Задача с каустике

При асимптотическом интегрировании уравнений с переменными коэффициентам-и характерной является ситуация, когда в области интегрирования появляются переходные линии (в акустике они называются каустиками), которые делят эту область на части с качественно различным поведением решения. В задачах устойчивости оболочек переходные линии выделяют часть срединной поверхности, на которой расположены вмятины при потере устойчивости. Интересующему нас наименьшему собственному значению соответствует форма потери устойчивости, у которой вмятины занимают лишь небольшую часть срединной по- [c.14]

Заключение. Резонаторы для лазеров с кольцевым сечением среды. Изложенные в настоящей книге сведения о наиболее общих свойствах резонаторов трех фундаментальных классов (типа устойчивых с удержанием поля каустиками, типа плоских с удержанием поля за счет краевой дифракции и типа неустойчивых с расширением сечения пучка на обходе резонатора) носят весьма универсальный характер. Это позволяет пользоваться ими не только в стандартных ситуациях, но и при решении принципиально новых задач лазерной техники. [c.253]

Lt- 2Lt, пучок приобретает максимальные Приращения углов расходимости и смещения центра тяжести. Структура интенсивности пучка деформируется и первоначально круглый пучок трансформируется в серпообразный, с выпуклой стороной, обращенной к ветру [44]. В области дистанций 2Lj формируется зона локальной фокусировки (рис. 3.1) [46], координаты которой совпадают с положением каустики, если рассматривать задачу в приближении геометрической оптики [44]. [c.67]

Проекция ребра возврата дискриминанта группы отражений является гиперповерхностью в С . Мы будем называть эту гиперповерхность каустикой группы отражений. Каустики групп отражений встречаются в качестве ответов во многих задачах геометрии особенностей. [c.101]

Начнем с примера рассмотрим расстояние от точки евклидовой плоскости до данной кривой например, от точки, лежащей во внутренности эллипса до границы этого эллипса (рис. 1). Соответствующие лучи (экстремали этой вариационной задачи) суть нормали к эллипсу. Минимальное значение функционала (расстояния) удовлетворяет как функция начальной точки уравнению Гамильтона-Якоби (Уг1) = 1 (в точках гладкости). Однако эта функция имеет особенности (на отрезке, соединяющем фокальные точки эллипса). Система лучей также имеет особенности. Они лежат на астроиде, являющейся огибающей системы нормалей к эллипсу. Огибающая системы экстремалей называется каустикой системы. Каустика нашей системы имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы любая кривая, достаточно близкая к эллипсу, имеет каустику, близкую к астроиде и имеющую четыре полукубические точки возврата. [c.1]

Таким образом, изучение особенностей и перестроек таких объектов, как волновые фронты, каустики, системы лучей и т. д., связанных с типичными вариационными задачами, сведено к изучению стандартных особенностей соответствующих объектов. Например, изучение перестроек движущихся волновых фронтов сведено к изучению сечений гиперповерхностями (обобщенных) ласточкиных хвостов. [c.3]

В качестве примера рассмотрим плоскую задачу для случая, когда скорость с М)=. Пусть ЛВ —некоторое положение волнового фронта (рис, 5). Семейство лучей совпадает в данном случае с семейством нормалей к АВ, а каустика —с огибающей СО этого семейства нормалей. Напомним, что огибающая нормалей к АВ называется эволютой кривой АВ, сама же кривая АВ — эвольвентой кривой СО. [c.43]

Предположим, что каустики (или, что то же, поверхности М-пад(Л1. у) = 0) определены вблизи кривой С и представляют собой семейство достаточно гладких поверхностей, гладко зависящих от параметра Пусть далее, как и в эталонной задаче, поверхность 5о совпадает с 5, при у < О поверхность лежит внутри 5, при у > О вне 5. Предположим далее, что на 5 [c.392]

Задача настоящего параграфа — выбрать начальные данные таким образом, чтобы каждый луч падающей волны, проходящий вблизи кривой С, совпадал с точностью до величин порядка 0(уЛ 1-н1) с каким-нибудь лучом из лучей, подходящих к некоторой п. каустике (4.1). Если такое согласование выполнено, [c.397]

Рассмотрим первую, геометрическую, часть решения для задачи о переходе волновод—рупор. Поскольку в этой задаче стенки выпуклы, т, е. у">0, то при каждом отражении расходимость лучей увеличивается и поля представляют собой расходящиеся волны с мнимыми каустиками, т. е. наклон (x) луча, выходящего из точки X, —f(x), монотонно убывает с ростом х. А так как иа- [c.52]

Изложенное выше дает определенную основу и для рассмотрения некоторых классов незамкнутых колебательных систем — открытых (рис. 2.5, а, б) и проходных (рис. 2.6, а, б) резонаторов, в частности бочкообразных и двухзеркальных открытых резонаторов в виде тел вращения, основным механизмом возбуждения высокодобротных колебаний в которых является образование внешних каустик (обозначены буквой К) (см. рис. 2.5). Если мысленно продолжить металлическую границу (пунктирные линии на рис. 2.5) в область экспоненциально слабого поля, то при этом структура поля практически не изменится. Это означает, что резонансные частоты (действительные части комплексных собственных частот) и распределения полей с достаточной точностью могут быть найдены по описанному выше алгоритму. Расчет радиационной добротности представляет отдельную задачу для ее решения может быть использована, например, импедансная трактовка [13] либо другие методы, причем полученная ранее информация о структуре полей и резонансных частотах системы может быть здесь весьма полезна. [c.104]

Однако любому расчету, основанному на этом предположении, присуща в одном отношении ограниченность, которой нет в случае линейной геометрической оптики. Там хорошо известно, что решения, однозначные в некоторых пространственно-временных областях, могут стать многозначными в других. Действительно, как только появляется каустика, решение по одну сторону от нее является по крайней мере двузначным, например с двумя различными значениями волнового вектора в каждой точке. Однако хотя приближение геометрической оптики не является точным в непосредственной близости каустики, сама многозначность не мешает решению давать хорошие результаты в удаленных от каустики областях. Происходит это потому, что в линейных задачах возможна суперпозиция решений и, следовательно, две отдельные волны с различными амплитудами и волновыми числами могут локально сосуществовать в линейной комбинации. [c.45]

К главе 2. Задача о каустике давно и подробно исследовалась разными методами, см. 35 8, гл.2], где излагается равномерный" вариант представления поля в окрестности каустики, восходящий к работам Ю.А.Кравцова, Ю.В.Газаряна и Д.Людвига. Исходные положения наших рассмотрений (они полностью соответствуют статье В.М.Бабича, С.А.Егорова i7Л ) те же, что и работы Дж.Келлера, Р.Бачела [3]. Центральной дополнительной идеей здесь оказалась лемма единственности, позволившая в принципе склеить лучевые решения с разложениятт пограничного слоя во всех приближениях. [c.116]

Бабнч В, М., Егоров С, А. Решение задачи о каустике с помощью локальных разложений, — В ки, Вопросы динамической теории распрогтранепнн сейсмических волн, Л Паука , 1973, вып. XIII, с. 4—14. [c.242]

Пример 3. Резонаторы ГЛОН. Как уже отмечалось, в ГЛОН могут быть использованы резонаторы двух типов открытые и волноводные. Расчет характеристик открытых резонаторов ГЛОН MIR- и // -излучение) не отличается принципиально ни по постановке задачи, ни по технике ее реализации на ЭВМ от задач открытых резонаторов в оптическом диапазоне. Поэтому при расчетах открытых резонаторов ГЛОН можно пользоваться методиками и программами, изложенными в гл. 2. Рассмотрим результаты расчетов и анализ волноводных резонаторов. Конструктивно волноводный резонатор заложен в любом газовом лазере с разрядной трубкой, которая может рассматриваться как диэлектрический полый волновод. Но в оптическом диапазоне влияние стенок трубки на формирование поля в резонаторе не учитывается, так как отношение (ИХ d — диаметр трубки, X —длина волны) в этом диапазоне очень велико и каустика эффективного поля резонатора при таких условиях меньше диаметра трубки. Однако в ИК-диапазоне с успехом используются волноводные СОг-лазеры, где отношение d/i много меньше, чем в обычных лазерах за счет уменьшения d (единицы мм) [37]. При расчете характеристик такого лазера учитывается влияние стенок на формирование поля в резонаторе. В лазерах с оптической накачкой при увеличении длины волны излучения вплоть до субмиллиметрового и миллиметрового диапазонов отношение d/X становится еще меньше, даже с учетом того, что диаметры их трубок для увеличения эффективности генерации делаются большими по сравнению с диаметрами трубок СО -лазеров. Поэтому роль стенок трубки в заполненных эффективным полем объеме резонатора увеличивается. Рассмотрим наиболее типичную схему волноводного резонатора ГЛОН (рис. 3.28). Зеркала этого резонатора, расположенные на торцах диэлектрического поля волновода (трубки), имеют отверстия di и dg соответственно для ввода излучения накачки в активную среду ГЛОН и вывода излучения генерации. Так как задача является осесимметричной, будем искать искомые поля в резонаторе как функцию от координаты U (г). В качестве базисных функций этой задачи выбираются радиальные ортонормированные собственные функции бесконечного полого диэлектрического волновода со следующими условиями. [c.163]

Метод фотоупругости — широко применяющийся оптический экспериментальный метод исследования напряженного состояния, в котором используется искусственная оптическая анизотропия, возникающая в прозрачных диэлектриках при приложении нагрузки. В отличие, например, от метода каустик, который применяется только при исследовании напряженного состояния тел с трещинами, метод фотоупру-гости имеет значительно более широкий диапазон использования. Применение метода фотоупругости к задачам динамической механики разрушения впервые было продемонстрировано в работе [ 108 ]. [c.86]

В работе [ 107 ], в которой устанавливается теоретическая связь каустик с характеристиками сингулярного эластодинамического поля напряжений, указьшается, что другие экспериментальные методы (методы фотоупругости, муара, голографической интерферометрии, датчиков деформаций и др.) при применении к задачам динамики трещин имеют ряд недостатков. Так, оптические методы, основанные на обобщенном законе Ньюмарка-Максвелла, подвержены влиянию таких отрицательных факторов, как изменение индекса рефракции, несовер- [c.97]

Лучевая асимптотика ). Фронт распространяющейся волны представляет собой поверхность разрыва для производных некоторого порядка от смещений. В силу этого в окрестности фронта изменение поля смещений в направлении нормали к фронту значительно более интенсивно, чем такое же изменение вдоль фронта. Это позволяет рассматривать окрестность каждой точки фронта как локально-плоскую волну. На этой идее построен асимптотический метод изучения окрестности фронтов (для неподвижного наблюдателя — окрестности первого вступления некоторой волны). Этот метод давно известен в акустике и оптике. Перенос его в теорию упругости был впервые осуществлен в работе М. Л. Левина и С. М. Рытова (1956). В дальнейшем он подвергался разработке и использовался как средство приближенного решения задач отражения и преломления. Описание поля в окрестности фронта можно строить с разной степенью точности в прикладных задачах обычно пользуются первым приближением, но есть случаи, когда оно принципиально недостаточна (Г. С. Подъяпольский, 1959). Лучевой подход, с одной стороны, обладает большой общностью, например, он применим без особых осложнений к неоднородным средам. С другой стороны, есть исключительные ситуации, где он не работает или требует существенной перестройки, например в окрестности начальных точек головных волн (и вообще точек пересечения фронтов), в окрестности каустики и др. (В. М. Бабич, 1961 Ю. Л. Газарян, 1961 Б. Т. Яновская, 1964). [c.297]

Техника, на которую опирается изучение особенностей систем лучей, каустик, волновых фронтов и других объектов, связанных с геометрической оптикой и вариационным исчислением, идёт из симплек-тйческой и контактной геометрии. Симплектический анализ работы О.П.Щербака привёл А.Б.Гивенталя [8] к открытию задачи классификации волновых фронтов, решения которой юаимно однозначно соответствуют конечным группам Кокстера, порождённым евклидовыми отражениями. [c.4]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

В последнее время появилось много работ, в которых строились равномерные асимптотические разложения решений дифракционных задач. Эти разложения обладали рядом неоспоримых достоинств, однако имелись и недостатки. Например, коэффициенты равномерных разложений вблизи каустики имеют вид неопределенности о/о, что затрудняет расчет волнового поля на ЭШ. Равномерные разложения с трудом подцаются физической интерпретации. [c.3]

В заключение наметим кратко путь решения задачи об отражении волны, имеющей каустику или фокальную линию, которая пересекает границу тела. В этом случае первичное поле должно быть задано своим каустическим или фокальным разложением (гм, гл, 3). Поэтому при удовлетворении граничных условий естественно искать и отраженную волну в форме каустического (или фокального — для осесимметричеокой задачи) разложения. Однако, как будет показано, параметры этих разложений однозначно связаны с лучевыми разложениями. Поэтому, если определить лучевое разложение отраженной волны по лучевому разложению падающей, не обращая внимание на бессмысленность этих разложений вблизи каустик, то затем можно будет перейти (уже в конечном ответе) к каустическим или фокальным разложениям. [c.49]

В чем польза от такого дифракционного интеграла С его помощью можно рассмотреть те области, где непригодны и лучевые, и каустические, и фокальные разложения, т. е., например, упомянутые окрестности точек возврата каустик, пересечения каустических поверхностей и т. д. Конечно, представление поля в виде дифракционного интеграла — это еще не решение проблемы вычисления поля, а лишь ее сведение к другой — к вычислению интеграла. Однако эта задача проще, чем первоначальная во многих случаях она может быть решена методом стационарной фазы или его модификациями, а кроме того, всегда можно попользовать чи-сленное интегрирование. [c.78]

Структурно-устойчивые каустики отнюдь не исчерпывают типы особенностей лучевых структур, возникающих в физических задачах. Это связано с различием классов возмущений, которые рассматриваются в теории катастроф и реализуются, вообще говоря, в конкретных физических задачах. Например, структурно-неустойчивыми оказываются такие, обладающие несомненной физической значимостью, объекты, как плоская и сферическая волны [151, 304]. Далее, не всегда выполняются условия достаточной гладкости функции р (г. г, ,ef) в (17.1). В средах со слабыми границами раздела, на которых испытывает разрыв градиент скорости звука, образуются разрывные (оборванные) каустики (см. [1, 428, 429, 448, 469] ). При переходе точки наблюдения через любую ветвь структурно-устойчи-вой каустики количество приходящих лучей меняется на четное число. Как мы видели в 9 и 14, в случае каустики с просачиванием или каустики, образованной при участии дифракционного луча, число приходящих лучей меняется на единицу. Указанные образования не подпадают под классификацию на основе теории катастроф. Другие примеры см. в [151, 4], [152]. [c.385]

Из исследований волновых полей в окрестности структурно-неустойчивых особенностей необходимо отметить равномерные асимитотические разложения при наличии фокуса [1.39] и каустики с произвольным, но неизменным порядком касания с лучами [207]. Геометрически такая каустика представляет собой гладкую поверхность. Она возникает, в частности, при падении плоской волны на слоистое полупространство, если в окрестности точки поворота 2, скорость звука удовлетворяет соотношению (z) (Zr) = О ((z 2г)°). Эталонными в зтой задаче являются функции Бесселя порядка (2 + а) (см, формулы (3.36) - (3.38)). Качественно поведение звукового поля в окрестности такой каустики подобно случаю простой каустики (он получается при а = 1), рассмотрен- [c.385]

Отражение волн от слоисто-неоднородной среды должно происходить также, когда велик grad п. Однако коэффициент отражения не слишком мал лишь в том случае, когда переходная область от одного значения п к другому порядка kJ2n и меньше. В пределе при стремлении толш ины переходного слоя к нулю мы приходим к обычной задаче об отражении волн от границы раздела двух сред. При волноводном распространении имеются дополнительные ограничения применимости геометрической оптики, связанные с тем, что семейство лучей в волноводе имеет целый ряд каустик, которые сближаются по мере увеличения расстояния от источника вдоль оси волновода, поэтому, начиная с некоторого расстояния х, лучевая теория для определения поля при волноводном распространении в неоднородной среде неприменима. [c.237]

Для смеси газ — твердые частицы получены соотношения па комбинированном разрыве с учетом конечного размера частиц. Показано, что этот разрыв имеет поверхностную массу и является, как правило, нестационарным. Предложена континуально-дискретная. модель, в рамках которой исследованы каустики в псевдогазе частиц. Отмечено, что в двухфазной среде масса частиц па каустике не превосходит некоторой величины, которая определяется отношением д.лины скоростной релаксации к диаметру частицы. Решена задача о разлете оболочки с учетом разрушения и истечения продуктов детонации между осколками. [c.4]

Возбуждение упругих волн рассматривается вначале с наиболее элементарного источника, а именно с точечных сосредоточенных сил, действующих в однородной среде. Иа основе изучения -волновых полей от таких простых источников рассматривается задача излучения волн, когда силы приложены к цилиндрическим, сферическим и плоским границам. Для расчета некоторых более сложных источников используется принцип взаимности. При излучении волн точечным источником, действующим в поперечно-изо-тропной среде, возможны регистрация нескольких вступлений S-волны и пояплеяпе каустик. Коротко обсуждаются характеристики некоторы.х устройств, возбуждающих сейсмические волны применительно к упрощенны.м математическим моделям источников. Аналогичным образом рассматриваются вопросы, относящиеся к регистрации волн. Предполагается, что такие характеристики волн, как с-корость движения частиц, напряжение или дилатация, могут быть в принципе измерены. Поэтому приводятся некоторые экспоримепты, в которых были сде.таны попытки измерить указанные параметры существуюихими датчиками. [c.10]

Одночастичная функция Грина несет на себе всю информацию о регулярно неоднородной среде. В частности, она отвечает за рефракцию сейсмических и акустических волн на медленных по сравнению с длиной излучаемой волны изменениях параметров среды и за их отражение и преломление на резких изменениях модулей упругости и плотности среды (например, обусловленных их слоистой структурой) по сравнению с характерной длиной волны. Интересующая нас в этой главе основная задача - сейсмическая локация бокового обзора при правильной постановке эксперимента позволяет избавиться от отраженных и преломленных волн, поэтому мы их не будем учитывать (хотя их учет не вызывает принципиальных затруднений). Рефракция волн полностью описывается квазиклассическим приближением для функций Грина (или приближением геометрической акустики - лучевым приближением). Это приближение достаточно полно описывает сейсмическое поле в регулярной среде с учетом его продолжения за каустику с помощью канонического оператора Маслова [93, 94]. Мы, однако, для простоты ограничимся здесь случаем разложенной квазиклассики , когда фаза квазиклассиче-ской функции Грина может быть представлена в виде криволинейного интеграла [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...