Величины — Измерения случайные 322 — Ожидание

Простым следствием из теоремы Чебышева является принятие среднего арифметического значения из большого ряда наблюдений одной случайной величины за среднее значение (математическое ожидание) этой величины. Если случайной величиной являются ошибки измерений, наблюдений и т. д.. то среднее арифметическое значение многократно измеренной величины принимается за её истинное значение. [c.290]

Согласно даваемому в специальных курсах определению математическое ожидание является теоретическим пределом, к которому приближается среднее значение случайной величины при весьма большом числе измерений. Математическое ожидание непрерывной величины представляет собой число, вокруг которого будут колебаться значения исследуемого фактора или параметра. Так, например, заданный в режимной карте коэффициент избытка воздуха является математическим ожиданием для эксплуатационных избытков воздуха. Величина уровня воды в барабане, на которую настроен автомат питания, является математическим ожиданием непрерывно изменяющихся в процессе эксплуатации уровней. [c.57]

Вместе с этим систематическая составляющая Дс конкретного экземпляра средства измерений бывает известна лишь в редких случаях. В то же время отдельные средства измерений одного типа имеют различные величины систематических погрешностей Дс, ( =1, 2,. .., т), т. е. для типа Дс является случайной величиной. Ее математическое ожидание можно приравнять нулю Л1(Дс)=0 и тогда дисперсию будет характеризовать величина [c.26]

Разброс значений х, наблюдается относительно математического ожидания М (х), которое представляет собой истинное значение измеряемой величины. Дисперсия — это мера отклонений случайных величин от математического ожидания чем больше D x), тем менее точны измерения. [c.115]

Подлежит измерению сигнал, модель которого имеет следующий вид Z(t)==S(t)-X- -Nm(t), где Х—искомый параметр — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием тх и дисперсией Z) S(t) — некоторая известная функция [c.178]

Дисперсия даст возможность определить разброс возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания, вызванный свойствами случайной величины или погрешностей измерений, Однако значение А —М Х) практического значения не имеет, а математическое отклонение сл чайной величины равно нулю вследствие компенсации положительных и отрицательных значений отклонений. Для устранения отмеченных недостатков принято рассматривать не сами отклонения, а их вторые степени. В этом случае большие отклонения сказываются на конечном результате оценки значительно больше, чем малые. В общем случае [c.143]

Случайная ошибка характеризуется нулевым математическим ожиданием в каждом сеансе измерений. Поэтому такая ошибка может привести только к случайному отклонению искомого решения от истинного. Величина этого случайного отклонения может быть уменьшена за счет увеличения объема выборки N. [c.154]

По результатам наблюдений (статистическим данным) принимается какой-либо закон распределения случайной погрешности и затем определяется соответствие опытного распределения теоретическому. Для этого используются различные критерии согласия. Если опытные данные согласуются с теоретическими, то в дальнейшем для удобства пользуются параметрами теоретического распределения. Однако на практике часто приходится иметь дело с ограниченными статистическими данными — с дву-мя-тремя десятками измерений, а иногда и меньше. Этих данных недостаточно, чтобы найти закон распределения случайной погрешности. Но можно определить по ограниченному материалу ориентировочные значения характеристик случайных погрешностей. В этом случае возникает задача оценки погрешности результата измерений. Требуется оценить, насколько точно определено действительное значение измеряемой величины, его математическое ожидание. В связи с тем что оценка математического ожидания вычисляется на основании конечного числа измерений, оно будет отличать- [c.11]

Измерение любой экспериментальной величины осуществляется при воздействии помех, поэтому исследователь имеет дело со случайными величинами. Кроме расчета статистических характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения и т. д., см. 2.2) основной задачей статистического анализа результатов исследования (наряду с дисперсионным и регрессионным анализами, см. 5.5) является проверка статистических гипотез. [c.104]

Точность и степень достоверности измерения единичных неров-ностей поверхности. Результат измерения единичной неровности поверхности детали рассматривают как одномерную случайную величину, математическое ожидание которой МУ представляет собой сумму истинного значения неровности и систематической погрешности измерений [c.65]

При снятии статических характеристик объекта по каждому из наблюдаемых факторов проводится ряд измерений. За характеристику фактора принимается его математическое ожидание М(д ). Уже указывалось, что математическое ожидание совпадает со средним арифметическим при п—>-оо. На практике, однако, число наблюдений п всегда ограничено и среднее арифметическое не совпадает со своим математическим ожиданием. Так как величины, формирующие среднее, случайны, логично ожидать, что и само среднее, арифметическое также случайно. [c.71]

Приведите зависимость между систематической постоянной погрешностью в, математическим ожиданием результатов наблюдений М, случайной погрешностью Д, результатом единичного измерения х и истинным значением измеряемой величины Q, пользуясь определениями погрешностей. [c.59]

Формирование выборок продукции для сертификации. Выборки единиц продукции из партии формируются для определения и (или) контроля среднего значения (математического ожидания) измеряемой величины как меры качества изготовления среднего квадратического отклонения (или дисперсии) измеряемой величины как меры однородности качества изготовления доли реализаций измеряемой случайной величины, находящейся в заданном допуске, и вероятности выполнения контрольных норм при различных методах измерения (пороговом или абсолютном) толерантных (допустимых) пределов и т. д. Достоверность оценки качества партии продукции определяется организацией отбора единиц продукции в выборку. [c.162]

Из-за ошибок измерений, настройки, действия неизвестных факторов выходной параметр У является случайной величиной. Поэтому функцию отклика можно оценить лишь приближенно. В фиксированной точке факторного пространства значение функции отклика равно математическому ожиданию Е[У(Х)] параметра У в этой точке.т. е. Е[У(Х)]=ДХ). [c.40]

Очевидно, что среднее значение (или, иначе говоря, математическое ожидание) случайных ошибок измерения одной и той же величины должно быть равно 0. Согласно закону больших чисел с вероятностью, как угодно близкой к достоверности, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины как угодно мало отличается от ее математического ожидания [17] [c.68]

Основой расчета для оценки состояния конструкции является наличие стохастической связи между изменением ширины раскрытия трещины и изменением напряженного состояния конструкций. Такая связь подтверждается достаточным количеством исследований. В результате расчета нужно оценить, является ли измеренное значение максимальной ширины раскрытия трещин сигналом о снижении несущей способности конструкции, или это одно из вероятных значений не связанных с этой первопричиной. Для этой цели предлагается использовать неравенство Чебышева. Это неравенство позволяет оценить верхнюю границу вероятности отклонения Р случайной величины X от своего математического ожидания МХ на заданную величину е [29] Р = ( Х — МХ > е) < < ВХ/г . При этом не накладывается никаких ограничений на закон распределения случайной величины, кроме конечности математического ожидания и дисперсии ВХ. [c.182]

Синицын и Скрипов [79—81] на пузырьковой камере (см. д19) измеряли времена жизни перегретых жидкостей при разной величине перегрева. Результаты опытов относятся к заданному нижнему давлению в камере, следовательно, необходимо исключить влияние переходного процесса при сбросе давления. Осциллографирование давления показало, что время установления при срабатывании электромагнитного клапана не превышает 0,1 сек. Распределение случайных событий пуассоновского типа обладает замечательным свойством независимости вероятности наступления отдельного события от начала отсчета времени при одинаковых прочих условиях, т. е. длительность ожидания случайного события не влияет на вероятность его появления в будущем (отсутствие последействия). Это позволяет вычитать из измеренного времени жизни некоторую величину т, заведомо большую длительности переходного процесса, и таким образом исключить его влияние на результаты опыта. Величина упреждения счета т выбрана равной 0,2 сек, ее вычитали из всех измеренных времен. Опыты, в которых т < 0,2 сек отбрасываются, так как событие попадает за начало отсчета времени. [c.102]

Проблема синтеза оптимальных систем (с обратной связью) в стохастических случаях приобретает особенное значение, так как именно этот аспект задачи позволяет при формировании управляющих воздействий учесть реальный ход осуществления случайных движений, не предсказываемый точно заранее. Примером задачи о синтезе стохастической оптимальной системы с обратной связью может снова служить задача об 8-сближении точек х Ь) я 2 ( ), движения которых описываются уравнениями (21.1)—(21.2), причем может требоваться, например, минимум математического ожидания для случайного момента времени Те, когда впервые расстояние между точками х 1) и г (1) становится равным (или меньшим) 8. Однако теперь в каждый момент времени i < Те управление и будет формироваться, например, уже в виде функции и [t] = = и [1, X (ь), z ( )] ( > 0) и, следовательно, в каждый момент i величина и будет вычисляться с учетом реализовавшихся к этому моменту величин X t) и 2 ( ). Ясно, что при этом предполагается возможность мгновенного измерения реализующихся значений х 1) я г ( ). Такая постановка проблемы, учитывающая дополнительные данные (значения X 1) и 2 НУ), поступающие по ходу процесса, позволяет, естественно. [c.230]

Значения МХ и Ме характеризуют положение центра группирования случайных величин. Физический смысл его можно показать на следующих примерах при отсутствии систематических погрешностей, при многократных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях математическое ожидание можно рассматривать как значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному при наблюдении рассеивания размеров деталей, обрабатываемых на станке, математическое ожидание можно рассматривать как размер, на который настроен станок и около которого будут группироваться размеры деталей. [c.63]

Статистические методы выявления анормальных измерений посвящены в основном оценке одной грубой ошибки, когда подозрительным может оказаться минимальный или максимальный по величине результат наблюдений. Пусть Хх,. . ., х —взаимно независимые случайные результаты измерения, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами (т,-, о). Основная гипотеза Яо, подлежащая проверке, заключается в предположении, что каждая реализация Х принадлежит к одной и той же генеральной совокупности с математическим ожиданием т, т. е. / 1 = 2 = [c.401]

При отсутствии систематических погрешностей результаты измерений группируются около действительного значения измеряемой величины А. По мере неограниченного возрастания числа измерений центр группирования приближается к А сколь угодно близко. Центром группирования случайной величины X является начальный момент первого порядка, называемый математическим ожиданием т. Обычно действительная величина т неизвестна и в качестве ее оценки используется среднее арифметическое значение [c.404]

Случайную погрешность можно уменьшить путем многократных измерений. Если какую-либо величину измерять много раз, то вероятным значением этой величины, или ее математическим ожиданием, будет среднее арифметическое значение х, подсчитанное по результатам этих измерений х, [c.20]

Таким образом, важ- 20 нейшие параметры работы автоматической линии не- g риоды бесперебойной ра- g боты и длительность про- стоев являются случай-ными величинами. Слу-чайный характер имеют и стойкость инструмента, количество бракованных деталей и т. д., следова- " тельно, величина внецикловых потерь, сменный выпуск годной продукции и в конечном итоге — уровень фактической производительности. Поэтому все численные значения внецикловых потерь и фактической производительности должны определяться вероятностными методами на основе большого числа наблюдений и измерений. Обработка опытных данных позволяет определить параметры случайных величин, прежде всего их средние значения—математические ожидания, которые и должны подставляться в формулы производительности. В ряде случаев необходимым является определение и других вероятностных характеристик случайных величин, например, меры их рассеивания, закона распределения конкретных значений, взаимосвязи различных случайных величин и т. д. [c.33]

Как видно, математическое ожидание случайной величины оказалось совсем не в середине диапазона рассеивания размеров, что является первым признаком того, что фактическое распределение ДЛЯ измеренной партии не имеет симметричного (нормального) характера. Действительно, фактическая диаграмма распределен ИЯ размеров, показанная на рис. 44, а и построенная в соответствии с табл. 7, имеет не один, а два явно выраженных пика, что никак не может быть объяснено с точки зрения представлений о неизбежности нормального закона рассеивания размеров. [c.117]

Выделение из состава погрешности измерений ее математического ожидания М(Д) и среднего квадратического отклонения а(Д) особенно важно при определении с помощью формул (1.19) и (1.20) погрешностей сложных информационно-измерительных систем. Например, в ИИС (или ее части) (рис. 3.1) первичный преобразователь /, промежуточный преобразователь 2 и аналоговое вычислительное устройство 5, осуществляющее линейную математическую операцию над входным сигналом [(О. которым является измеряемая величина, например, ощупываемый иглой профиль поверхности, рассматриваемый как случайная функция. Здесь Хг(0 — входной сигнал преобразователя 2 К,(/) ( =1 2 3)—соответствующие выходные сигналы — внешние воздействия. Чтобы определить по формулам (1.19) и (1.20) погрешность [c.73]

В теории вероятностей характеристики функций распределения случайных величин разделяются на две группы точечные и интервальные. К точечным относят характеристики, являющиеся параметрами функций распределения или так называемыми моментами случайных величин математическое ожидание, дисперсия (СКО), моменты более высоких порядков. Основными точечными характеристиками погрешностей измерений являются математическое ожидание, дисперсия (или СКО), взаимный корреляционный момент (если рассматриваются взаимно коррелированные погрешности). Реже рассматриваются более высокие моменты погрешности, причем они встречаются лишь в теоретических работах, но не в прикладных методах анализа погрешностей. [c.102]

В качестве точечных характеристик погрешностей измерений используются, в основном, дисперсия D[A] или СКО а [А]. Математическое ожидание представляет собой систематическую погрешность. Если ее значение известно (определено), то целесообразно вводить в результаты измерений соответствующую поправку, т. е. исключать систематическую погрешность. Однако, если систематическая погрешность и известна, то обычно неточно, и после введения поправки остается так называемый неисключенный остаток систематической погрешности. Он характеризуется, как правило, границами, в которых может находиться, то есть принимается за вырожденную случайную величину (см. разд. 2.1.2, а также разд. 2.2.3). При технических измерениях обычно значение систематической погрешности неизвестно. Поэтому она вся принимается за вырожденную случайную величину и характеризуется соответствующими границами. В качестве точечной характеристики систематической погрешности As используется ее дисперсия или СКО а [As], рассчитываемые по указанным выше границам (см. также о неопределенности типа В в разд. 2.2.3). [c.104]

Специфика той составляющей погрешности средства измерений, которую приходится принять за его систематическую погрешность, позволяет считать целесообразным представление основной погрешности моделью (3.3), в которой вся нестационарность основной погрешности, как случайной функции, и математические ожидания случайных величин отражены систематической погрешностью До (0. Остальные составляющие модели (3.3) могут тогда рассматриваться как стационарный случайный центрированный процесс и центрированные случайные величины. Надо подчерк- [c.123]

Если предположить, что причины, вызывающие погрешности измерения, проявляются случайным образом, то нет оснований для утверждения, что какие-то погрешности — положительные или отрицательные — имеют большую вероятность. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряе.мой величины значение, соответствующее центру тяжести площади фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс. Координата, соответствующая центру тяжести, называется, как известно, математическим ожидание.м. [c.40]

Распределение случайной величины, соответствующее этому более общему случаю, представлено на рис. 3.3. На этом рисунке видно, что оценка истинного значения МХ отличается от истинного значения Q на некоторую А ,, представляющую собой математическое ожидание погрешности измерения. [c.41]

Рассматривая результаты наблюдений как случайные величины мы полагали, что математическое ожидание результатов наблюдений совпадает с истинным значением измеряемой величины, т. е. систематическая погрешность, определяемая по (3.12), равна нулю, или, по крайней мере, она тем или иным способом уменьшена до пренебрежимо малой величины. Мы уже рассматривали (3.15) представление погрешности измерения в виде двух составляющих постоянной и переменной Ар . Последняя была определена как случайная, и были рассмотрены способы ее оценки и формы представления. [c.66]

Рассмотрим оценки случайных погрешностей результатов косвенных измерений. Предположим, что величины Xj измерены со случайными погрешностями Д , имеющими нулевые математические ожидания М (Дx ) = О и дисперсии Найдем выражения для математического ожидания М (Д2) и дисперсии (Д2) погрешности Д2, принимая во внимание (4.50). [c.97]

Значение М(Х) характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии. При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины, т. е. к значению, свободному от ошибок измерения. При анализе характера рассеяния размеров деталей, обрабатываемых на станке, математическое ожидание можно рассматривать как размер, на который был настроен станок. [c.63]

Полагая результат измерения случайной величиной, различают три основных типа ошибок измерений систематич1еские, случайные и грубые (качественное описание таких ошибок дано в ст. Обработка ре,>улъ-татов наблюдений). При этом ошибкой измерзния неизвестной величины а наз. разность — а, математич. ожидание этой разности М( — а) = Ъ наз. систематич. ошибкой (если 6 = 0, то говорят, что измерения лишены систематич. ошибки), а разность 6 = 1 — а — 6 наз. случайной ошибкой (Мб = 0). Т. о., если произведено п независимых измерений величины а, то их результаты МС1ЖН0 записать в виде равенств [c.576]

В условиях эксплуатации автотолераторы работают в динамическом режиме. Поэтому наряду с проверкой метрологических характеристик в статических условиях для автотолераторов обязательна проверка их динамических характеристик. При этом главными динамическими характеристиками автотолератора следует считать амплитудно-частотную характеристику точности и время срабатывания. При проверке следует установить не только математическое ожидание погрешности, но и их случайные составляющие. Средняя арифметическая величина погрешности, ее математическое ожидание важны как для определения возможной ошибки измерения, так и для внесения динамической поправки, а случайная составляющая будет оказывать влияние па рассеи- [c.117]

Градуировочная характеристика средства измерений — зависимость между величинами на выходе и входе средства измерений. Градуировочная характеристика аналогового прибора — случайная функция [8]. Действительная градуировочная характеристика 2 является неслучайной функцией и представляет собой оценку матемагического ожидания случайной функции, т. е. является такой функцией, [c.115]

Ответ. Систематической постоянной погрешностью в называют отклонение математического ожидания М результатов измерений от истинного значения измеряемой величины, X. е. в - М - Q. Случайной погрешностью Д называют разность между результатом един1 ого наблюдения х и математическим ожиданием результатов измерений М, т. е. Д = д - Af, поэтому = х - в — А. [c.59]

До сих пор предполагалось, что результаты измерений равноточные, т. е. являются простой случайной выборкой из одной и той же генеральной совокупности. В то же время нередко измерения вы-пблняются в различных условиях или приборами, обладающими разной точностью. Если они независимы и свободны от систематических ошибок, то их математические ожидания равны, но дисперсии различны. Это обстоятельство и является характерной чертой неравноточных измерений. За оценку действительного значения измеряемой величины в этом случае принимают [c.406]

Учитывая большую практическую ценность работ по статистическим оценкам и критериям, связанным с нормальным распределением, остановимся на ряде методов рациональной обработки результатов наблюдений, полученных на этой основе. Рассмотрим случай статистической проверки некоторых предположений об оценках среднего, дисперсии, а также об отсутствии систематических ошибок или расхождений двух методов измерений. Последние необходимы при проверке равноточности наблюдений. Как было показано выше, результаты измерений позволяют получить оценку математического ожидания наблюдаемого параметра, которая является случайной величиной. Наряду с использованием интервальной оценки иногда целесообразно оценить абсолютную ошибку, которая совершается при замене тих. Если результаты измерений равноточны и лишены систематической ошибки, то абсолютная ошибка, вызванная использованием среднеарифметической величины х вместо математического ожидания т нормальной случайной величины X, определяется как [16] [c.420]

В те.хническн.х измерениях (главным образом, прн разработхс МВИ и при использовании характеристик погрешности МВИ) интерес представляет погрешность не каждой отдельной реализадии МВИ, а всей совокупности возможных реализаций данной МВИ или, как она выше названа, погрешность МВИ. Поэтому нас. в основном, интересует не модель (2.10), а другая модель, в которой будет учтено, что математическое ожидание погрешности отдельной реализации МВИ, т. е. систематическая погрешность реализации МВИ, представляет собой случайную погрешность на множестве возможных реализаций данной МВИ. Как показано выше, эту случайную погрешность следует рассматривать как вырожденную случайную величину, названную выше систематической погрешностью МВИ. Следовательно, модель погрешности . ЗИ принимает вид [c.80]

При практическом осуществлении этого общего подхода надо учитывать следующие факторы. При расчете оценки ст по формуле (3.13) необходимо, чтобы соблюдалось условие некоррелированности отдельных реализаций Дi погрешности средства измерений в данной точке диапазона измерений. Если эта погрешность представляет собой случайный процесс, для соблюдения указанного условия надо брать отдельные отсчеты через интервалы времени, превышающие интервал корреляции случайного процесса — погрешпости средства измерений. Кроме того, надо, чтобы за время между отсчетами реализаций Д выходной сигнал (показание) образцового средства измерений (измеряющего реализации Д,) успел принять новое установившееся значение, соответствующее очередному значению реализации Д . Значит, надо увеличивать интервалы времени между отсчетами и для повышения числа 2п — общее время опыта. Это связано не только с увеличением времени эксперимента. Ранее, при анализе погрешностей измерений, отмечалось, что систематическая погрешность может медленно изменяться во времени, и она лишь условно считается постоянной на ограниченном интервале времени. В терминах статистики подобное медленное изменение математического ожидания случайной величины называется трендом . В литературе по статистике, где рассматривается проблема экспериментального оценивания математического ожидания случайной величины, специально оговаривается, что расчет по общепринятой формуле (3.12) возможен только при отсутствии тренда . Указывается, что, если тренд наблюдается, его надо устранить . Строго говоря, аппарат стати- [c.144]

В [78] В. А. Кз ликовым рассматривается задача косвенных измерений точечных вероятностных характеристик (математического ожидания и среднего квадратического отклонения) изменяющихся величин, модель которых — случайный стационарный эргодический процесс, представляющий собой функцию других случайных стационарных эргодических процессов. Эта функция в общем виде подобна (4.2), но вместо величин (как в (4.2)), рассматриваются случайные процессы. В [78] рекомендованы методики расчета среднего квадратического отклонения и интервальной характеристики погрешностей измерений указанных измеряемых величин — математического ожидания и среднего квадратического отклонения изменяющихся величин, представляющих собой линейные или нелинейные функции других изменяющихся величин. [c.200]

Результаты, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величин (Л"о = onst), свидетельствуют о наличии случайной составляющей А,- = х,- — М [Jif], которая центрируется относительно математического ожидани результатов измерений М [Л (М [Д] = 0). Для характеристики А используют точечные [c.278]

Измерение нестационарных плотностей распределения, как видно из приведенных выражений, представляет собой задачу большой экспериментальной сложности даже для одномерной плотности распределения. Эта сложность обусловлена необходимостью перебора случайных величин по времени и по ансамблю реализаций. В общем случае требуется осреднение по ансамблю выборочных реализаций. Практически нестационарный случайный процесс представляет одна, максимум две-три реализации. В такой ситуации весьма ве шко желание подходить к нестационарному процессу как к эргодическому стационарному. В отдельных случаях осреднение по времени приводит к физически содержательным оценкам. Однако в большинстве случаев осреднение только по времени приводит к сильно искаженным оценкам, в частности при определении плотности распределения вероятности. Проиллюстрируем сказанное Ьледующим примером [2]. Рассмотрим некоторый случайный процесс при этом половина имеющихся реализаций представляет собой выборку из стационарного нормального процесса с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а , а вторая половина реализации отличается от первой только значением дисперсии ст > ст . Другими словами функция p(t) представима в форме ступеньки в диапазоне О-Г [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...