Точка возврата каустики

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции h(s) близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл [c.363]

Положение в окрестности точки возврата каустики (носика) иллюстрируется рис. 3.6, где пунктиром показан луч, касающийся каустики в точке возврата. В области / в точку Р приходят три луча, из которых два касаются ветви а один — ветви В. В области II два луча касаются ветви а третий — ветви [c.67]

Рис. 17.2. Лучевая картина вблизи точки возврата каустики. Смысл координат X лУ поясней в тексте

В точке возврата каустики обращаются в нуль величины Oi, a tbo, X, Y. Ограничимся вычислениями с точностью до квадратичных по а, н членов. Для определения X, Y к уро этом приближении в первые три уравнения (17.60) достаточно подставить значения i и 62 при = 2 =0, которые легко отыскиваются из 5-го и 6-го уравнений. Приведем также значение Ь% при 0% =ai= О, которое понадобится нам в дальнейшем [c.382]

Отсюда, а также из (43.16) видно, что на огибающей семейства лучей фактор фокусировки действительно обращается в бесконечность. Ширина лучевых трубок здесь обращается в нуль. Еще более сильная фокусировка волн имеет место в фокусах, которые могут быть или изолированными или являться точкой возврата каустик (см. ниже). [c.261]

Поле в окрестности точки возврата каустики. Типичной особенностью каустических кривых являются точки возврата. На рис. 46.3, например, [c.275]

Рис. 45.4. К анализу поля в окрестности точки возврата каустики

ЭТО точки А, А. При волноводном распространении точек возврата может быть сколь угодно много (см., например, рис. 43.8). При приближении к точке возврата каустики ГоО, и поэтому формула (45.14) для расчета поля в окрестности точки возврата не годится. [c.276]

Точка возврата каустики 275, 282 [c.341]

Рис. 2.6. а — отражение радиоволн, образующих каустику в -слое ионосферы [слева показан профиль показателя преломления, уменьшающегося в области ионосферной плазмы в соответствии с выражением (1.2.47)] б — конгруэнция падающих лучей в — конгруэнция отраженных лучей на каустике падающий и отраженный волновые фронты образуют точки возврата. [c.73]

Сечеиие каустики с точкой Возврата [c.88]

Рис. 2.15. а — двулистная поверхность каустики, связанная с волновым фронтом, имеющим вращательную симметрию б — сечения показанной на рис. а каустики плоскостью, проходящей через ось вращательной симметрии сечения с точкой возврата могут быть ориентированы в разные стороны в зависимости от вида волновых фронтов. [c.88]

Рис. 2.16. а — пересечение лучей вблизи регулярной точки каустики б — волновые фронты, соответствующие случаю на рис. а в — точка возврата, образуемая на каустике волновыми фронтами г — пересечение лучей вблизи точки возврата в этом случае более двух лучей могут пересекаться в одной точке и приводить к образованию сложной интерференционной картины отмечена также точка Q, лежащая в темной зоне одной ветви каустики и в светлой зоне другой ветви. [c.89]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

На рис. 70 показаны кривые, определяемые уравнениями (194) при нескольких различных значениях постоянной Z , они дают представление о форме гребней в картине корабельных волн Кельвина. Конфигурации всех гребней имеют точки возврата на границе клина. Пунктирными линиями представлены их продолжения за пределы этой границы, поскольку, как мы увидим в гл. 4, амплитуда волны за этой границей — каустикой — не спадает скачком до нуля, а убывает экспоненциально. Внутри клина более длинные волны, распространяющиеся под малыми углами 0, и более короткие, распространяющиеся под большими углами 0, часто налагаются друг на друга при промежуточных числах Фруда (рис. 71). Однако при малых числах Фруда преобладают более длинные волны, [c.339]

В неоднородных системах, таких, как звуковые волны в стратифицированной атмосфере или воздушном потоке (разд. 4.6), также возможно, чтобы лучи сходились, образуя огибающую , вне которой, согласно лучевой теории, находится зона тишины. Внутренние волны также обычно имеют каустику с двумя системами лучей ниже ее и с отсутствием лучей выше ее это может быть либо огибающая (рис. 80, б), либо геометрическое место точек возврата лучей (рис. 80, а). Во всех этих случаях исцеленный вариант лучевой теории может быть получен из свойств интеграла Эйри, на этот раз из его дифференциальных свойств. [c.466]

На рис. 64 представлены сечения гиперповерхности двумерными слоями типичного близкого расслоения, база которого изображена на рис. 65. Сечения множества Mi на рис. 64 изображены двойными линиями, следы каустики — пунктирными линиями. Множеству М2 принадлежат, кроме Mi, продолжения линий Ml за тройные точки (и их остатки после исчезновения тройных точек). Множество М содержит еще соединяющие эти продолжения отрезки и отрезки, соединяющие их с обозначенными Mi продолжениями линий М и Мз за точки возврата следов каустик. [c.116]

Пример. Для особенности Лз (рис. 54) база — плоскость. Каустика — полукубическая парабола, полное множество Максвелла — ее касательная в точке возврата. Вместе они делят плоскость на четыре части. [c.121]

Начнем с примера рассмотрим расстояние от точки евклидовой плоскости до данной кривой например, от точки, лежащей во внутренности эллипса до границы этого эллипса (рис. 1). Соответствующие лучи (экстремали этой вариационной задачи) суть нормали к эллипсу. Минимальное значение функционала (расстояния) удовлетворяет как функция начальной точки уравнению Гамильтона-Якоби (Уг1) = 1 (в точках гладкости). Однако эта функция имеет особенности (на отрезке, соединяющем фокальные точки эллипса). Система лучей также имеет особенности. Они лежат на астроиде, являющейся огибающей системы нормалей к эллипсу. Огибающая системы экстремалей называется каустикой системы. Каустика нашей системы имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы любая кривая, достаточно близкая к эллипсу, имеет каустику, близкую к астроиде и имеющую четыре полукубические точки возврата. [c.1]

Доказывается, что стандартные особенности устойчивы, и что в общем случае появляются только они. Например, каустика окружности состоит только из одной точки — её центра. Такая особенность не типична, но если немного деформировать окружность, эта вырожденная каустика в центре трансформируется в небольшую кривую, чьи особенности становятся типичными полукубические точки возврата и точки самопересечения. [c.3]

Пример 1. Типичная одномерная каустика имеет (помимо самопересечений) только полукубические точки возврата (особенности Лз). Типичная двумерная каустика имеет (помимо самопересечений) только ласточкины хвосты (Л4), пирамиды В ) и кошельки (/ /), рис. 15 (Эти В особенности Р.Томом в [22] были названы омбилическими особенностями , так как они связаны с омбилическими точками на 2-поверхностях в евклидовом 3-пространстве они являются особенностями фокальных множеств поверхностей.) [c.28]

Проблема. Якоби в [90] упомянул о том, что любая каустика семейства геодезических, стартующих в общей точке эллипсоида, имеет не менее четырёх точек возврата. Верно ли это для других римановых метрик на сфере (например, для типичных метрик, близких стандартной) Это свойство четырёх точек возврата, если оно имеет место, должно быть обобщением на симплектическую топологию теоремы о четырёх вершинах, согласно которой замкнутая плоская кривая имеет не менее четырёх точек точек экстремума кривизны (см. [91], [92]). [c.58]

Начиная с 1993 года исследования симплектических обобщений упоминавшихся во Введении теорем о четырёх вершинах и четырёх омбилических точках привели к созданию теории инвариантов и перестроек кривых и волновых фронтов на плоскости [192]-[19б], связанной с теорией инвариантов узлов. Появились работы об оценках числа точек уплощений кривых в многомерных проективных пространствах, числа точек возврата на каустиках лагранжевых цилиндров, близких к системе нормалей окружности (лагранжевых коллапсов), и многие другие [194]. [c.157]

Точка возврата фронта скользит по каустике, изображённой на рис. 131 двойной линией и имеющей в точке внутреннего отражения особенность — разрыв второй производной. Кривизна каустики в этой [c.306]

Остается, впрочем, возможность оценки, снизу числа точек возврата каустик (огибающих системы нормальных к кривой геодезических) римановых метрик (или, более общим образом, числа сборок на оптическом лагранжевой многообразии, см. [18], [39]). Для получения такой оценки достаточно доказать некоторый аналог неравенства Беннекена для контактных структур в полнотории S XD . [c.226]

Выше был pa MOTipeH ряд ситуаций (окрестность гладкой ветви каустики, фокальная линия), в которых нельзя использовать лучевые разложения, поэтому приходилось обращаться к асимптотикам более сложного вида. Нетрудно указать, однако, случаи, когда неприменимо ни одно из приведенных разложений. Примерами могут служить окрестность точки возврата каустики, окрестность фокуса сходящейся волны, область пересечения двух каустических поверхностей и т. д. Как быть в этих случаях Как определить поле в тех областях, где, с одной стороны, законы ГО неприменимы, а с другой стороны, известна лучевая структура подходящего к каустике поля и, вдали ог каустики, лучевое разложение этого поля [c.77]

В чем польза от такого дифракционного интеграла С его помощью можно рассмотреть те области, где непригодны и лучевые, и каустические, и фокальные разложения, т. е., например, упомянутые окрестности точек возврата каустик, пересечения каустических поверхностей и т. д. Конечно, представление поля в виде дифракционного интеграла — это еще не решение проблемы вычисления поля, а лишь ее сведение к другой — к вычислению интеграла. Однако эта задача проще, чем первоначальная во многих случаях она может быть решена методом стационарной фазы или его модификациями, а кроме того, всегда можно попользовать чи-сленное интегрирование. [c.78]

Фокусировка звука в окресшости каустического острия и других особенностей лучевых структур. Типичной особенностью каустических поверхностей являются острия, или клювы. В сечении эта особенность дает точку возврата каустики. Для точечного источника в слоистой среде точки возврата образуют окружности, лежашие в горизонтальной плоскости. При волноводном распространении клювов может быть сколь угодно много. Лучевая картина в окрестности точки возврата О каустики показана на рис. 17.2. Каустика изображена жирными линиями. Выше ветви ОА каустики через каждую точку проходит одни луч (например, 55 ), касаюшийся ветви ОВ. Аналогично, ниже ОВ через каждую точку проходит луч, касаюшийся ОА. Между ветвями ОА и ОВ через каждую точку проходят три луча. Два нз них касаются ближней ветви каустики, третий - дальней ветви. В точке О три луча сливаются в одни, который служит обшей касательной для ветвей ОА и ОВ каустики. [c.375]

Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337]. Ранее методом эталонных функций были получены алгебраические уравнения для определения значений аргументов интегралов Пирси и амплитудных коэффициентов [442].Отметим,что асимптотика (17.55), (17.56) описывает также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы прн наличии аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к геометроакустическим результатам см. [151, 11]. [c.381]

Уже в рассмотренном выше случае каустического клюва определение параметров X, У, >0 равномерной асимптотики из системы алгебраических уравнений представляет нетривиальную задачу. Для большего числа сближающихся перевальных точек решение соответствующих алгебраических систем наталкивается на трудно преодолимые сложности, и приходится ограничиться локальной асимптотикой. Чтобы проиллюстрировать технику построения локальной асимптотики (см. И) в случае сложных фокусировок звукового поля, получим ее дпя окрестности точки возврата каустики не из (17.55), (17.56),а независимо. [c.381]

Локальная асимптотика волнового поля в окрестиости точки возвра та каустики была корректно построена и исследована в работах [156, 157], где использовался отличный от примененного нами, ио эквивалентный ему прием. Вместо разложения и <7(5) в ряды, в [157] уравнение замены переменной (17.37) дифференцировали по набору параметров от которых зависит значение интеграла (17.1), и вычисляли производные ЪХ1Ъ<Хк и д У/да/1 в точке возврата каустики. В качестве параметров можно взять коэффициенты Ог и или координаты точки наблюдения. Рассмотренные выше простая каустика и каустика с острием, где в точке могут сливаться два или три луча, представляют собой два простейших типа особенностей лучевых структур. Людвиг [442] свел к решению алгебраических уравнений построение равномерной асимптотики волнового поля в весьма общем с гучае каустик, где сливается произвольное число лучей. Полная классификация каустических поверхностей, порождаемых бесконечно-дифференцируемыми функциями >р (д), была дана теорией особенностей дифференцируемых отображений (теорией катастроф) [c.383]

Во-вторых, особенности волнового ноля повторяют структуру каустик только в пределе бесконечно высоких частот. При конечных частотах, как отмечалось в [159], [151, 10], амплитудная и фазовая структура поля более стабильны прн развитии сложных каустических поверхностей, чем их геометрия. Если коЬ - большой параметр задачи, то формально (Ло ) > ] ири любой положительной стенени 1 . Фактически при конечных частотах складывается иная ситуация. Так, отношение звукового давления в точке возврата каустики к мавлению в ее неособой точке пропорционально ( (,1) / .При Ло1 = 10 зта величина составляет 1,78 и даже при = 10 -всего 3,16. Поэтому усиление поля вследствие сложной фокусировки может быть далеко перекрыто другими факторами. [c.384]

Каустика на рис. 45.3 изображена жирньши линиями. О — точка возврата каустики. Левее ветви каустики ОА через каждую точку проходит один луч (например, 88 ), касающийся ветви 05. Аналогично, правее ОВ через каждую точку проходит луч, касающийся О А. Между ветвями О А и ОВ через каждую точку Р проходят три луча (на рис. 45.3, чтобы не загромождать рисунок, от Р они проведены только в одну сторону). Два из них касаются ближней ветви каустики (на рис., 45.3, ветви ОА), третий — дальней ветви. [c.276]

Полный анализ асимптотики поля вблизи Точки возврата каустик, как, впрочем, и особых точек более высокого порядка, см. у Д. Людвига [195]. [c.277]

Наиб, успех достигнут в приложениях К. т. к оптике, где даже типичные особенности каустик и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве ве были известны. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t, нужно отложить отрезок длины t на каждом луче нормали. Через нек-рое время на движущемся фронте появляются особеспюсти в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Напр., при распрострапепии возмущения внутрь эллпнса на плоскости особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве — это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х =у ) и л а с т о ч к и н ы хвосты [рис. 4 эта поверхность образована точками (а, Ь, с), для к-рых многочлен х - ах - -Ьх- -с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк рис. 5). [c.245]

Таким образом, каустики лагранжева двумерного лшогообразия общего положения имеют в качестве особенностей лишь полукубические острия (и точки трансверсального самопересечения). Все более сложные особенности распадаются при малом шевелении лагранжева многообразия, тогда как точки возврата и точки самопересечения каустики неустраншш малым шевелением и лишь немного деформируются. [c.421]

Пример. Каустика системы всех геодезических на эллип- оиде, выходящих из его типичной точки, имеет особенностя- и лишь точки возврата и точки трансверсального самопере- ечения, но число их бесконечно. В действительности, эта [c.103]

Изохроны t = onst не пересекают большую каустику, если i < 0. При i = О появляется единственная точка каустики, немедленно начинающая расти (бесконечно быстро, с самого первого момента). В момент времени t = е эта каустика имеет серповидную форму, размера порядка у/е. Эта каустика имеет две точки возврата и (для перестройки общего положения) две точки перегиба. Р.Том назвал эту перестройку губами . [c.47]

Перестройка рождения блюдца 50 Перестройки каустик 43 Пирамида, особенность 28 Платоновой иерархия проектирований 159 Поверхность кргювых векторов 198 Поверхность ортов 198 Положительные точки возврата 122, 149 Положительные точки перегиба 122 Порядок кривой 231 Потешщальное поле Ко 83 Потешщальное поле с потешщалом а 83 Почка 142 [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...