Тензор контравариантный

С. старших рангов строятся по аналогии с теорией тензоров. Контравариантным спинором ранга г наз, набор 2 " (комплексных) чисел преобразую- [c.644]

В прямоугольной декартовой системе координат компоненты метрического тензора (контравариантные g i и ко- [c.295]

Здесь введен энергетический тензор напряжений Q — тензор, контравариантные компоненты которого в базисе г., начального у-объема равны контравариантным компонентам тензора напряжений Т в базисе V-объема по (3.6.5) гл. I [c.633]

ЧТО доказывает требуемый результат относительно компонент метрического тензора. Контравариантные компоненты должны совпадать для обеих записей, так как в каждой из них связаны с ковариантными компонентами одной и той же зависимостью. [c.416]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Контравариантные компоненты единичного тензора, называемые контравариантной метрикой, даются выражениями [c.26]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Контравариантный, ковариантный, симметричный, сферический, единичный. .. тензор. [c.88]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

Пусть, например, известны контравариантные компоненты тензора Т . Ковариантные компоненты этого тензора можно вычислить но формулам [c.59]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Таким же образом рассмотрим ковариантную производную от контравариантного тензора второго ранга. Аналогично предыдущему найдем [c.387]

Рассмотрим общий случай квадратичной метрики ds = 2 ga dx dx , здесь dx — компоненты (контравариантного) вектора, ga — фундаментальный тензор. [c.348]

Рассмотрим контравариантный и ковариантный тензоры второго ранга Л ", Атп- Если при изменении порядка индексов у A" , Атп имеют место соотношения [c.9]

Это тензор пятого ранга (три раза контравариантный, два раза ковариантный). [c.10]

Далее, пусть нам даны два тензора А п и 5 Если произведение Ат В , представляющее собою тензор пятого ранга, свернем по индексам m и а, га и р, то будем иметь контравариантный вектор [c.11]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

Учитывая, что Af — произвольный контравариантный вектор параллельного векторного поля и что произведение такого вектора на выражение внутри скобок в правой части (1.74) является скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что [c.24]

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины (укт составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор о называется контравариантным тензором напряжений. [c.36]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Инвариантность тензора, как и вектора, обеспечивается взаимо-обратностью преобразований управляющих диад [формулы (1.61) J и компонент тензора. Контравариантные компоненты преоб- [c.36]

Компоненты тензора - контравариантны, 4 - ковари-антны, Т1 смешанные, соответственно. [c.41]

В качестве основных характеристик деформаций используются полу-разности компонент основного метрического тензора в деформированном и недеформированном состояниях (К. 3. Галимов, 1946, 1949, 1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Крылов, 1956 Д. И. Кутилин, 1947 В. В. Новожилов, 1948, 1958). Для описания больших деформаций используются и другие характеристики, среди которых укажем, например, следующие логарифмические (или истинные) деформации компоненты тензора, совпадающие в главных осях деформации с главными относительными удлинениями компоненты тензора, контравариантные составляющие которого являются полуразностями соответствующих компонент метрических тензоров в деформированном и недеформированном состояниях. При рассмотрении различных вопросов предпочтительны те или иные характеристики. Для правильной обработки результатов важно, чтобы принятым обобщенным характеристикам деформации отвечали соответствующие (в выражении для элементарной работы) обобщенные напряжения (В. В. Новожилов, 1951). В монографии Л. И. Седова (1962), подводящей итог более ранним работам (Л. И. Седов, 1960 В. Д. Бондарь, 1960, 1961 М. Э. Эглит, 1961), при рассмотрении деформации элемента тела [c.72]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

При помощи уравнения (2-7.12) физические компоненты векто ров и тензоров легко выразить через соответствующие ковариант-ные, контравариантные или смешанные компоненты. Помечая физические компоненты при помощи индекса, заключеннога [c.79]

Первый тензор имеет контравариантные компоненты, второй и третий — смешанные, четвертый — ковариантные ). Поэтому построенные здесь тензоры называются соответственно контравариантными, смешанными и ковариантными тензорами второго ранга. Закон преобразования компонент этих тензоров можно непосредственно найти на основании формул (1.50а), (1.50Ь), (1.51а) и (1.51Ь). Пользуясь этими формулами и распространяя закон преобразования компонент мультипликативных тензоров на все тензоры соответствующего ранга и строения, найдем, что контравариантные компоненты тензоров второго ранга преоб )азуются по формулам [c.55]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

Отсюда заключаем, что величины gi являются компонентами кон-травариантного тензора. Тензор называется контравариантным [c.14]

Умножим теперь контравариантный вектор Л на метрический тензор gkr и свернем тогда мы получим ковариантный вектор ghrA , который мы обозначим через Л . Следовательно, [c.15]

Указанным способом можно вычислить абсолютную и ковари-антную производные тензора любого типа и сколь угодно высокого ранга. Так, например, если тензор задан контравариантными компонентами Л ", то [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...