Вершина уравнение

Длины звеньев механизма удовлетворяют условиям ОС = ОА = а ОВ = с=У а — и а > с, где а и Ь — полуоси эллипса. Звено 1 вращается вокруг неподвижной оси О и входит во вращательную пару С с ползуном 5, скользящим вдоль оси Вт звена 4, вращающегося вокруг неподвижной оси В. Траверза t — t ползуна 3 входит в поступательную пару с крестообразным ползуном 2, оси направляющих которого взаимно перпендикулярны. Ползун 2 скользит вдоль оси Ап звена 5, вращающегося вокруг неподвижной оси А. Если центр О установить в центре эллипса, а центр В в одном из его фокусов, то при вращении звена I вокруг оси О точка D ползуна 2 описывает подеру q — q эллипса относительно одной из его вершин. Уравнение подеры q — q [c.220]

Назовем их ш-вершинами, или вершинами-переменными. Далее каждому уравнению также поставим в соответствие по одной вершине, которые будем обозначать Mi, М2, М3 и называть Л -вершинами, или вершинами-уравнениями (смысл таких названий будет ясен из следующих параграфов). Из [c.107]

Если известно число S , то от него легко перейти к 5. Для этого к элементам правых столбцов применяется обратная подстановка, определяющая соответствие между вершинами-уравнениями и вершинами-переменными, после этого в левый столбец 5 записываются в некотором порядке все номера, встречающиеся справа в а в k-й строке числа 5 выписываются все номера строк из S в которых встречается номер k. [c.163]

Для случая прямоугольной мембраны выберем начало координат в вершине, а оси х, у расположим вдоль сторон, выходящих из этой вершины. Уравнения других сторон пусть будут х — а, у = Ъ, тогда уравнение (1) и граничные условия будут удовлетворены решением вида [c.184]

Вершинами гиперболы являются точки ее пересечения осью симметрии. Полагая в уравнении гиперболы - О, имеем [c.152]

Имея график h = F(0), устанавливаем зависимость естественных координатах представляет собой уравнение кривой ребра возврата касательной плоскости аксоида-конуса. Построение такой кривой по графику не вызывает затруднений (см. гл. XIV). В касательной плоскости выбирается и заданная производящая кривая линия АВ. Касательная плоскость производящей кривой при ее качении со скольжением по аксоиду-конусу занимает ряд положений. Она скользит вдоль образующих конуса с условием, что последовательный ряд точек ее ребра возврата всегда совпадает с вершиной конуса. [c.370]

Алгебраические кривые линии, имеющие в системе декартовых координат уравнения второй степени, называют кривыми линиями второго порядка. Признаком кривой линии второго порядка является также и то, что прямая линия пересекает ее в двух точках. Кривые линии второго порядка могут быть получены при пересечении прямого конуса вращения плоскостью и поэтому часто называются коническими сечениями. Если плоскость не проходит через вершину и пересекает все образующие конуса, в сечении получается эллипс, в частном случае — окружность. Если секущая плоскость параллельна од- [c.47]

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и данной прямой директрисы), лежащих в той же плоскости. На рис. 3.57 взята произвольная точка С параболы, удаленная от фокуса F на расстояние F , равное расстоянию D до директрисы I. Так как вершина параболы О также равноудалена от фокуса и директрисы, то F0 = ОА = р 2, где р — расстояние от фокуса до директрисы. Простейшее уравнение параболы в прямоугольных декартовых координатах у- = 2рх, а ее директрисы л = —р 2. [c.48]

Пример 1. Вывести уравнение поверхности конуса Ф(5, а), если известны координаты ее вершины 5(0, 0, 10) и уравнения направляющей а [c.70]

Кривая Безье, характеризующая продольное сечение, может быть построена по характеристической ломаной с вершинами Р(по, 2о), Р (а , 2 ), Рг(а2, г), Рз( з, 2з). Параметрическое уравнение кривой Безье [c.43]

Поскольку в общем случае функции fi(Aei) и f2(Aei) зависят от напряженного состояния, уравнения типа (2.87) не являются инвариантными относительно этого состояния. Поэтому использование уравнений типа (2.87), полученных при испытаниях одноосных образцов, для анализа повреждаемости материала в окрестности вершины трещины не является правомерным. [c.131]

Использование рассмотренных уравнений для оценки долговечности конструкций с существенно неоднородными полями напряжений связано со значительными трудностями, так как эти поля изменяют характер деформирования материала у вершины трещины. Например, в сварных тавровых соединениях остаточные напряжения приводят к ситуации, когда при действии циклической эксплуатационной нагрузки с коэффициентом асимметрии, равным нулю, коэффициент асимметрии нагружения материала в вершине трещины по мере ее развития изменяется от 0,8 до О, при этом КИН может принимать значения от пороговых до близких к критическим [198]. Следовательно, оценка долговечности такого рода конструкций может выполняться только с помощью уравнений, учитывающих переменную вдоль траектории развития трещины асимметрию нагружения в широком диапазоне СРТ. Как видно из выполненного обзора, такие уравнения являются в основном эмпирическими, содержащими большое количество взаимосвязанных параметров, определяемых только экспериментально на основании статистической обработки данных, что приводит к значительной сложности в получении и использовании этих зависимостей. Поэтому [c.192]

Увеличение длины усталостной трещины от L до L -j- AL описывается уравнением предельного состояния материала структурного элемента у вершины трещины при нестационарном нагружении [см. уравнение (2.111) ДЬ = р тр1. Каждый структурный элементе по мере продвижения трещины подвергается нестационарному нагружению, начиная от его попадания [c.216]

Как указывалось в разделе 4.2, условие страгивания тре-Ш.ИНЫ, определяющееся трещиностойкостью материала Кс, существенно зависит от температуры и скорости нагружения. Поскольку КИН однозначно связан с интенсивностью высвобождения упругой энергии G, то трещиностойкость материала может быть выражена через этот параметр механики разрушения. При локализованном пластическом течении у вершины трещины диссипацию энергии пластического деформирования (необходимого для обеспечения условий зарождения хрупкого разрушения) можно добавить к энергии, необходимой для образования новой поверхности трещины, что равносильно переходу к исследованию упругого тела, для которого условие страгивания трещины определяется из уравнения G = Ge [253]. [c.242]

Следует отметить, что в момент страгивания трещины возможно значительное пластическое деформирование конструкции, при котором диссипация энергии может оказать существенное влияние на кинетику трещины. При развитии трещины в подавляющем большинстве случаев пластическая деформация локализована у вершины движущейся трещины. Формулировка энергетического баланса в виде уравнения (4.75) дает возможность проводить анализ развития трещины в упругой постановке, поскольку диссипация энергии у вершины движущейся трещины включена в 2ур. Таким образом, необходимо решать упругопластическую задачу до момента старта трещины, а при анализе ее развития можно использовать решение упругой задачи. Такое моделирование кинетики можно осуществить путем завышения предела текучести материала после старта трещины. [c.246]

Следует отметить, что данный способ моделирования продвижения трещины, основанный на формуле (4.76), имеет ряд особенностей. Так, в случае, когда k = l (наиболее экономичный вариант с точки зрения времени расчета) силы сцепления уменьшаются до Е за время Атс = Ат. При этом положение вершины трещины изменяется скачком на величину AL, а СРТ V однозначно связана с шагом интегрирования Ат. Последнее обстоятельство накладывает существенное ограничение на выбор схемы интегрирования конечно-элементных уравнений движения приходится использовать безусловно устойчивые, но менее точные схемы интегрирования [см., например, уравнение [c.247]

Далее последовательно решается динамическая задача с учетом уменьшения модуля упругости элементов у вершины трещины по формуле (4.76), определяются параметры НДС конструкции и скорость высвобождения упругой энергии G vj) по формуле (4.77), где выражением для g . является уравнение (4.78). [c.249]

Субкритическое и динамическое развитие трещины. Развитие трещины при хрупком разрушении в отличие от ее старта, по всей вероятности, не происходит по механизму встречного роста, что связано с непосредственным развитием магистральной трещины. Данное обстоятельство позволяет напрямую (без анализа НДС у вершины трещины) использовать концепцию механики разрушения, сводящуюся к решению уравнения G v) = = 2ур(и). Нестабильное (динамическое) развитие хрупкой трещины как при статическом, так и при динамическом нагружениях достаточно хорошо моделируется с помощью метода, рассмотренного в подразделе 4.3.1 и ориентированного на МКЭ. В этом методе используются специальные КЭ, принадлежащие полости трещины, модуль упругости которых зависит от знака нормальных к траектории трещины напряжений увеличение длины трещины моделируется снижением во времени модуля упругости КЭ от уровня, присущего рассматриваемому материалу, до величины, близкой к нулю. Введение специальных КЭ позволяет учесть возможное контактирование берегов трещины при ее развитии в неоднородных полях напряжений, а также нивелировать влияние дискретности среды, обусловленной аппроксимацией, КЭ, на процесс непрерывного развития трещины. [c.266]

Если x = Q (X — —Д-2), TO a = a, что следует из сопоставления уравнений в п. 8 и 9. Но при а = У = 0, а следовательно, Ау = х- — v = 0. В этом случае диаметры вершин зубьев будут = di + 2m (ft + xi и d =[c.98]

В качестве входной системы данных целесообразно выбрать математическую модель геометрического образа изделия, в частности кусочно-аналитическую модель, содержащую в явном виде координаты вершин, уравнения ребер и поверхностей. Модель описана в системе координат XOYZ изделия. [c.86]

Теперь будем пользоваться графовыми методами. Построим сначала двудольный граф системы уравнений (3.18). В качестве его вершин возьмем вершины соь (02, соз, (й4, соответствующие переменным (вершины-переменные), и вершины Ми М2, Мз, соответствующие уравнениям (вершины-уравнения). Вершины сог и М/ соединим ребром в том и только в том случае, когда [c.113]

При построении графа Мэзона сначала, как и раньше, производится ориентирование двудольного графа от вершин-переменных к вершинам-уравнениям, присваиваются веса дугам, а затем задается взаимнооднозначное соответствие между ними (за исключением вершин-источников), которое удобно определить таким образом, чтобы между соответствующими вершинами существовало ребро. После этого вместо [c.115]

Построим для однородной системы уравнений с матрицей (4.4) граф Коутса Г (рис. 4.1), определив следующие соответствия между вершинами-уравнениями и вершинами-переменными [c.160]

Из уравнений (7.19)—(7.22) видно, что наибольшее влияние на шероховатость обработанной поверхности оказывают подача, углы резца в плане и радиус при вершине. Уравнения определяют значения шероховатости для идеальных условий. В реальных условиях высота неровностей может изменяться. Чизхолм показал, что шероховатость поверхности уменьшается при увеличении скорости резания до определенного предела. При дальнейшем росте скорости шероховатость не меняется (рис. 7.14). [c.135]

Крутильно-коническое течение осуп1 ествляется в области между плоской пластиной и конусом с осью, которая одновременно представляет собой ось вращения, ортогональную пластине. Конус может быть как выпуклым, так и вогнутым, причем в случае выпуклого конуса его вершина не, должна касаться пластины (рис. 5-2). Пусть h — расстояние от вершины конуса до пластины. Выберем цилиндрическую систему координат с осью z вдоль оси конуса, причем пластина расположена при z = О, а поверхность конуса имеет уравнение z = h г tg а. Угол а положителен для выпуклого и отрицателен для вогнутого конуса. Поскольку условием контролируемости течения является а я/2 (после пренебрежения силами инерции), мы будем приближенно считать tg а а. [c.189]

Такое простейшее уравнение эллипса называют каноническим. Оси координат являются осями симметрии эллипса. Точку пересечения осей симметрии на )ывают центром эллипса точки пересечения эллипса осями симметрии — вершинами эллипса. Отрезки, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2Ь, называют соответственно большой и малой осями эллипса. [c.145]

Парабс-л. /н с вершиной <) и вертикальной оияи, принадлежащая координатной плоскости Оуд, имеет уравнение [c.56]

МПад/м [75, 81] на основании уравнений, приведенных в 4.2.2, было получено в ближайшем к вершине трещины [c.104]

Предложенный в рамках настоящей работы подход к определению направления развития усталостной трещины, хотя и наиболее адекватно отражает физические процессы на микроуровне, в расчетном плане достаточно трудно реализуем. Сложность реализации предложенного подхода в первую очередь связана с необходимостью детализации анализа НДС до масштабов зерна поликристаллического тела. Так, при использовании МКЭ размер КЭ у вершины трещины должен быть порядка размера зерна, что приводит к существенному увеличению разрешающей системы уравнений. Упростить расчетную процедуру можно, используя критерий максимальных растягивающих напряжений Иоффе [435]. В этом случае расчет траектории проводится непосредственно с позиций механики сплошного деформируемого тела, что дает возможность не анализировать НДС до масштаба зерна, а аппроксимировать тело гораздо более крупными КЭ. Хотя критерий Иоффе не учитывает физических особенностей разрушения материала у вершины трещины, расчет по нему дает достаточно хорошее совпадение с экспериментальными результатми по направлению роста трещин усталости [180]. [c.194]

В рассмотренных выше уравнениях, связывающих скорость развития усталостной трещины с параметрами нагружения материала в вершине трещины, характеристики циклической тре-щиностойкости были представлены в виде эмпирических констант. При этом предполагалось, что эти константы не зависят от характера нагружения и являются только параметрами материала и среды эксплуатации. Временной фактор (частота нагружения) во всех рассмотренных случаях не учитывался. Такое [c.198]

При Ki Ki (T) у вершины трещины должно выполняться условие хрупкого или вязкого разрушения в соответствии с предложенными в подразделах 2.1.2 и 2.2.2 критериями [см. уравнения (2.11) и (2.63)]. С точки зрения физики данное требование означает реализацию механизма встречного разрушения материала, когда зародившиеся микроповреждения материала у вершины трещины, по сути являющейся концентратором напряжений, объединяются с ней. Здесь хотелось бы несколько подробнее остановиться на вопросе, почему именно такой механизм наиболее вероятен при разрушении материала с трещиной. Рассмотрим хрупкое разрушение тела с трещиной. Для того чтобы от макротрещины развилось хрупкое разрушение, необходимо выполнение условия Отах = От. п ( Jmax — мак-симальные напряжения, локализованные непосредственно у вер- [c.230]

Аналитические решения такого рода уравнений получены для задач в идеализированной постановке (плоскость с полу-бесконечной или конечной трещиной, пространство с дисковидной трещиной и т. д.) при воздействии гармонических и ударных нагрузок (достаточно полный их обзор дан в работах [148, 177, 178, 199, 220, 271]. Однако эти решения дают представления о реальном поведении конструкции конечных размеров только в начальный период времени (до прихода в вершину трещины волн напряжений, отраженных от границ тела). Кроме того, они не учитывают разнородности материала конструкции по механическим свойствам, изменения граничных условий по-берегам трещины в процессе ее продвижения траектория трещины считается прямолинейной, а удельная эффективная энергия, затрачиваемая на образование новых поверхностей yf, принимается постоянной и не зависящей от скорости деформирования. Очевидно, что с помощью методов, имеющих указанные ограничения, навряд ли можно дать надежные оценки работоспособности элементов конструкций сложной формы и характера нагружения. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета динамических параметров механики разрушения [177, 178]. [c.241]

Расчет СРТ при динамическом нагружении является достаточно сложной задачей. Для идеализированных постановок в случаях бесконечных и полубесконечных тел рядом авторов [148, 177, 178, 219, 435], которые использовали баланс энергии в различных видах, получены аналитические выражения для СРТ. Для конструкций конечных размеров применимость этих выражений ограничена временем прихода в вершину трещины отраженных волн. В последнее время для конструкций со сложной геометрией получил распространение смешанный численноэкспериментальный метод [383], в котором СРТ предлагается определять, решая нелинейное уравнение вида [c.245]

Очевидно, что на точность получаемых результатов будут влиять такие факторы, как схема интегрирования, величина шага интегрирования Ат,-, количество КЭ в проскоке, число подынтервалов времени k, на которые разбит интервал Атс. Из рис. 4.20 видно, что при использовании уравнения (1.47) при k = 4 11 18 (кривые 1, 2, 3, 4) отличие результатов расчета от приближенной аналитической зависимости (4.79) составляет соответственно 0,19 0,14 0,08 0,01G (0) (при v = r). Таким образом, использование условия < 10 приводит к существенной погрешности расчетной схемы, что, в свою очередь, в задаче об определении СРТ приводит к необоснованному завышению скорости трещины, особенно в области ее высоких значений (o r). Следует отметить, что значению k = при v = r соответствует шаг интегрирования Ат, равный времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ в вершине трещины. Попытки более адекватного описания зависимости G (y) с помощью более точного моделирования раскрытия трещины путем увеличения количества КЭ в проскоке не дали существенного изменения зависимости G (o) (кривая 6). При использовании уравнения (1.41) зависимость G v) отличается от аналитической (4.79) менее чем на 1 % (кривая 5). В то же время следует отметить, что ограничение на шаг интегрирования, обусловленное устойчивостью решения уравнения (1.41), делает применение данной схемы при и < Сд неэффективным, поскольку резко возрастает количество шагов Ат (при v = r /г = 18 при v = rI2 fe = 36 и т. д.). [c.250]

В данной главе рассмотрены методы прогнозирования тре-щиностойкости металла и кинетики трещин при циклическом, статическом и динамическом нагружениях, базирующиеся на использовании локальных критериев разрушения и уравнениях, описывающих НДС у вершины трещины с учетом структурированности поликристаллического материала, а также на применении концепций и новых параметров механики разрушения. [c.264]

Применяемый способ выбора системы независимых контуров и сечений основан на построении фундаментального дерева в графе схемы. Используется полюсный граф, повторяющий структуру эквивалентной схемы. Фундаментальное дерево связного графа есть связный подграф, включающий р—1 ребро и не имеющий циклов. Ребра, вошедшие в дерево, образуют множрхтво ветвей дерева (ВД), а остальные ребра — множество ветвей, называемых хордами (ВХ). Контуром k-Pi хорды называют подмножество ребер графа (ветвей схемы), входящих в замкнутый контур, образуемый при подключении k-Pi хорды к дереву. Сечения образуются следующим образом отделим часть вершин графа от остальных с помощью замкнутой линии сечения, проведя ее так, чтобы ни одно ребро не пересекалось более одного раза и при этом пересекалась одна и только одна ветвь дерева. Следовательно, каждому сечению соответствует определенная ветвь дерева. На рис. 4.10, а для примера приведена некоторая схема, а на рис. 4.10, б —ее граф с выделенным жирными линиями фундаментальным деревом. Штрихом показаны линии сечения. Уравнения токов Кирхгофа для сечений ветвей дерева и напряжений Кирхгофа для контуров хорд образуют систему независимых топологических уравнений [c.179]

Итак, фронтальная проекция m2 линии пересечения цилиндра и сферы может быть цред-сгавлена уравнением (9.3). Эта линия — парабола. Ее вершина имеет координаты л = с, z = 0. [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...