Каустика группы отражений

Проекция ребра возврата дискриминанта группы отражений является гиперповерхностью в С . Мы будем называть эту гиперповерхность каустикой группы отражений. Каустики групп отражений встречаются в качестве ответов во многих задачах геометрии особенностей. [c.101]

Теорема. Фокальная поверхность типичной гиперповерхности в пространстве п 5 измерений локально диффеоморфна каустике группы евклидовых отражений Лц, или Д. [c.101]

Теорема. Множество критических значений гауссова отображения типичной гиперповерхности в пространстве размерности локально диффеоморфно каустике группы евклидовых отражений Л , или Эти особенности устойчивы гауссовы отображения близких гиперповерхностей локально эквивалентны указанным. [c.104]

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа Я4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации (эта связь уже указывалась в замечании 7 9 статьи Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.- С. 3-38). [c.464]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

Для простых особениостей А , D , каустику можно получить из дискриминанта (многообразия нерегулярных орбит) соответствующей группы, порожденной отражениями в С , следующей конструкцией. Спроектируем С на С - вдоль любого некасательного к дискриминанту направления (например, вдоль оси инварианта старшей степени). Проекция ребра возврата дискриминанта и будет каустикой (точнее будет локально диффеоморфна каустике соответствующего семейства функций). [c.101]

В ЭТОЙ книге собраны главные результаты, полученные при реализации описанной выше программы, начиная с 1972 года, когда была открыта связь между особенностями систем лучей, их каустик, волновых фронтов, преобразований Лежандра, групп, порождённых отражениями, и групп Вейля [2]. Группы Л, О, Е (имеющие только простые рёбра в диаграммах Дынкина) появились в первую очередь. Впоследствии, в 1978 году, была открыта юаимосвязь между группами с двойными рёбрами [В, С, Р) и особенностями на границе (например, особенностями функции расстояния до многообразия с краем) (см. [3]). [c.4]

Техника, на которую опирается изучение особенностей систем лучей, каустик, волновых фронтов и других объектов, связанных с геометрической оптикой и вариационным исчислением, идёт из симплек-тйческой и контактной геометрии. Симплектический анализ работы О.П.Щербака привёл А.Б.Гивенталя [8] к открытию задачи классификации волновых фронтов, решения которой юаимно однозначно соответствуют конечным группам Кокстера, порождённым евклидовыми отражениями. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...