Индексы повторяющиеся

Индекс, повторяющийся дважды - немой индекс, по нему выполняется суммирование. Соглашение не писать знак суммы в выражениях с немыми индексами называется правилом суммирования Эйнштейна. [c.15]

Суммирование производится по верхним и нижним индексам, повторяющимся два раза. [c.30]

Знак суммы в такой записи обычно опускается. Просто подразумевается, что суммирование идет по индексу, повторяющемуся в сомножителях, в данном случае по /. [c.33]

Здесь МЫ также используем уравнение (2-7.3) в сочетании с условием суммирования по повторяющимся индексам. Это возможно, поскольку уравнение (2-7.3) можно применить к каждому члену суммы, как это легко проверить, записав сумму в развернутой форме. [c.78]

В уравнении (2-7.12) и во всех уравнениях данного подраздела суммирование по повторяющимся индексам не предполагается. [c.79]

Здесь, как и ранее, по верхним повторяющимся индексам к, относящимся к координатным осям, производится суммирование /> / sii 3 si и определяют соответственно интенсивность фазовых переходов, силу на частицу со стороны несущей жидкости, работу межфазных сил, межфазный теплообмен и поверхностную энергию, отнесенные к одной частице. Далее, величины л У(12)1 У(12)2 W(i2)i, /С(12) определяют импульс, внутреннюю энергию и пульсационную энергию массы i-й фазы, претерпевающей фазовый переход. Величина гр характеризует изменение числа дисперсных частиц за счет дробления, слипания и образования новых частиц с и gf — соответственно приведенные тен- [c.186]

Напомним, что в соответствии с принятым соглашением (см. приложение П) латинские индексы принимают значение от единицы до трех, греческие —от единицы до двух повторяющиеся индексы означают суммирование в соответствующих пределах. [c.77]

Пусть имеется пространство L размерности п. Нетрудно доказать, что любая совокупность л линейно независимых векторов в является базисом. Из линейной независимости e-i,. .., следует единственность представления (1.2) числа х -,. .., л " называются координатами вектора х в базисе ei,. .., Примем следующее соглашение о суммировании. Суммы a V+ +х у , х вх+. .. +x e,l сокращенно будем записывать в виде х у х е/,. .., полагая, что по повторяющемуся латинскому или греческому индексу производится суммирование в пределах от 1 до л если же суммирования нет, то соответствующие индексы будут полужирными, например л /. [c.308]

По всей книге принято обычное правило суммирования по векторным и тензорным индексам по всем дважды повторяющимся в данном выражении ( немым ) индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. [c.8]

В этом и следующем параграфах мы будем обозначать посредством греческих букв индексы, пробегающие всего два значения х и / по дважды повторяющимся индексам, как всегда, подразумевается суммирование.) Члены, квадратичные по производным от здесь опущены того же самого с производными от сделать, разумеется, нельзя, поскольку членов первого порядка по ним вообще не имеется. [c.76]

ИЛИ, подразумевая суммирование по повторяющимся индексам, [c.449]

В записи суммы слагаемых в формуле (П.1) использовано принятое в тензорном исчислении правило знак суммы можно не писать, если в формуле есть два одинаковых индекса. Такие индексы называются немыми. Немые (повторяющиеся) индексы можно заменять на любые другие индексы. Неповторяющиеся индексы называются свободными. [c.291]

Условимся для краткости записи здесь и в дальнейшем в (1.3) опускать знак суммы, считая, что суммирование должно быть произведено по повторяющемуся индексу от п=1 до п = 3. Мы также больше не будем указывать, что имеем три формулы k=, 2, 3). Соотношения (1.3) запишутся при этом в виде [c.7]

В формулах (1.10) должно быть произведено двойное суммирование по всем значениям повторяющихся индексов пит т, п = = 1, 2, 3). Если [c.8]

Л"/Я1 в котором индекс п является повторяющимся в соответствии с нашим условием производим суммирование от п=1 до п = 3. В результате получаем ковариантный тензор второго ранга, т. е. тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходного тензора. Операция свертывания в данном примере, очевидно, больше не может быть повторена. [c.10]

Дважды повторяющийся индекс /в правой части равенства (1 .6) является немым, а неповторяющийся индекс i называется свободным. Свободный индекс принимает поочередно одно из трех значений 1, 2, [c.391]

Здесь и в дальнейшем дважды повторяющийся индекс (наверху и внизу) является немым индексом, т. е. индексом суммирования. [c.408]

В последнем равенстве использован метод немого суммирования по дважды повторяющемуся индексу. Использование этого метода для записи в проекциях произвольного вектора А дает [c.15]

Верхний индекс п относится к проекциям векторов и тензоров на направление, задаваемое единичным направлением п. Верхние индексы к, I = = 1, 2, 3 относятся к проекциям векторов и тензоров на направления осей декартовой системы координат, определяемые ортогональными единичными векторами е, е , е . При этом по повторяющимся верхним (и только по ним) индексам будет использоваться так называемое немое суммирование [c.8]

Здесь и далее везде но повторяющимся верхним координатным индексам ведется суммирование Jji — интенсивность обмена массой между г-й и /-й фазами, причем /и — за счет испарения или конденсации на частицах г-й фракции (i = 2,. . ., т), а остальные Jji — за счет столкновения и дробления частиц, что характеризуется величиной [c.134]

Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, причем [c.237]

В (6.2) и (6.3) точки обозначают дифференцирование по времени t, а индекс после запятой — дифференцирование по соответствующей координате. Здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения 1, 2, а латинские — значения 1, 2, 3 (по повторяющемуся греческому индексу производится суммирование). Будем, как обычно, разыскивать решение уравнений движения при отсутствии массовых сил (6.2), удовлетворяющее однородным начальным условиям [c.493]

Основные показатели фотобумаги (состав галогенного серебра, контрастность, гарантийный срок хранения, вид поверхности, толщина подложки и цвет изображения) указаны на ее упаковке. Здесь же дается специальный трехзначный индекс, повторяющий сокращенно следующие характеристики первая цифра показывает вид поверхности и включает семь условных номеров особоглянцевая— О, глянцевая — 1, полуматовая — 2, матовая — 3, мелкозернистая— 4, крупнозернистая — 5, бархатистая — 6, тисненая — 7 вторая цифра характеризует толщину подложки тонкая — 1, картон— 2 третья цифра — цвет поверхности белая — 1, кремовая — [c.141]

Для упрощения мы опустили здесь знак суммирования. В дальнейшем будем пользоваться правилом, в соответствии с которым по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, как, например, I или т в (4.70), подразумевается суммирование от 1 до 4. Свободные индексы, например г и e в (4.70), могут независимо принимать значения 1, 2, 3, 4. Следуя этому правилу, уравнение (4.25) можно записать в форме aiut = а1а[. Когда индекс может принимать только значения 1,2, 3, мы обозначаем его греческой буквой, а если он повторяется в данном выражении дважды, суммируем по этому индексу от 1 до 3. Следовательно, квадрат длины пространственного вектора можно записать в форме [c.84]

Ковариантные и контравариантные компоненты различаются при написании позицией индексов первым присваиваются верхние индексы, а вторым — нижние. Для дальнейшего будет принято часто используемое правило суммирования. Оно состоит в том, что если один и тот же индекс встречается в явно одночленном выражении дважды — один раз как верхний, а другой как нижний, то предполагается суммирование соответствующих выражений при пробегании этим индексом значений 1, 2, 3. Такой повторяющийся индекс называется немым . [c.18]

Здесь и всюду в дальнейшем повторяющийся буквенный индекс в одночлене будет означать суммирование по всей области изменения индекса, если только обратное не будет выражено словами суммирования нет . Очевидно, например, что для балки piix) и рч х) обозначают соответственно вертикальные направленные вниз прогибы оси и направленные против часовой стрелки вращения поперечных сечений с абсциссой х. [c.10]

Буквенный индекс может встречаться у каждой компоненты только один (Oi) или два (ап) раза. Если индекс употреблен один раз, то это означает, что он принимает значения 1, 2..... /и, где m — положительное целое число, определяющее размерность индекса. Нси вторяющий я индекс называется свободным. Тензорный ранг данной компоненты равен числу ее свободных индексов. Если индекс повторяется дважды, он называется немым. Повторяющийся индекс означает, что он принимает все значения из своего интервала изменения и соответствующие этим значениям члены суммируются. В этом состоит так называемое соглашение о суммировании, например [c.11]

Можно было бы еще ввести следующее тензорное определение rota (суммирование от 1 до 3 по трем дважды повторяющимся индексам) [c.335]

При изложении основ тензорной алгебры ( 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хи у = а 2, 2 = хз, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах немым ( 33) индексам г и s, а знак принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = q, а минус— к случаю рф q] будем иметь [c.283]

В приводепных выражениях точка над символом означает полную производную по времени приняты обычные правила суммирования по повторяющимся индексам (папрпмер, M Wj = и + и +ul, Щ, к —duj/dx и т. д.) 6123 = 8231 = 6312=1, бцг = 6321 = 6213 ==—1, а все другие e,j>, равны нулю. [c.61]

Заметим, что повторяющиеся индексы можно обо- начять любой буквой, т.е. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...