Какие уравнения нам нужны

Какие уравнения нам нужны [c.40]

Первое из них представляет собой закон индукции. Оно показывает, что изменение магнитной индукции В во времени приводит к появлению вихревого электрического поля Е. Уравнение (5.2) показывает, что электрический ток ] создает вихревое магнитное поле Н (закон Эрстеда). Вихревое магнитное поле может также возникать при изменении по времени диэлектрического смещения О. Как обычно нам нужно знать соотношения между О и Е, а также между В и Н. Как показано в электродинамике, диэлектрическое смещение О зависит от напряженности электрического поля Е и поляризации Р среды, в которой происходит процесс [c.114]

Эта задача на движение одного тела нам надо решить ее, чтобы найти вектор г как функцию времени. В исходной задаче двух тел, сформулированной в виде системы уравнений (42), нужно было определить зависимость двух векторов ri и Гг от времени. [c.282]

Знаменатель 1000 введен в уравнение (17) с той целью, чтобы сделать г)з достаточно большими числами, для которых в последней цифре позволительно пренебречь половиной по сравнению с единицей. Таким образом, нам придется оперировать только целыми числами. Чтобы сделать наш пример возможно более простым, начнем с грубой сетки, представленной на рис. 2. Тогда нам придется искать значения лишь для трех точек, для которых мы уже знаем точные значения (см. стр. 520). Вычертим квадратную сетку в достаточно крупном масштабе, чтобы на ней можно было записывать результаты промежуточных вычислений (рис. 7). Расчет начинается с принятых начальных значений которые мы запишем левей и выше каждой узловой точки. Значения 700, 900 и 1100 намеренно взяты несколько отличными от полученных ранее точных значений. Подставляя эти значения вместе с нулевыми значениями на границе в левую часть уравнения (18), находим остаточные усилия для всех узлов. Эти усилия записаны правее и выше каждого узла. Наибольшее остаточное усилие, равное 200, получается в центре сетки, и мы начнем процесс релаксации с этого узла. Добавляя к принятому значению 1100 поправку 50, которая записана на рисунке над числом 1100, полностью устраним невязку в центре. Поэтому вычеркиваем число 200 и ставим вместо него нуль. Теперь нам нужно изменить невязки в соседних узлах. Прибавим 50 к каждой из невязок и выпишем новое значение —50 над первоначальными значениями, как показано на рисунке. На этом заканчивается работа с центральным узлом сетки. Теперь мы имеем четыре симметрично расположенные точки с невязками, равными —50, и поправки удобно внести во все эти значения одновременно. Примем для всех этих точек одну и ту же поправку, равную —12i). Эти поправки напишем над [c.527]

В наших прежних примерах узловые точки сетки оказывались строго на границе и для всех точек применялась одна и та же стандартная процедура релаксации. Но часто точки, лежащие вблизи границы, соединяются с ней более короткими нитями. Ввиду раз- г личия в длинах нитей приходится — вносить некоторые изменения и в урав-нения равновесия (11) и (19). Эти изменения будут сейчас рассмотрены в связи с примером, представленным на рис. 15. Плоский образец с полукруглыми вырезами подвергается действию растягивающих усилий, равномерно распределенных по концам. Допустим, что разность главных напряжений в любой точке определена фотоупругим методом, как это объяснено в главе 5, и что нам нужно определить сумму главных напряжений, которая, как мы уже видели (стр. 49), должна удовлетворять дифференциальному уравнению (6). Для точек, расположенных на границе, одно из главных напряжений известно используя результаты фотоупругих экспериментов, можно определить и второе главное напряжение, в силу чего сумма главных напряжений вдоль границы будет известна. Таким образом, мы должны решать дифференциальное уравнение (6) при заданных значениях ф на границе. При использовании метода [c.537]

Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку Л1о(9у, р], to) на кривой Со, т. е. в уравнения (16) вместо qj, р) и to следует подставить [c.118]

Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные г и 6, то для решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции. В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два уравнения первого порядка (3.8) и (3.15). Две другие интеграции могут быть произведены (формально) разными путями. Наиболее простая процедура, по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его относительно г, находим [c.77]

Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, Х будет т-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить m ортогональных и нормированных собственных векторов fli, . т- Для этого достаточно взять т любых собственных векторов а[,. .а и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор й2, составляя линейную комбинацию векторов а[ и с, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме m первых целых чисел, т. е. у m (т + 1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять m условиям нормирования и — т(т — 1) условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. [c.358]

Очевидно, что материальная точка будет всегда оставаться в плоскости, содержащей центр сил и касательную к орбите. Так как в этой плоскости мы имеем две степени свободы, то нам нужны два диферен-циальных уравнения движения. Их можно составить разными способами, но проще всего исходить из двух первых интегралов, которые можно иметь на основании теоремы о моменте количеств движения и уравнения энергии. [c.197]

Все остальные величины как так и х с их производными до порядка п — 1, являются неизвестными, которые нужно определить для решения проблемы. Следовательно, нам нужно избавиться от т производных п-го порядка. Для этого мы воспользуемся первой из формул (3), которую можно записать в виде т уравнений [c.324]

Так как нам нужно найти максимальные значения сил, действующих на интересующий нас механизм, и, следовательно, максимальные значения ускорений его точек, то все указанные построения необходимо выполнить не для одного, а для целого ряда положений механизма. Тогда с помощью некоторых дополнительных графических построений (построения годографов скоростей и ускорений), а также решения некоторых систем уравнений удается определить опасные значения напряжений и методами теории механизмов и машин изменить в нужном направлении создавшееся положение. [c.128]

Особенный случай канонической формы есть тот, в котором мы исключаем все переменные у, s,. .. кроме двух t я х ж располагаем по производным от X по t. Но это исключение не необходимо для наших рассмотрений нам нужно только, как сказано, предположить дифференциальные уравнения приведенными к форме (1), где наивысшие производные в Л, [c.105]

Произведем, как обычно, подстановку u—vr тогда нам нужно решить уравнение (3.2) в области га с u — aa t ) на поверхности г = а и u = rf r) для начального момента времени. Решение, вытекающее из соотношений (4.1) и (5.1) гл. II имеет вид [c.243]

Таким образом, х является единственной неизвестной величиной, так как через нее выражаются все четыре мольные доли равновесной смеси. Поэтому для определения дг нам нужно еще одно уравнение, и этим уравнением является (19.26). [c.360]

В предыдущем изложении предполагалось, что отверстия у полюса оболочки нет. Если такое отверстие имеется, то мы должны удовлетворить граничным условиям как на нижнем, так и на верхнем ее крае. Для этого нам нужно принять во внимание оба интеграла (j) и (к) уравнения (d) (см. стр. 595), что приведет нас в конечном результате к такому решению уравнения (3 ), в котором будут содержаться четыре постоянные в каждом частном случае эти постоянные должны быть подобраны таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия на обоих краях. Соответствующие вычисления обнаруживают ), что если угол а не мал, то силы, распределенные по верхнему краю, оказывают лишь весьма слабое влияние на величину напряжений на нижнем крае, а так как эти последние напряжения бывают обычно наиболее значительными, то все необходимые данные для расчета оболочки с отверстием мы сможем получить, если при вычислении максимальных напряжений воспользуемся формулами, выведенными для оболочки без отверстия. [c.601]

Нам нет необходимости выполнять интегрирование по лг и г полностью, так как выражение А нам нужно лишь для того, чтобы путем диферен-цирования по А, получить уравнение для определения А,. Мы видим, что А, в выражения для и т вообще не входит, и потому соответствующие члены при диференцировании по обратятся в нуль. Что касается остальных членов, то в них при диференцировании войдут производные [c.168]

Как и а, величина d имеет размерность длины. Итак, нам нужно проинтегрировать обыкновенное диференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными козфициентами [c.340]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

Теперь нам нужно совершить предельный переход г —оо в уравнении (3.1.30). Как было отмечено выше, предполагается, что потенциал в гамильтониане (3.1.33) имеет конечный радиус действия го и не приводит к образованию парных связанных состояний. Иначе говоря, уравнения (3.1.32) описывает лишь такие столкновения, после которых частицы разлетаются. Поскольку каждая из сталкивающихся частиц находится под действием силы лишь в течение ограниченного интервала времени Гц, а затем движется с некоторым постоянным значением импульса, существуют предельные векторы [c.170]

Как и в разделе 4.5.1, мы ограничимся борновским приближением, поэтому нам нужно найти статистический оператор в линейном приближении по Ti. Тогда производную dgq t )/dt в уравнении (4.5.43) можно опустить ), а в последнем члене следует заменить g t ) на квазиравновесный статистический оператор. Итак, мы получаем выражение [c.317]

Как мы знаем, релаксация системы к равновесию описывается уравнениями Мори (5.3.21). В случае единственной базисной переменной (Р,Р) = О, поэтому П = 0. Таким образом, нам нужно рассмотреть уравнение [c.382]

Мы ограничимся рассмотрением изгиба пластинки равномерно распределенной нагрузкой и, чтобы воспользоваться условиями симметрии, расположим координатные оси, как указано на рис. 108. Нам нужно найти решение уравнения [c.408]

Нужные нам дифференциальные уравнения мы получим, как и при исследовании изгиба пластинок, если напишем условия равновесия для сил, приложенных к одному элементу, вырезанному из оболочки двумя бесконечно близкими меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к оси цилиндра. На рис. 139 представлена соответствующая этому элементу часть срединной поверхности после деформации оболочки и указаны направления усилий. .., ТУа, принятые нами [см. формулы (253, 255)] за положительные. Усилия эти имеют направления соответствующих координатных осей подвижной системы х, у, г ж потому при составлении уравнений равновесия нужно считаться с теми углами, на которые поворачивается эта система при переходе от одной стороны выделенного четырехугольника ОАВС к стороне, ей прямо противоположной- Так как эти углы зависят главным образом от искривления оболочки то растяжениями средин- [c.472]

Так как в последнее уравнение вошли плотности связанных нейтронов, то для получения нужного числа уравнений нам необходимо использовать связь, которая имеется между плотностями связанных нейтронов и плотностью тепловых нейтронов. Если считать ядра, являющиеся источниками запаздывающих нейтронов, неподвижными, то уравнения, выражающие эту связь, имеют вид [c.149]

Представим себе, что нам нужно вычислить распределение скоростей в потоке или распределение давлений по поверхности тела, находящегося в потоке. Так как скорость и давление являются функциями координат точки, то уравнения должны быть построены так, чтобы из них можно было определять эти величины как функции координат. Естественно здесь выделить в жидкости элементарный объем, записать для него уравнения динамики и перейти затем в этих уравнениях к пределу, стягивая выделенный объем к некоторой внутренней его точке. Под словом элементарный мы имеем здесь в виду такой объем, что (независимо от его действительной величины) можно пренебрегать в его пределах изменением скорости или плотности, т. е. рассматривать его как материальную точку ). [c.267]

Обтекание цилиндра. Как первый пример применения предыдущих уравнений разберём задачу об обтекании цилиндра радиуса а. Нам нужно прежде всего определить гармоническую функцию ср по условиям [c.644]

Отметим, что это уравнение в точности совпадает с (4.31),если подставить w z) вместо г (г) и положить С=0. Это как раз то, что нам нужно убирая член, содержащий С, мы преобразовали уравнение в линейное дифференциальное. Как мы увидим в следующем разделе, этот факт может иметь далеко идущие последствия. [c.187]

На контуре сумма главных напряжений может быть получена оптическим методом, как объяснено выше, и нам нужно решить уравнение [г] для того случая, когда величины суммы 2 по контуру известны. [c.147]

Так как нам нужно найти зависимость между скоростью и высотой падения, то из этого уравнения нужно исключить время, [c.376]

Теперь нужно построить необходимое число уравнений (9.3), чтобы полностью определить неизвестные коэффициенты (11.4) и (11.5). Поскольку мы должны определить 20 коэффициентов, нам нужно иметь максимум 20 независимых линейных алгебраических уравнений (11.3). [Как мы вскоре убедимся, ограничения (11.6), (11.7) и требование, чтобы коэффициенты [c.117]

Тогда в силу (5.92) сразу видим, что выражение вида (5.90) для функции будет удовлетворять третьему уравнению системы (5.91) при любых вещественных значениях а" и Ь". Так как нам нужно найти только какое-нибудь частное решение системы (5.91), то мы можем выбрать постоянные а" и Ь" совершенно произвольно, например, можем положить а" = I и Ь" = 0. [c.268]

Типичная ситуация, когда условие (3.6.16) i не имеет места в области пространства, занятой диэлектриком, предоставляется случаем, когда сильный разрыв (ударная волна) в общем случае смешанной электромагнитомеханической природы распространяется по диэлектрику, как зто происходит в экспериментах с керамикой. Все величины терпят конечный скачок при переходе через поверхность разрыва o t), движущуюся с абсолютной скоростью v в системе отсчета Ro. Уравнение Гюгонио— это уравнение термодинамической природы, связывающее состояние среды перед поверхностью сильного разрыва с множеством состояний, которые возможны за этой поверхностью. Чтобы получить это уравнение, нам нужно рассмотреть условия на скачках. (3.5.12), (3.5.14), (3.5.17), (3.2.79), (3.2.73), (3.2.77) и (3.2.75) при отсутствии потока тепла, поверхностного заряда и токов [c.207]

Так как нам нужно спроектировать уравнение (81) на оси Ox y z, то мы должны здесь прежде всего получить проекции на эти по-движные оси двух угловых скоростей мим соответственно твердого тела и осей Ox y z в их движении относительно осей, имеющих неизменные направления в пространстве. Обозначив проекции векторов (О и м на оси Ох у г соответственно через р, q, г, р, q, г и заметим прежде всего, что разность ю — ш есть угловая скорость твердого тела относительно стереонодальних осей. Поэтому, вспоминая только что сделанное замечание о вращении этих последних осей относительно осей, неподвижных в теле, я обозначая через k единичный вектор (неподвижный в теле) оси z, будем иметь [c.150]

Как известно, п должно быть обязательно целочисленным, в противном случае зависимость от углов не будет однозначной. Нам нужны лищь реще-ния (7), которые остаются конечными для всех положительных, действительных значений г. Уравнение (7) имеет на комплексной г-плоскости две особенности при г = 0 и при г=оо, причем лишь во второй из них, г=°о, все интегралы уравнения будут иметь существенно особую точку ). Эти две осо- [c.669]

Рассмотрим теперь произвольную деформирующуюся материальную систему в положении равновесия легко видеть, что как вся система в целом, так и любая произвольно выбранная часть её должны удовлетворять условиям (38.1) равновесия твёрдого тела. Заметим предварительно, что прибавление новой связи не может нарушить равновесия системы в самом деле, прибавление связи стесняет простор для выбора виртуальных перемещений системы следовательно, виртуальные перемещения системы с добавочной связью входяг, как частная система, в состав виртуальных перемещений для системы без добавочной связи а потому, если активные силы не давали работы на любом из виртуальных перемещений при отсутствии добавочной связи, то они не дадут работы и на виртуальных перемещениях при наличии этой связи. Отсюда вытекает, что любая материальная система обязана в своём положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твёрдого тела, так как равновесие этой системы не должно нарушиться и в том случае, если бы система затвердела. Прилагая условия равновесия твёрдого тела сначала ко всей системе, а затем к соответственно выбранным частям её, мы можем таким путём найти все те условия относительно приложенных сил, которые для нас интересны. Вообще говоря, для полного решения задачи о равновесии деформирующегося тела нам пришлось бы разбить его н бесконечно малые элементы, т. е. повторить указанный приём бесконечное множество раз в результате мы вернулись бы к основным уравнениям (36.10) на стр. 374 но часто случается, что, приложив указанный метод к двум, трём или более, но всё-таки к конечному числу частей системы, мы уже сможем найти всё, что нам нужно. [c.411]

Уравненне (17), в отличие от уравнения (1), кроме заданных параметров (а, р, у, б, б ) содержит еще два неизвестных параметра а и X, которые зависят как от углов данного четырехугольника, так и от других параметров, определяющих этот четырехугольник. Нам нужно получить два соотношения, могущие послужить для определения а и Я. [c.139]

Рассмотрим теперь два явления, которые нельзя описать в рамках используемого до сих пор приближения скоростных уравнений. Однако эти явления играют очень важную роль и заслуживают того, чтобы быть здесь представленными. Обратимся сначала к рис. 5.19, на котором приведены резонансные кривые как линии лазерного перехода (с центром при vo и шириной Avo), так и моды резонатора (с центром при v и шириной Av ). Предположим, что генерация происходит на этой моде и что нам нужно найти частоту генерации vren, а также ширину линии AvreH выходного спсктра. [c.272]

В таких случаях функция Грина описывает температуру в сечеиии z = onst в момент времени t в точке (х, у), обусловленную распределением единичных мгновенных линейных источников, расположенных вдоль прямой, параллельной оси 2, проходяш,сй через точку х, у ), в момент времени т. Иными словами, нам нужно получить решение v уравнения теплопроводности, удовлетворяющее заданным граничным условиям и ведущее себя при как [c.354]

Руководствуясь указаниями 103, мы можем принципиально решить любую задачу, относящуюся к фермам, если только, как в 96, можно пренебречь жесткостью узлов. При этом нам нужно решать систему /V совместных линейных уравнений, что формально просто, но практически очень трудно. Люди, сталкивавшиеся с такого рода вычислениями, наверное согласятся, что N, равное десяти или двенадцати, является наибольшим возможным для рассмотрения числом лишних элементов. Если N ббльшее число, то мы не можем быть уверены в точности окончательного результата. В силу указанной причины приходится пользоваться методами последовательных приближений, которые предложены сравнительно недавно. Закончим эту главу кратким изложением основных принципов упомянутых методов. Читатель сможет детально ознакомиться с ними, если обратится к оригинальным статьям, или книгам, которые будут приведены в 107 и 110. [c.148]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

Для интеграла (5) дифференциальное уравнение (4), в котором V, v, а суть неизвестные функции переменной s, можно рассматривать как уравнение неголономной (дифференциальной) связи. Следовательно, нам нужно найти такие законы изменения функций а(5) и v s), при которых интеграл (5) принимает минимальное значение и одновременно удовлетворяется уравнение связи (4) (т. е. удовлетворяются уравнения движения). Форму лированная вариационная задача является задачей на Условный экстремум. Ее решение можно получить, написав вспомогательную функцию [c.185]

Колебания, вызываемые сосредоточенной силой в безграничной упругой среде. Так как вопросы упругих колебаний подробно разбираются в третьем выпуске этой книги, то мы ограничимся здесь разбором случая, имеющего особое принципиальное значение, именно случаем сосредоточенной силы Р изменяющейся со временем и приложенной в некоторой точке безграничной упругой среды. Результатами решения этой задачи мы воспользуемся в дальнейшем для доказательства, что и проблемы упругих колебаний могут быть всегда сведены к случаю отсутствия массовых сил. Так как для бесконечного пространства граничные условия отсутствуют (они заменяются требованием, чтобы в бесконечности перемещения и напрян ения обращались в иуль), то нам нужно найти только правильное во всех точках, кроме начала коор динат, в котором гриложена сила Я( ), решение диференциальных уравнений движения [ 15, ур-ние (3)] [c.118]

Нам нужно более внимательно проанализировать структуру коэффициента W, который входит в уравнения лазера. Мы взяли этот коэффициент из полуклассической теории излучения Эйнштейна. Как будет детально показано в дальнейших главах, величину W нельзя считать одинаковой для всех типов фотонов. Чтобы показать, какова структура коэффициента W, мы выведем соответствующее выражение не очень строго. (Вывод его из основных Ьринципов будет дан в разд. 6.9). Величина W учитывает, конечно, взаимодействие светового поля с атомами. Если рассмотреть одиночную стоячую волну в виде sin kx, то совершенно ясно, что световая волна не может взаимодействовать каким-либо образом с атомом в точке л = О или в других нулях синусоидальной волны. Но можно ожидать максимального взаимодействия между атомом и световой волной, когда функция синуса имеет максимум. Поскольку атом и световое поле обмениваются между собой энергией, следует предположить, что W зависит не от амплитуды поля, а от его интенсивности, т. е. от квадрата амплитуды. Кроме синусоидальной волны в лазерном резонаторе могут генерироваться также другие типы световых полей (см. гл. 3). Обозначив соответствующие формы световых волн символом Uy с учетом сказанного введем вероятность перехода в виде [c.91]

Отсюда явствует, что для вычисления дипольного момента р нам нужно знать коэффициенты С/. Оказывается, что не так уж удобно решать вначале уравнение (5.22) и (5.23), а затем по формуле (5.28) вычислять дипольный момент. Будем действовать так, как, например, поступают при выводе уравнений Блоха для ядер-ного спина, т. е. выведем уравнения для среднего значения дипольного момента р. Заметим, что дипольный момент р известен, если известна величина [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...