Матрица решений балки

Из трех вариантов основной системы для неразрезной балки (рис. 16.18) лучшей является основная система, изображенная на рис. 16.18, а, поскольку ей соответствует обращение в нуль ряда коэффициентов в системе канонических уравнений и, следовательно, уменьшение трудоемкости по составлению этой системы. Система канонических уравнений приобретает частный вид, называемый системой трехчленных уравнений — в каждое из уравнений входит не более трех неизвестных. Такую систему не только легче составить, чем систему с полной матрицей, но и легче решить. Система обеспечивает и меньшую потерю точности при решении, нежели в случае иных рассмотренных на рис. 16.18 основных систем. [c.563]

Задачу о колебаниях составных стержней и рам при действии гармонического возбуждения можно свести к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей. Элементами матрицы являются суммы гиперболических и гармонических функций, зависящих от размеров стержней и частоты. С увеличением длины участка стержня и частоты аргументы функций растут, что при расчете на ЭЦВМ с ограниченным количеством значащих цифр приводит вначале к замене гиперболических функций экспонентами, а при дальнейшем росте аргумента — к потере гармонических функций. При этом матрица системы вырождается и получить удовлетворительное решение не представляется возможным. Например, на ЭЦВМ типа Минск вычисления производятся с семи значащими цифрами, поэтому при расчете колебаний опертой балки, начиная с третьей формы, гиперболические функции заменяются экспонентами, а расчет форм колебаний выше пятой практически осуществить не удается, так как теряются гармонические функции. [c.107]

Рассмотрим два примера. Первый - консольной балка, которая характеризуется отношением длины к высоте - L/h. Выполним конечно-элементную модель балки в виде стенки из мембранных элементов. При L/h > 120 ее матрица жесткости становится плохо обусловленной, что приводит к прерыванию расчета. Это не означает, что матрица жесткости системы становится вырожденной, однако возможное решение может быть некачественным, как показывает второй пример. [c.517]

Значения коэффициентов ai, й2 зависят от числа трещин в одной точке, угла наклона трещин, значения напряжений на главных площадках. Если для решения нелинейных уравнений применяется метод последовательных нагружений (для построения матрицы жесткости), то до появления трещин используется выражение (3.41), а после появления трещин выражение (3.43). Как уже указывалось, для решения нелинейной задачи правомерно использование координатных функций, доставляющих сходимость линейной задаче, т. е. для прямоугольного элемента балки-стенки могут быть использованы координатные функции (1.20), а для треугольного— (2.6). Практика расчетов показывает, что достаточно хорошие результаты получаются при интегральной оценке напряженного состояния г конечного элемента, т. е. когда физические зависимости, определенные в центральной точке, распространяются на всю область Qr- От этой предпосылки безусловно можно отказаться, применяя для выражения Kii численное интегрирование, так как на основе введенных координатных функций всегда имеется возможность определить [c.90]

Станины, поперечины, стойки или консоли представляют собой по отдельности и в совокупности со всей несущей системой станка балки и многогранные пластины, которые связаны друг с другом определенными условиями, Задача расчета подобного рода сложной структуры, которую представляет собой станина станка, должна основываться на расчете основных элементов балок и пластин. Напряжения и деформации этих элементов структуры при известных краевых условиях определяются зависимостями теории упругости. Если удается описать отдельные элементы матрицами, то оказывается возможным применить матричное исчисление к анализу структуры заданной системы. Эти методы расчета статистических и динамических параметров структур стали возможны лишь благодаря созданию быстродействующих ЭВМ. Так как в станкостроении в основном встречаются элементы в виде балок, то рассчитываемый станок можно упрощенно рассматривать как систему, состоящую исключительно из балок. Этот метод является относительно простым, однако позволяет получать достаточно точные решения. [c.58]

Матрица А этого уравнения обладает многими замечательными свойствами. Она является весьма разреженной матрицей общего вида, ее система фундаментальных ортонормированных функций обеспечивает хорошую устойчивость численного процесса решения краевой задачи, в определителе отсутствуют точки разрыва 2-го рода, формируется без привлечения матричных операций. Эти преимущества позволяют эффективно определять спектр собственных значений - корни уравнения (6.61). Точность спектра зависит, естественно, от точности исходной модели, где, напомним, используется только один член ряда (6.2). Уравнение (6.61) позволяет определять критические силы как статическим (при со = 0), так и динамическим методами. При определении собственных значений пластин нужно учитывать, что из уравнения (6.61) можно получить спектры частот и критических сил при фиксированном числе полуволн в направлении оси ох (например, для коэффициентов А, В, С таблицы 17 одна полуволна в направлении оси ох и множество полуволн в направлении оси оу). Вычисляя коэффициенты А, В, С при второй частоте колебаний балки, из уравнения (6.61) можно получить спектры пластины для двух полуволн в поперечном и множества полуволн в продольном направлениях и т.д. Точность решения задач устойчивости и динамики прямоугольных пластин по МГЭ определим из примеров. [c.220]

Разлагая соответствующие произведения матриц, проверьте, что конденсацию системы уравнений жесткости можно осуществить, полагая равными нулю силы, отвечающие исключенным степеням свободы, и строя матрицу преобразования, отвечающую этому базису (т е. проверьте подстрочное прим. в разд. 2.7). 7.2. Вычислите смещение свободного края нагруженной на конце консольной балки (см. рис. Р7 2). С этой целью постройте матрицу жесткости для конусообразного элемента, выбирая коническую конфигурацию для элемента и функцию формы, отвечающую конструктивному элементу постоянного поперечного сечения. Проведите расчеты для одно- и двухэлементного представлений и проверьте для решений свойство нижней границы [/=/1(1—] [c.225]

Как показано на рис. 9.11 из п. 9.2.4, основанные на линейных полях перемещений матрицы жесткости треугольного элемента не обеспечивают достаточной точности при анализе изгиба балки. Поэтому можно ожидать, что матрицы жесткости прямоугольного элемента также не обеспечивают удовлетворительной точности при решении этой задачи. В п. 9.3.4 этот факт будет выявлен в результате численного эксперимента. Причину появления невязок можно выяснить, изучая простой прямоугольный элемент в состоянии чистого изгиба (рис. 9.16 (а)). В этом случае точные распределения смещений (рис. 9.16 (Ь)) даются формулами [c.295]

В качестве примера применения инкрементальной матрицы жесткости при решении задач о потере устойчивости балок найдем критическую силу для изображенной на рис. 13.4 простой балки, используя один элемент. Здесь >1=02=0, Рх=— = //2. По- [c.402]

Рассчитайте свободно опертую балку-колонну, используя приведенную в этой главе матрицу [к ], в случае действия центральной сосредоточенной силы Р и осевых нагрузок интенсивностью Р0.75 и 0.9 [РL )]. Сравните полученный результат с точным решением. [c.420]

На фиг. 9.1 представлены результаты расчета консольной балки с помощью различных элементов. Сравнение результатов, показывает, что при одном и том же числе степеней свободы использование сложных элементов значительно повышает точность. Однако их применение не обязательно сопровождается пропорциональным уменьшением времени решения, так как ширина ленты матрицы для сложных элементов увеличивается, тем не менее, вообще говоря, оно существенно сокращается. [c.169]

Путем решения системы уравнений (7.59) можно найти вектор т , а затем, пользуясь формулами (7.57), все остальные неизвестные векторы, включающие в себя узловые перемещения и усилия. Такой метод расчета носит название метода начальных параметров, так как в результате задача сводится к нахождению параметров — узловых перемещений и усилий , составляющих вектор ш в начальном узловом сечении для узла 1 и элемента е. Процедура этого метода расчета простая и состоит в построении матриц М" и перемножении матриц относительно невысоких порядков. При таком расчете не требуется непосредственно формировать всю матрицу разрешающих уравнений. Однако в ряде случаев метод начальных параметров оказывается неустойчивым в вычислительном отношении. Это имеет место, когда значительные изменения начальных параметров в узле 1 мало изменяют условия на другом конце стержневой системы в узле т. Другими словами, метод начальных параметров неустойчив, когда рассчитываемая система является плохим проводником для начальных параметров. Большое распространение метод начальных параметров получил при расчете балок на упругом основании [21]. Для податливых балок на относительно жестком основании, когда изменение начальных параметров почти полностью воспринимается основанием и не передается на другой конец балки, метод начальных параметров становится неприменимым. [c.185]

Мы получили систему уравнений трехдиагональной структуры. Термин не требует разъяснений и говорит сам за себя. Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффициентов при раскрытии статической неопределимости получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся элементы. Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорной балки. В более сложных задачах системы уравнений могут получиться не только трех-, но и пяти-, семи- или девятидиагональными. Эти системы обладают относительной простотой и особенно удобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета. Именно поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрами) на множество однотипных элементов, наделенных определенными свойствами. Условия совместной деформации элементов пишутся с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствами. Это позволяет получить на машине решение даже при числе неизвестных, измеряемом тысячами. [c.241]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

А А . .. Ап Uo, Ui Fo, 0 = Ui, U l, 0, 0 , причем A- = = A ( -f- -Й). Здесь в фигурных скобках вектор-столбец U dUldx, Q, М , Aj— обычная переходная матрица (см., например, [3]) участка балки между сечениями xj, Е — единичная матрица четвертого порядка, В — матрица, у которой единственный отличный от нуля элемент r i = к. Численное решение такой задачи не представляет трудности, когда число участков не слишком большое. Таким образом, можно сконструировать модель агрегата, где общ,ая рама представлена в виде комбинации небольшого числа простейших элементов тина балок, пластин, оболочек простейшего вида. К такой модели рамы прикрепляются элементы указанного выше типа. Комплексная функция действительного аргумента к (со) выбирается по данным экспериментального определения жесткостей подсистем в точках соединения их с рамой. Для определения с (р) по известному к (со) необходимо было бы решить интегральное уравнение. Здесь рассматривается простейший случай, когда с (р) задано и решение может быть получено в замкнутой форме или в виде зависимостей между основными безразмерными параметрами задачи. [c.70]

Первый недостаток метода Ритца заключается в том, что функции /г должны быть определены па всей рассматриваемой области. В частности, при расчете консольной балки (см. рис. 4) функции Ритца задавались на интервале от л = 0 до x = L. Другими словами, при традиционной форме метода Ритца матрица К является полной, и для решения системы линейных алгебраических уравнений требуется большое число операций. [c.35]

Между компонентами матриц б, у. Я, ц, Я, Д, введенными выше, существуют простые зависимости, которые могут быть использованы при решении ряда задач об определении напряженного состояния тела [35, 36]. Эти зависимости базируются на известной теореме о взаимности работ, которая может быть сформулирована так для двух напряженных состояний некоторого тела работы, совершаемые внешними силами одного состояния на соответствующих этим силам перемещениях второго состояния, равны друг другу. Проиллюстрируем эту теорему на простом примере. На рис. 1.2 показаны упругие оси деформированной балки под действием силы Р (1-е состояние) и пары М° (2-е состояние). Теорема о взаимности работ утверл<дает, что [c.10]

Практически в наиболее общей форме задача разыскания величин по заданным размерам балки и при любом грузовом воздействии формулируется так зная коэф-ты основной матрипы отыскать все коэф-ты сопряженной матрицы Jik Выполняется эта задача в два приема. В первой части решения проводится т. н. прямой ход по способу сокращенного алгорифма Гаусса (табл. 3). [c.115]

В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.2181 (1970) исследовали свободные колебания консольных балок Тимошенко переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача сведена к нахождению собственных значений симметричной матрицы порядка п, где м —число разбиений балки. Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных значений. В качестве примера рассчитаны собственные частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведены результаты сравнения с известными точными решениями, получено достаточно хорошее совпадение. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...