные новрежденности). [c.433]

Известно, что всякому симметричному тензору второго ранга можно сопоставить некоторую поверхность второго порядка. В нашем случае следует рассматривать две поверхности, соответствующие тензорам и к. Если координатные оси совпадают с главными осями анизотропии, то уравнения этих поверхностей легко получить следующим образом [c.140]

Здесь a,, y, - для компонент ортов кристаллофизической системы координат 6j, для которых приняты следующие обозначения а = е,, с = 62, Ь = 63, D 2 ,) j, Л/,у - базисные тензоры, к - главные значения тензора абсолютной проницаемости вдоль соответствующих координатных осей. Представление тензора второго ранга принято иным, чем в [4], для упрощения выкладок и представления результата. [c.139]

Если вектор Б коллинеарен вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет свое значение, не меняя направления, то направление вектора а называется главным направлением тензора второго ранга. В этом случае Ъ=Ка, где скаляр X носит название главного значения тензора, причем bj=Xaj. Найдем главные значения тензора второго ранга и его главные направления, или главные оси. Полагая Ь=Ха, что равносильно bj = Xaj = —XSijai, и подставляя значение bj в (1.60), получим систему трех уравнений относительно aj [c.14]

При й2 - Оз пол) чится эллипсоид вращения, а тфи ai = Лг = Лз - сфера. Последнее обстоятельство послужило поводом назвать величину Sa (П1.54) тензора Та его сферической частью. Легко показать, что всякое натфавлоше координатных осей, в которых рассматривается юотроп-ный тензор, в том числе сферическая часть тензора второго ранга, является главным. Поэтому главные направления тензора Та и его девиа-тора Da (П1.56) всегда совпадают. [c.251]

Главные деформации, главные оси деформации. Конечно, на тензоры и S", как на симметричные тензоры второго ранга, распространяется все сказанное в пп. 2.1 и 2.2 гл. I. Главные деформации, обозначаемые Е, определяеются из характеристического уравнения тензора [c.77]

Вследствие того что Оц является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совжстности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. [c.163]

Пусть некоторое твердое тело движется, не врап аясь, с постоянной поступательной скоростью. Тогда вьиражение кинетической энергии (158) будет содержать только девять величин Я,,-, из которых, по предыдущему, только шесть различнь[ между собой. В этом случае совокупность величин Хц (/= 1,2,3 /=- 1,2,3) образует симметричный тензор второго ранга, который можно было бы назвать тензором присоединенных масс. Главные оси этого тензора могут быть определены из уело- [c.408]

Напряжение н деформация в упругом твердом теле характеризуются тензорами второго ранга, тензором напряжения Р,., и тензором деформации /л , компопепты которых связаны друг с другом линейными соотношениями. Эти два тензора всегда симметричны, но главные оси соответствующих эл.чипсоидов в общем случае не совпадают с главными осями эллипсоида, соответствующего тензору диэлектрической проницаемости, который, как мы видели в 14.1, определяет оптические свойства тела. [c.648]

Система координат х , х , в точке О будет при этом ортогональной. Следовательно, в каждой точке пространства можно ввести оси координат так, что только три компоненты Т х, Тц, Гзз симметричного тензора второго ранга будут отличными от нуля. Такие оси называются главными осями тензора, а прям.оугольна декартова система координат, оси которой направлены по главным осям, называется главной системой координат тензора. Очевидно, разница между ковариантными и контравариантными компонентами в главной системе координат пропадает [c.63]

В этом разделе книги рассматриваются трехмерные уравнения равновесия уиругонластической среды с рассеянными повреждениями при условии пластичности Треска и ассоциированным с ним законом течения. Напряженное состояние может соответствовать как грани, так и ребру поверхности текучести. Распределение повреждений в среде представляется с помощью тензора поврежденностп второго ранга (см. раздел ), главные осп которого предполагаются коорпентпрованными главным осям напряжений. [c.440]

Мы, но-нрежнему, будем рассматривать уиругонластическое тело, подчиняющееся критерию текучести Треска, но предметом исследования будет являться учет анизотропного распределения новрежденности в основных уравнениях. Ограничимся простейшим вариантом новрежденность представляется симметричным тензором поврежденностп второго ранга О, определенного выше, в разделе, главные осп которого считаются коориентированными главным осям тензора напряжений. [c.465]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...