Произведение тензоров внешнее

Тензорным (внешним) произведением тензора ранга р на [c.393]

Внешнее произведение тензора первого ранга (вектора) и тензора второго ранга является тензором третьего ранга [c.523]

Складывать и вычитать можно тензоры одного ранга, компоненты которых имеют одинаковое строение индексов. При этом получается тензор того же ранга, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент заданных тензоров. Тензорным, или внешним произведением тензоров является тензор, компоненты которого равны произведениям компонент тензоров-сомножителей. Индексы в обозначении компонент тензора-произведения повторяют индексы в обозначении компонент первого, а затем второго сомножителя. Поэтому умножать можно тензоры любого ранга с любым строением индексов. Ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей. На- [c.39]

Что такое тензорное (внешнее) и скалярное (внутреннее) произведение тензоров Приведите примеры. Однозначно ли скалярное произведение тензоров [c.42]

Внутренним произведением двух тензоров называется результат Операции свертывания, примененной к внешнему произведению данных тензоров, причем совпадающие индексы должны фигурировать по одному в каждом из сомножителей. Для справок приведем некоторые часто используемые в механике сплошной среды произведения тензоров, записанные в индексных и в символических обозначениях. [c.30]

Поток энергии складывается из конвективного переноса энергии руЕ, работы поверхностных сил Р v (скалярное произведение тензора Р на вектор v) и потока тепла q. Здесь (Р v) t = Ра/З /з а-компонента вектора (Р v). Внешние [c.19]

Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор что собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора являются не зависящими от системы отсчета скалярами что собственные векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векторами что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами. [c.59]

Внешнее или степенное произведение двух тензоров ранга т VI п является тензором т п ранга. Например, диада АВ является внешним произведением двух тензоров первого ранга, (А и В) является тензором второго ранга [c.523]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Заметим, что во второй формуле (4.3.10) определение поверхностной силы отличается знаком от ее обычного задания как произведения внешней к Vg нормали на тензор напряжения. [c.189]

Здесь f — вектор массовых сил а — вектор ускорения, определенный в (1.23) t — вектор истинных напряжений Коши, действующий на граничной площадке дш. Вектор t имеет тот же самый смысл, что и вектор t( ) в (1.72), но здесь индекс (п) опущен, так как в (1.111), (1.112) под единичным вектором нормали подразумевается вектор внешней нормали п к поверхности дш. Знаком X обозначена операция векторного произведения. Область ограниченная замкнутой поверхностью дш, — произвольная подобласть области V аксиома локализации). Из уравнения (1.112) следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно, и тензоров напряжений s, т, т, [c.59]

Вектор внешних сил, действующих на элемент площади dZ деформированной боковой поверхности, равен скалярному произведению соответствующего ему элемента dl. недеформированной поверхности на тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа д. Используя диадное представление этого тензора [c.54]

Через (R nR ) здесь обозначено смешанное произведение векторов. Учитывая зависимости (3.2.13), переходя в последнем интеграле к физическим составляющим ди , ди , ... соответствующих векторов и тензоров при помощи соотношений (1.1.20), (1.1.21) и осуществляя преобразования, аналогичные выполненным при выводе равенства (3.2.10), находим окончательное выражение для виртуальной работы дА внешних контурных нагрузок (последние отмечены индексом 0 ) [c.54]

Внешним произведением двух тензоров произвольных рангов называют новый тензор, компоненты которого образованы умножением каждого компонента одного тензора на каждый компонент другого. Ранг полученного тензора равен сумме рангов сомножителей [c.33]

Внутренним произведением двух тензоров называют результат операции свертывания, примененной к их внешнему произведению. При этом совпадающие индексы должны фигурировать по одному разу в каждом из [c.33]

Диадное или внешнее произведение векторов А.В . образует тензор 2-го ранга. Рассмотрим объект [c.18]

Внешнее умножение тензоров (тензорное произведение) [c.24]

Как видно из этих примеров, внешние произведения получаются простым написанием перемножаемых тензоров друг за другом. (Заметим, что именно эта операция образует из двух векторов диаду.) [c.30]

Источником энергии в общем случае может быть работа электрических, химических и ядерных сил. В нашем случае работа производится внешними силами Р/г и силами давления и внутреннего трения, характеризуемыми тензором давления Поскольку расчет ведется на единицу объема среды и на единицу времени, работа сил будет равна произведению сил на скорость. [c.15]

Вместо термина диада используют также название внешнее произведение векторов (в обозначениях Дирака ( 2.2) d = [с) <й[). Пусть с-с = 1, тогда тензор ес, действуя на любой вектор /, выделяет его составляющую [c.248]

Так как ввиду выбранного изоморфизма мы можем по существу считать, что i T, то можно определить также тен-, зорное произведение V <8 I и внешнее произведение V Л I при условии, что V е В частности, антисимметричный тензор (х — Хо) Л называется моментом системы сил в х относительно места (точки) Хо . Более общо, момент Р. относительно точки Хо системы сил f e, действующий на часть тела в данном движении этого тела, определяется следующим образом [c.40]

Тензор а Л b называется внешним произведением векторов а н Ь. Конечно, он антисимметричен. [c.506]

Символика операций. Внешнее произведение двух векторов называется векторной диадой (тензор второго ранга) [c.138]

Внешнее произведение вектора на тензор (тензор третьего ранга) [c.139]

Производится также свертывание тензора с тензором, Эта операция, называемая внутренним произведением тензоров, состоит в предварительном тензорном (внешнем) умножении тензоров, а затем полученный мультипликативный тензор свертывается по индексам, принадлежащим тензорам-сомножителям. Например, перемножая тен-зорно два вектора (а ) и (6 ), а затем свертывая полученную диаду ( i/) = (ад (bj), приходим к инварианту [c.394]

Особое значение в нашей работе отводится тотальным (комплексным) бивекторам Ф, тервекторам Т и кватервекторам Q, которые по своей общности охватывают все разделы векторной геометрии и механики. Так, например, внутренняя составляющая 5 тотального бивектора Ф = S + ея определяет работу пространственных сил, а внешняя я — импульс сил и количество движений. Аналогично, внутренняя составляющая и тотального тервектора Г = ы + еш выражает определитель третьего порядка, а внешняя W — тройное векторное произведение. Здесь е — орт, тензор которого 6 = —1. [c.151]

Внешним произведением лвух тензоров произвапьного ранга называется новый тензор, у которого компоненты образованы умно-жением каждойкомпонецты одного тензора на каждую компоненту другого. Ранг полученного тещора равен сумме раш-ов сомножителе Типичными примерами внешних произведений являются следующие выражения [c.29]

Чтобы понять второй знак верхнего равенства, достаточно уточнить договоренность относительно скобок двойственности, или скалярного произведения, для мультивекторов. Большая часть авторов не заботится о том, чтобы различать условные правила в зависимости от того, используем мы внешнюю алгебру или тензоры обш,его вида. Обозначим а Ь) то, что мы называем упрош,енная скобка , когда а и Ь — это р-векторы или чередуюш,иеся р-формы. Впрочем, можно использовать то же соглашение и для симметричных тензоров. Скобка обш,его вида обозначается а,Ь). В случае р-векторов имеем а,Ь) = р а Ь). Дальнейшие объяснения здесь не нужны. Читатель может довольствоваться формулой и А 1и д А у) = и, ги, у) — и, уу) 1и,ф. [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...