Тензоры. Декартовы тензоры. Ранг тензора

Тензоры. Декартовы тензоры. Ранг тензора [c.9]

Что назьшается декартовым тензором ранга (валентности) и в iV-мер-иом пространстве как связаны с определением тензора скалярные и векторные величины [c.259]

Равенство (1.40) дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга (векторов) [c.12]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига. Как и любой симметричный тензор второго ранга, тензор бесконечно малых деформаций Tt. можно разложить на шаровой тензор Ре и девиатор D = Ре. Л- De, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.91]

Шаровой тензор и девиатор скоростей деформаций. Как н любой симметричный тензор второго ранга, тензор скоростей деформации можно представить в виде суммы шарового тензора U девиатора скоростей деформаций Dj, т. е. = Pi -f-jDg, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.104]

Элементу тензорного исчисления. Тензором 2-го ранга будем называть объект, который в трехмерном декартовом пространстве определяется таблицей из девяти величин Uij (t, 7 = 1, 2, 3), если из одной декартовой системы эти величины изменяются по [c.8]

В каждой точке пространства можно ввести оси ортогональных координат так, что только три расположенные на главной диагонали компоненты симметричного тензора 2-го ранга будут отличными от нуля. Такие оси называются главными осями тензора, а прямоугольная декартова система координат, оси которой направлены по главным осям тензора, называется главной системой координат тензора. Три компоненты тензора в главной системе координат называются его главными компонентами ai (i = l, 2, 3). Известно, что ai, аг, могут быть вычислены как корни характеристического уравнения [c.9]

Каждый тензор ранга п в декартовой системе координат может быть записан как прямая сумма неприводимых тензоров Неприводимый [c.15]

В соответствии с [65, 105] обозначим через Ti Тц следующие комбинации компонент (в декартовой системе координат) некоторого тензора Т второго ранга [c.68]

В последующих рассуждениях будут необходимы производные по времени интегралов, определенных в трехмерных материальных областях V. Прежде всего заметим, что интегрирование составляющих тензоров, рангом выше нуля, имеет смысл только в случае, когда система декартова (постоянные векторы базы можно вынести за знак интеграла). Вычисляя производную по времени, получаем последовательно [c.24]

Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает [c.530]

Это равенство дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга. Как видно, он является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга, которые были представлены формулами (1.80) и (1.77). Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (1.93) [c.27]

Естественным обобщением формулы (1.101) будет правило преобразования любого декартова тензора второго ранга [c.29]

Законы преобразования декартовых тензоров первого и второго рангов обобщаются для декартовых тензоров ранга N [c.29]

Заслуживает внимания то обстоятельство, что подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга только в случае таких преобразований, у которых det aij = 1 (например, при повороте осей). Если же преобразование таково, что det ai, = —1 (например, преобразование отражения относительно одной 3 координатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то формулу преобразования е.у следует писать со знаком минус. Такие тензоры называются псевдотензорами. [c.31]

Пусть Aij — декартов тензор второго ранга. Показать, что его производная по т. е. Aij,k, является декартовым тензором третьего ранга. [c.59]

Подобным же образом по правилу преобразования (1.102) для декартовых тензоров второго ранга компоненты тензора напряжений в двух системах связаны соотношением ) [c.76]

Все тензоры деформаций Ьц, Ец, 1ц и гц, определенные соответственно формулами (3.37), (3.39), (3.42) я (3.43), являются декартовыми тензорами второго ранга. В соответствии с этим для со- [c.127]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

Величины зависящие от декартовых координат Хь преобразуются при переходе к другой декартовой системе координат по правилу преобразования тензоров второго ранга. Поэтому величины образуют тензор деформаций, причем этот тензор симметричен [c.18]

Соответственно дифференцирование вектора (тензора первого ранга) приводит к тензору второго ранга dAi/dxj = Ai, f и т. д. (для тензоров более высокого ранга). Это, однако, справедливо только для декартовых координат. [c.311]

Формула (IV) выражает компоненты проективного перенесения в проективных координатах. Чтобы получить соответствующие формулы в произвольных координатах, нужно только учесть, что разности Г —(где Екь обозначают компоненты евклидова перенесения в тех же координатах) образуют смешанный тензор 3-го ранга. Если мы обозначим через ж проективные координаты проективного пространства и будем рассматривать их как обычные декартовы координаты евклидова пространства и если Ги и Еы являются компонентами перенесения этих пространств в координатной системе x , а и Еы — в системе то, с одной стороны, [c.34]

Тензоры ранга выше двух встречаются в этой книге редко. Читатель, незнакомый с техникой манипулирования ими, может следить за всеми рассмотрениями, относя их к компонентам в прямоугольной декартовой системе координат. [c.518]

Момент инерции тела относительно некоторой оси I определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны. При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел — характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и v общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие косинусы, остается одним и тем же и задается формулой (25). Можно показать, что при повороте системы декартовых координат х, у, Z относительно рассматриваемой точки О моменты инерции J , JУ к Jz центробежные моменты инерции изменяются в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга ). Поэтому матрица [c.177]

Тензоры второго и высших рангов в косоугольной системе декартовых координат [c.55]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Тензором ранга р называется инвариантный объект, который в системе декартовых осей трехмерного пространства характеризуется 3" числами. .. t , занумерованньши в определенном порядке р индексами, причем при повороте осей эти числа, называемые компонентами тензора, преобразуются по закону [c.393]

Дивергенция теизюра второго ранга. В декартовых координатах дивергенция тензора atj) определена [см. (1 .104) ] как вектор с компонентами Oi j. Следовательно, в криволинейных координатах дивергенцию тензора получим, заменив обыкновенную производную кова-риантной, т. е. будем иметь вектор с компонентами [c.419]

Декартовы тензоры одинакового ранга можно складывать (или вычитать7 покомпонентно согласно следующему правилу [c.29]

Так как направляющие косинусы — величины постоянные, компоненты вектора перемещения, как видно нз (3.9), подчиняются правилу преобразования декартовых тензоров первого ранга, что и сле-дoвaJЮ ожидать. [c.114]

В случае изотропии тензор модулей упругости является изотропным тензором, т. е. он обладает в каждой декартовой системе координат одинаковыми компонентами. Изотропным тензором второго ранга является тензор Кронекера б//, такой тензор третьего ранга есть тензор Леви-Чивиты zuk- Каждый скаляр также может считаться изотропным тензором нулевого ранга. Однако изотропного тензора первого ранга не существует. Тензоры 4-го ранга ЬцЬы и ЬшЬц б,гб/ являются изотропными, и обобщенный изотропный тензор четвертого ранга получается их линейной комбинацией. [c.59]

Теперь обобщение тензорного исчисления, развитого в 4.7—4.12 для декартовой системы координат, на общие криволинейные координаты риманова пространства очевидно. Тензором ранга п в 4-пространстве называется величина с 4" компонентами, преобразующаяся по каждому индексу как век- [c.217]

Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном в 4.9, образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и свертк . При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (п + пг). Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае, если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в приравнивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, уменьшает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нулевого ранга, т. е. инвариант [c.218]

Рассмотрим вырал<ение лапласиана для скалярного поля в криволинейных координатах. В векторном виде в декартовой системе координат Аф (Цу(дгас1 ф) =(3 ф/(Зх -[-(5 ф/(5у + 52ф/(921 Если ф(х л х ) — скалярное поле, то ф,гл — ковариантный тензор поля второго ранга. А величина будет скалярным полем. Отсюда [c.22]

Мы можем дать другое определение вектору (тензору первого ранга), эквивалентное прежнему. Если для каждой декартовой системы координат х.-имеем совокупность величин а< (i=l, 2, 3), преобразующихся по формуле (1.41) в величины а для новой системы координат x i, то совокупность этих трех величин определяет вектор или тензор первого ранга. [c.12]

Совершенно ясно, что метод, примененный нами для построения простейших тензоров второго ранга, позволяет построить тензоры высших рангов. Для этого следует ртсс.мотреть соответствующие произведения компонент трех, четырех н т. д. векторов. Приведем полное определение тензора -го ранга, заданного в ортогональной системе декартовых координат. [c.45]

Теперь мы можем обобщить понятие тензора, введенное нами первоначально в ортогональной системе декартовых координат. Рассмотрим сначала тензоры второго ранга. Применяя контрава-риантные и ковариантные компоненты векторов а и Ь, можем построить четыре мультипликативных тензора второго ранга. Эти тензоры имеют следующие компонешы [c.55]

Легко убедиться в том, что Шу , так же как н символы Кристоффеля, не преобразуются как компоненты тензора. Лишь при постоянных коэффициентах преобразования, т. е. в косоугольных системах декартовых координат, величиш, ш . . образуют антисимметричный тензор второго ранга. Его можно з этом случае отождествить с антисимметричным тензором угловой скорости, определенной Формулами (П.ЮбЬ). [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...