Уравнения безмоментной теории статические

Статические уравнения безмоментной теории [c.104]

Эти уравнения мы будем называть статическими уравнениями безмоментной теории, или короче, безмоментными статическими уравнениями. [c.104]

СТАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ [c.105]

При интегрировании дифференциальных уравнений теории оболочек в каждой точке края надо выполнять четыре граничных условия ( 5.33). Для этого недостаточно произволов, содержащихся в решениях дис ерен-циальных уравнений безмоментной теории. Они представляют собой суперпозицию двух систем (статических и геометрических безмоментных уравнений), каждая из которых эквивалентна уравнению второго порядка ( 7.4, 7.5). Поэтому, вообще говоря, при интегрировании безмоментных уравнений в каждой точке края удается выполнить лишь два граничных условия. Естественно искать выход из этого затруднения, используя произвольные функции afi (а ), (а ) или г 3д (а ), Ф4 ( 2). входящие в формулы (8.12.4), [c.124]

Внесем (13.6.5) в статические уравнения безмоментной теории (13.5.8) и возьмем в первом из них верхний знак. Тогда после очевидных преобразований эти уравнения примут вид [c.189]

Таким образом, показано, что статические и геометрические уравнения безмоментной теории оболочек, имеющих форму поверхностей второго порядка, приводятся к виду (13.6.6) и (13.6.9) соответственно. Они аналогичны преобразованным уравнениям (13.2.7) и (13.2.9) безмоментной теории сферической оболочки, и, следовательно, показана возможность применить методы теории функций комплексного переменного и к расчету безмоментной оболочки, очерченной по любой поверхности второго порядка положительной кривизны [29, 43]. Не останавливаясь на подробностях, сформулируем связанные с этим обобщения результатов 13.4. [c.191]

Уравнения безмоментной теории для оболочек, срединная поверхность которых задается формулами (13.7.1), можно преобразовать по такой же схеме, как и в предыдущем параграфе (теперь в уравнениях 13.5) надо брать нижние знаки). А именно, статические уравнения (13.5.8) в силу [c.192]

Систему (13.8.3) можно отождествить со статическими уравнениями безмоментной теории (13.5.8), взяв в последних верхние знаки и положив [c.194]

В 7.5 было показано, что между статическими и геометрическими уравнениями безмоментной теории в общем случае существует тесная связь, вытекающая из статико-геометрической аналогии. В предыдущей главе мы уже встречались с ее проявлениями, которые выражались в следующем [c.199]

Статические уравнения безмоментной теории записываются в виде векторного равенства (13.5.3). Помножим обе его части на da- da и проинтегрируем по области G, занятой оболочкой. Получим, считая, что sin х = Ь т. е. что система координат ортогональна, [c.204]

Этап 1. Решение статической безмоментной задачи, т. е. определение тангенциальных усилий Т , S, при помощи интегрирования статических уравнений безмоментной теории ( 7.4) с учетом тангенциального статического граничного условия. [c.258]

Назовем задачей Р интегрирование статических уравнений безмоментной теории с учетом граничных условий Рщ = О на gi и Р[2] = О на g , а задачей р — интегрирование геометрических уравнений безмоментной теории с учетом граничных условий p(ii =0 на g-j и р[2] = О на По смыслу они совпадают с задачами Р и р, введенными в 20.12, только здесь их надо решать в двухсвязной области. [c.306]

Определение внутренних усилий по безмоментной теории является статически определимой задачей —искомые усилия N , и 5 можно найти, не пользуясь первыми тремя геометрическими (6.38) и физическими (6.40) уравнениями. Последние уравнения будут нужны для определения деформаций и перемещений или для расчета внешне статически неопределимых оболочек. [c.168]

Решение системы уравнений (ЮЛ) и (10.2) относится к статической задаче безмоментной теории оболочек вращения при осесимметричной нагрузке. Чтобы найти деформации и перемещения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометрические и физические уравнения. Здесь ограничиваемся исследованием только статической стороны задачи. [c.207]

Если поставлено геометрическое граничное условие, выражающее отсутствие перемещений в некотором направлении р в каждой точке края, то будем говорить, что оболочка имеет закрепление в направлении р. Кроме того, будем говорить, что решение статической безмоментной теории порождается поверхностными и краевыми силами, первые из которых определяются свободными членами уравнений равновесия, а вторые — свободными членами граничного условия. Тогда теореме 1 можно дать простое физическое толкование. Если в геометрической безмоментной задаче закрепление в направлении п не препятствует изгибанию (v) срединной поверхности, то статическая безмоментная задача, в которой на краю задается тангенциальное усилие в направлении I, ортогональном п, может иметь решение только тогда, когда равна нулю работа сил, порождающих это решение, на перемещениях изгибания (v). [c.111]

В рассматриваемых случаях полная краевая задача безмоментной теории сводится к последовательному решению статической и геометрической задач безмоментной теории ( 7.7). Статическая задача, рассмотрением которой мы пока и ограничимся, заключается в определении тангенциальных усилий ТI, S, из безмоментных уравнений равновесия с учетом статического граничного условия. Оно для случаев (17.30.1) и (17.30.2) записывается соответственно так [c.245]

Примем снова, что имеется купол, на кр-аю которого ставятся одно статическое и одно геометрическое тангенциальные граничные условия, и рассмотрим для него полную краевую задачу безмоментной теории. Она заключается в решении головной системы безмоментных уравнений ( 7.8) с учетом обоих тангенциальных граничных условий, и в данном случае его удобно разбить на три этапа. [c.258]

Для оболочек положительной кривизны в этом направлении весьма общие результаты получены в работах [16—19]. Там в принятых в настоящей работе терминах считалось, что заданы внешние поверхностные и краевые силы, действующие на оболочку, и ставился вопрос, существует ли решение безмоментных статических уравнений, отвечающее этому случаю При этом предполагалось, что внешние поверхностные силы направлены произвольно, но краевые силы имеют только тангенциальные составляющие. Это соответствует случаю, когда в статической краевой задаче безмоментной теории должны выполняться два тангенциальных статических граничных условия, выражающие тот факт, что краевые силы имеют заданные тангенциальные компоненты. Показано, что для этой задачи справедлива следующая [c.262]

Случай II. Равенство (18.37.8) при выбранном k выполняется. Тогда получатся алгебраические системы уравнений с одинаковым нулевым определителем. Для разрешимости систем, отвечающих статической задаче, надо на внешнюю нагрузку наложить два условия, вытекающие из вышеприведенных рассуждений. При выполнении их статическая задача будет иметь решение, зависящее от двух констант (i = 1, 2). Последние попадут в конечном итоге в правые части систем, отвечающих геометрической задаче. Определители этих систем равны нулю, но можно подобрать так, чтобы системы были разрешимы. Это значит, что решение полной краевой задачи безмоментной теории существует и в случае II, но оно будет определяться с точностью до бесчисленного множества тех изгибаний, которые имеет срединная поверхность при выполнении (18.37.8). [c.266]

В безмоментной теории оболочек при статически определимом варианте краевых условий распределение усилий Л ц, Т может быть найдено из одних лишь уравнений равновесия, поэтому оно остается в силе также для ползущей оболочки. Очевидно, что в стадии неустановившейся ползучести перераспределение напряжений при этом не будет иметь места (если нагрузки постоянны). При известных усилиях скорости деформации срединной поверхности ёц, е , у сразу же определяются при помощи первых трех соотношений (47), в которых следует положить Ма = М = Я = 0. Вычисление перемещений по найденным деформациям осуществляют путем интегрирования зависимостей (14) гл. 20 т. 1. Случай статически определимой осесимметричной оболочки рассмотрен в работе [5]. [c.118]

Уравнениями равновесия в безмоментной теории оболочек являются три уравнения (155), содержаш,ие три неизвестные функции Ni, и S. В малом проблема безмоментной теории оболочек статически определима (имеется в виду любой элемент оболочки, кроме примыкающих к контуру). Тем не менее при строгом решении проблемы в усилиях к уравнениям равновесия следовало бы присоединить и уравнения совместности деформаций. Однако, как правило, их не учитывают, и тем не менее возникающее вследствие этого нарушение совместности деформаций не приводит к ощутимым изменениям поля усилий. [c.147]

Если рассматривать случай, в котором относительно опорных реакций безмоментная оболочка статически определима, то усилия Ni, N2 и 5 могут быть найдены из системы уравнений равновесия (155). После этого, используя (139), можно найти 82 и со. Три остальные уравнения (139) в условиях безмоментной теории оболочек обращаются в тождества 0 = 0. [c.147]

В третьей главе мы особо рассмотрим класс статически определимых задач. Здесь вовсе не используются соотношения между полями напряжений и деформаций тела. Задача равновесия оболочки решается лишь с помощью системы уравнений относительно компонент напряжений и, следовательно, определяется только состояние напряженности оболочки. При рассмотрении статически определимых задач необходимо принять некоторые допущения относительно распределения напряжении в оболочке. Эти допущения, очевидно, не могут быть совершенно искусственными, они должны выражать те или иные механическ ие свойства рассматриваемого класса оболочек, хотя бы интуитивно ощущаемые. Классическим примером класса статически определимых задач является мембранная (безмоментная) теория оболочек. В мембраной теории принимается следующее допущение [c.10]

Выражения для обобщенных параметров НДС оболочки выводятся из геометрических и физических уравнений теории пологих оболочек с помощью процедуры метода Канторовича-Власова, когда соответствующее уравнение моментного состояния умножается на Xi x) и безмоментного состояния - на Х2 х) И интегрируется в пределах оболочки. В этом случае через функции R y) и Г у) можно выразить статические и кинематические параметры оболочки. Для этого необходимо построить 7 производных фундаментальных функций (см. таблицу 7.17) и использовать соотношения (7.154)-(7.156). Получается 8 уравнений. Система 8 уравнений при у=0 в силу свойств фундаментальных функций ФДо), ЖДо) распадается на две системы 4-го порядка [c.495]

Коэффициенты дифференциальных уравнений теории оболочек вращения не зависят от q>. Это позволяет в общем случае, т. е. при любом очертании меридиана, искать решение при помощи тригонометрических рядов. Применим этот метод к интегрированию статических безмоментных уравнений. [c.202]

Характерной чертой безмоментной (или мембранной) теории оболочек является то, что она приводит к статически определимой задаче. Эта задача в конечном итоге сводится к системе уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными. Тип этой системы уравнений определяется знаком гауссовой кривизны К срединной поверхности оболочки. Если А > О, то имеем систему уравнений эллиптического типа, а если << О или К = О, то соответственно Систему гиперболического или параболического типа. [c.282]

Итак, определение критических нагрузок статическим методом состоит из двух этапов решения задачи нелинейной статики (1.2) (находим состояние перед варьированием) и выявление по нетривиальной разрешимости однородной задачи (1.4). Для реализации такого подхода необходима полная нелинейная статическая теория и соответствующие ей уравнения в вариациях. Выше необходимый аппарат представлен для двух моделей упругих тел трехмерной безмоментной (гл. 3) и одномерной стержневой (гл. 8). Наиболее важны задачи устойчивости стержней — и они наименее трудоемки. [c.255]

Итак, учитывая одинаковость числа уравнений равновесия (155) и числа неизвестных функций, можно говорить о статической определимости в малом усилий в безмоментных оболочках. Однако безмоментная оболочка в целом, т. е. относительно реакций опорных закреплений, может оказаться и статически неопределимой. Картина эта полностью аналогична наблюдаемой в теории стержней. Действительно, в малом усилия в стержне всегда статически определимы они могут быть найдены из дифференциальных зависимостей (уравнений равновесия), связывающих их с нагрузкой и между собой. Однако в целом стержень может быть закреплен так, что усилия в нем оказываются статически неопределимыми. [c.133]

При рассмотрении подобного рода задач на применение теории краевого эффекта вначале необходимо решить соответствующую статически определимую безмоментную задачу оболочек, определив линейные и угловые перемещения в месте их стыка. Затем в этом же стыке приложить неизвестные внутренние упругие усилия Но и Мо и найти от них линейные и угловые перемещения. После этого можно составить условия неразрывности линейных и угловых перемещений и из этих уравнений определить Ид И Мо. [c.134]

Уравнения (10. ) представляют собой папную систему основных уравнений безмоментной теории оболочек, выведенную в линиях главных кривизн срединной поверхности оболочки. Число неизвестных функций Л1, N2 и 5 соответствует числу уравнений, т. е. при расчете по безмоментной теории оболочка в бесконечно малом представляет собой статически определимую систему [c.176]

Замечание. Здесь, как и в других примерах, принимается, что существует основное напряженное состояние, удовлетворяющее тангенциальным граничным условиям. Вместе с тем в части III будет показано, что нельзя, вообще говоря, требовать, чтобы во всех краевых точках оболочки решения уравнений безмоментной теории удовлетворяли двум тангенциальным статическим граннчиым условиям. Поэтому рассмотренный пример имеет смысл только тогда, когда, помимо а, = сс, , оболочка имеет по меньшей мере еще однн, достаточно жестко закрепленный край. [c.133]

Если оболочка отнесена к криБОЛинейным координатам, удовлетворяющим сильному нераБенстБу (10.21.1), и если = О, то первое из этих ураБнений будет приближенно эквивалентно статическим уравнениям безмоментной теории ( 7.4), а второе — геометрическим уравнениям без-моментной теории ( 7.5). [c.144]

Решение системы уравнений (10.1) относится к статической задаче безмоментной теории оболочек. Чтобы найти деформации и перемещении Б оболочке, к этим уравнения , следует добавить геометрические и физические уравнения Здесь ограничиваемся исследованием только статической сторокы задачи и рассмотрим основные уравнения дл двух частных случаев [c.176]

Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила Pi имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геомй риче-ской безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Tj, S, Т , интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить (алгебраически) ш, Ej через Т , S, Т , при помощи уравнейий состояний. и, наконец, найти перемещения и , Uj, w, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи. [c.112]

Отметим прежде всего работы Б. Г, Галеркина (1932, 1935) по применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии Б. Г. Галеркина (1934) и Ю, А. Шиманского (1934), посвященные расчету пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые был применен И. Я, Штаерманом (1924) он же указал на аналогию между статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского (1932), с именем которого связано одно из условий применимости безмоментной теории тангенциальные краевые условия не должны допускать изгибания срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933), [c.228]

Несущей способностью оболочки называется то предельное значение внешних сил, при котором внутренние силы Т и моменты М удовлетворяют конечному соотношению (4.70 ), уравнениям равновесия, условиям совместности деформаций и граничным условиям. В некоторых частных случаях благодаря конечному соотношению задача о равновесии становится статически определимой и не требует условий совместности деформаций. Тогда вопрос о несущей способности оболочки решается сравнительно просто. Он ещё более упрощается, если силы и моменты могут быть выражены через внешние силы только с помощью уравнений равновесия, что имеет место, например, в безмоментной теории оболочек в таком слу,чае конечное соотноще ние (4.70 ) определяет несущую способность. [c.181]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Наибольшее распространение в теории оболочек получил метод расчленения решения задачи на основное и простой краевой эффект [38, 139]. В качестве основного, медленно меняющегося состояния обычно используют решение уравнений без-моментной теории оболочек. О недостатках безмоментного решения в задачах многослойных эластомерных конструкций сказано выше. Сделаем некоторые замечания по поводу краевого эффекта в армирующем слое. На краях слоя обычно задаются статические условия, причем для Перерезывающего усилия и изгибающего момента эти условия являются однородными Qln = Л/г = 0. Если основное решение является без-моментным, то функции 1,, и М определяются только краевым эффектом. А тогда из условий свободного края следует, что простой краевой эффект не реализуется. В теории оболочек понятие безмоментного решения включает решение уравнений равновесия (5.5) и уравнений чистого изгиба 1 = ег = о = 0. В случае симметричной и кососимметричной деформации оболочки вращения чисто изгибиая деформация отсутствует, она сводится к смещениям как жесткого целого. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...