Система уравнений для неравновесных функций распределения

Система уравнений для неравновесных функций распределения [c.399]

Таким образом, задача нахождения а состоит теперь в том, чтобы найти неравновесную добавку кН(к, /), возникающую под действием звука. Для этого можно воспользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Это уравнение для неравновесной функции распределения N к, /) применительно к нашей фононной системе имеет вид [c.256]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Цепочка уравнений Боголюбова (6.10) для неравновесных функций распределения лежит в основе статистической теории неравновесных процессов. Найдем частное решение этой цепочки уравнений для кинетической стадии эволюции неравновесной системы, определяемой кинетическим уравнением вида (6.12) [c.108]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Мы рассмотрим переход от уравнений микроскопической динамики к макроскопическим уравнениям сохранения, о которых говорилось в лекциях проф. де Гроота. Таким путем мы, например, выразим тензор напряжений и поток тепла через молекулярные переменные. Эти выражения будут включать неравновесные функции распределения, нахождение которых является центральной проблемой при рассмотрении задачи о переносе энергии. Далее будут получены эмпирические кинетические коэффициенты, связывающие между собой потоки и силы. Вначале мы рассмотрим однокомпонентные системы. Однако наши результаты без труда можно обобщить на случай многокомпонентных систем и таким образом определить эмпирический коэффициент диффузии и аналогичные ему величины при помощи микроскопических характеристик системы. Используя это определение, мы получим в дальнейшем доказательство соотношений взаимности. При доказательстве этих соотношений нам не понадобится вводить макроскопические усредненные переменные, как это делалось в лекции проф. Мазура. В своих рассуждениях мы будем исходить непосредственно из описания системы при помоши молекулярных динамических переменных. Некоторое усреднение, сглаживающее микроскопические неоднородности, необходимо только для получения необратимости. Мы будем применять сглаживающее усреднение только по времени. [c.220]

Описание неравновесной системы с помощью зависящей от времени многочастичной функции распределения является наиболее полным. Уравнение Лиувилля для этой функции в принципе позволяет воспроизвести результаты неравновесной термодинамики и теории, использующей простые вероятностные предположения о случайном поведении системы. [c.5]

Все феноменологические законы, в которые входят коэффициенты переноса, служат для замыкания системы уравнений гидродинамики. Однако такой подход к проблеме описания неравновесной системы на гидродинамическом этапе не является фактическим ее рещением, так как остаются не доказанными уравнения переноса (закон Фика и др.) и неизвестны коэффициенты переноса (коэффициенты диффузии, теплопроводности, вязкости и т. д.). Только микроскопическая теория позволяет решить эту проблему на основе решения кинетического уравнения. Одночастичная функция распределения /(г, V, t) содержит всю информацию о плотности, скорости, температуре, напряжениях и тепловом потоке в неравновесной системе. Это возможно потому, что /(г, V, t) зависит от семи переменных, а не от четырех, как все перечисленные макроскопические параметры. [c.140]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Для неравновесной системы электронов параметры 5 (р) и 2(к) являются некоторыми функционалами от одночастичной функции распределения f p t) и корреляционной функции По аналогии с равновесным случаем [см. (6.1.65)] следует ожидать, что функция 2(к) сингулярна в пределе к О, поэтому при вычислении средних значений в правых частях уравнений (6.1.61) и (6.1.62) вклад членов с малыми к необходимо учесть во всех порядках теории возмущений по оператору S. С этой целью наиболее удобно воспользоваться диаграммной техникой для термодинамических функций Грина. [c.22]

Как и в главе 8, базисные динамические переменные, удовлетворяющие локальным законам сохранения, будут обозначаться посредством а г). В гидродинамике неравновесное состояние системы описывалось средними значениями а г)) для которых выводились гидродинамические уравнения. В теории флуктуаций такого описания недостаточно, так как средние значения локальных переменных и моменты их флуктуаций удовлетворяют цепочке связанных уравнений. Таким образом, нужно расширить набор базисных переменных, включив в него произведения а г2), 2( 2) газ( з) и т.д. Недостатком этого подхода является то, что в нем приходится иметь дело со сложными формальными выражениями, содержащими бесконечные векторы и матрицы [98, 99]. Поэтому более удобно использовать уравнение для функции распределения (или функционала распределения) гидродинамических переменных, которое мы выведем в этом параграфе. [c.217]

Временные корреляционные функции. Линейные флуктуации в неравновесных системах могут изучаться как с помощью уравнения Фоккера-Планка для функции (функционала) распределения, так и с помощью эквивалентной ему системы уравнений Ланжевена для гидродинамических переменных. Наш анализ будет основан на методе Ланжевена ). [c.242]

Равновесная функция удовлетворяет кинетическому уравнению, обращая интеграл столкновений в нуль. В случае, когда равновесие нарушено, функция распределения п отличается от равновесного значения и должна быть найдена решением кинетического уравнения. Эта в общем случае неразрешимая задача упрощается для слабо неравновесных состояний, в которых отклонение от состояния равновесия мало. Отклонение от состояния равновесия в этом случае полностью определяется заданием первых производных от скоростей и и термодинамических переменных по координатам, величины которых предполагаются малыми. Другими словами, скорости v и и термодинамические переменные медленно меняются вдоль системы, так что в кинетическом уравнении всеми старшими производными и степенями первых производных можно пренебречь. [c.110]

Функция i t, р, q), удовлетворяющая уравнению (2.36), называется плотностью вероятности распределения системы по ансамблю для неравновесных (квазиравновесных) процессов. Уравнение [c.24]

Чтобы не оставалось ощущения неудовлетворенности в отношении возможностей механики в деле определения структуры функции распределения ш, рассмотрим этот вопрос немного подробнее на примере классической системы. Как мы уже говорили, механика может определить лишь уравнение движения для 1ю 1,х), но не ее вид. Это уравнение называется уравнением Лиу-вилля, и последовательный его вывод из уравнений механики содержится в том разделе, который посвящен кинетическим уравнениям (см. ТД и СФ-П), где оно является отправным пунктом дальнейшего исследования неравновесных систем. Здесь же мы приведем лишь интерпретацию этого уравнения и обсудим, что оно может дать для равновесной теории. [c.280]

Поскольку на кинетической и гидродинамической стадиях эволюции свойства неравновесной системы определяются одночастич-яой функцией распределения 1(я, р, t), то центральной задачей неравновесной статистической физики (физической кинетики) является вывод кинетических уравнений для различных систем, их решение и различные приложения. В нашем курсе эта задача решается методом функций распределения Боголюбова. [c.101]

Приведенное затруднение устраняется, если учесть, что обращение направления скоростей всех атомов макроскопически удаляет систему от равновесного состояния, как наиболее вероятного. Временная эволюция газа в этом случае определяется не уравнением Больцмана, а другим кинетическим уравнением, которое, как и уравнение Больцмана, может быть получено методом неравновесных функций распределения Боголюбова. Этот вопрос, а также рещение парадокса возврата Цермело мы обсудим в следующем параграфе. А сейчас обратимся к статистическому выражению для энтропии неравновесной системы. [c.123]

Для общего случая конденсированной среды и без приближения систем со слабым взаимодействием в книге Д. Н. Зубарева [97] показана возможность описания гидродинамической стадии с помощью некоторой неравновесной функции распределения (т.н. неравновесным статистическим оператором), зависящей от времени через свои параметры. Метод неравновесного статистического оператора Зубарева затем развивался в работах С. В. Пелетминского (см. книгу [99]). Если соответствующим образом выбрать параметры, описывающие состояние системы, то можно построить уравнения для динамических переменных, которые будут справедливыми и на кинетическом этапе эволюции [100, 101. [c.65]

Перейдем Тейерь К непосредственному описанию и te Мы фотонов, находящихся в неравновесном состоянии. Согласно принципам изложения в настоящем курсе мы собираемся сформулировать и рассмотреть некоторые уравнения для определения неравновесной функции распределения фотонов. В этой части курса в качестве такого исходного уравнения мы будем использовать кинетическое уравнение Больцмана. Вопрос об определении условий, при которых для описания данной системы применимо уравнение Больцмана, очень сложен и на сегодня до конца не исследован. Качественно ясно, что строго уравнение Больцмана применимо лишь в случае, когда время пробега между столкновениями (время свободного пробега) много больше продолжительности столкновений. Отсюда следует, что описание с помощью уравнения Больцмана становится неверным в случае высокой плотности вещества или при наличии дальних взаимодействий (когда частицы как бы все время находятся в столкновении ). Однако количественная оценка этих качественных рассуждений чрезвычайно сложна. [c.60]

Один из возможных подходов к разрешению парадокса необратимости уже обсуждался в параграфе 1.3. Суть этого подхода заключается в описании неравновесных процессов с помощью крупноструктурных функций распределения, усредненных по малым фазовым ячейкам или по малым промежуткам времени. Применяя усреднение функций распределения по времени, Кирквуд [103] вывел необратимое уравнение Фоккера-Планка для броуновских частиц и получил выражение для коэффициента трения через корреляционную функцию сил, действующих на броуновскую частицу со стороны частиц среды. В работах Кирквуда содержалась важная идея сокращенного описания неравновесной системы, т. е. описания, основанного на неполной информации о состоянии системы. К сожалению, оказалось, что метод Кирквуда очень трудно распространить на другие задачи кинетической теории и неравновесной термодинамики. Поэтому мы используем другой способ перехода к сокращенному описанию. В нем состояние системы характеризуется набором коллективных переменных ( наблюдаемых ), зависящих от динамических переменных частиц. [c.80]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Метод кинетических уравнений относится к существенно неравновесному движению статистической системы 5л , в первую очередь макроскопически однородному в объеме У- оо физического пространства. Для простоты рассмотрим систему состоящую из М оо частиц одного сорта плотности Л /У=и = сопз1 с совершенно одинаковыми потенциалами парного взаимодействия иш — и(р1 т), т. е. систему неразличимых частиц, каждая из которых может занимать любое положение внутри объема. Физически такая система является классическим приближением одноатомного нейтрального газа. Функция распределения м(р, 7 будет симметричной, т. е. не будет изменяться от перестановки пар (Ч/, р/) и (я , р .) для любых к, /=1, 2,. .., N. Область Г изменения импульсов и координат всех точек системы бесконечна и состоит из объединения бесконечного числа одинаковых для лю- [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...