Каустика простая

При пересечении каустики происходит быстрое изменение свойств поля. Это поле локально ие плоское, поэтому место экспоненты в разложении поля должна занять другая функция вид этой функции можно найти из простой задачи, в которой лучевые конфигурации образуют каустику. В следующем пункте мы рассмотрим такую эталонную задачу. [c.231]

Из простого геометрического рассмотрения можно показать, что при малых ф величины р, ф и радиус кривизны каустики р связаны простым соотношением (рис. 5.8) [c.361]

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции h(s) близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл [c.363]

Существенно отметить, что среди частей разных рангов, на которые разбивается множество особых точек, нет части размерности п — 2. За простейшими особыми точками, образующими многообразие размерности п — 1, следуют точки, где ранг падает на две единицы, и они образуют многообразие размерности и — 3. Проекция множества особых точек на конфигурационное пространство (каустика) состоит, вообще говоря, из частей всех размерностей от О до п — 1 без пропусков. [c.412]

Собственные функции, соответствующие этим собственным числам, также связаны с лагранжевым многообразием, но эта связь не так проста. В действительности удается написать не асимптотические формулы для собственных функций, а лишь формулы для функций, приближенно удовлетворяющих уравнению собственных функций. Эти функции оказываются малыми вне проекции лагранжева многообразия на конфигурационное пространство. Асимптотические формулы имеют особенности вблизи каустик, образующихся при проектировании. [c.415]

I позволяет нам различать левую и правите области В 1. Границу с пересечения полученных таким образом левых областей называют выпуклой каустикой. Оказывается, что каждый отрезок, соответствующий орбите в К, касателен к с. Если представлять себе биллиард как выпуклую зеркальную комнату, освещенную лучом света, идущим по касательной к каустике, то эта каустика будет видна как особенно ярко светящаяся кривая, ограничивающая темную область. Как мы показали в (9.2.2) и (9.2.3), производящая функция в координатах (з, г), где з — натуральный параметр на границе, — это просто расстояние между точками границы, соответствующими значениям з и з. Пример невыпуклой каустики в форме астроиды показан на рис. 13.5.1 р]. [c.453]

Граница любой области захваченных волн является каустикой. Мы убедимся в том, что лучевая теория в своем исцеленном варианте является удобным и простым методом приближенного исследования систем захваченных волн. [c.466]

Каустика есть нечто подобное ране для простой теории лучей, которая предсказывает возрастание амплитуды до бесконечности на каустике, разрыв и затем убывание до нуля. Решение в виде интеграла Эйри (375) залечивает эту рану, делая возможным вполне конечный и непрерывный переход от одного режима к другому. [c.472]

Уравнения (380) представляют собой просто параметрические уравнения огибающей прямых (379) второе из них определяет параметр к , (волновое число на каустике) как функцию времени. Для такой криволинейной каустики уравнение (369), в котором а определяется выражением (378), дает [c.473]

Одним из приложений этих результатов является нахождение условий для захваченных волн. Сумма двух решений (400) может удовлетворять условиям как на верхней, так и на нижней каустике при условии, что оба значения К одинаковы, а величины tti и tt2, определяемые выражениями (407) и (414), имеют значения (408) и (415). Суммируя последние два условия, получаем простое условие для захваченных волн [c.480]

Для описания топологических ограничений на типичные оптические каустики и их перестройки в 3-пространстве рассмотрим поверхность критических точек лагранжевой проекции оптического лагранжева 3-многообразия. Эта поверхность имеет простые (квадратичные) конические особенности в точках, где лагранжево отображение имеет особенности типа >4 в остальных местах (в точках типа А ) она является гладкой. [c.50]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

Пусть лучи, входящие в нормальную конгруэнцию, касаются каустики. Предположим, что лучи, идущие от каустики (рис. 8), входят в другую нормальную конгруэнцию, тоже просто покрывающую подобласть Ог области О. Склеим подобласть Ог с подобластью 01 вдоль каустики. Разумеется, через каждую точку получившейся составной области проходит один и только один луч. Над каждой точкой области О, которая находится вблизи каустики в области тени, не лежит ни одной точки этой состав- [c.70]

А. Встречается также число Альвена КАУСТИКА (каустическая поверхность) (от греч. kau.stikos — жгучий, палящий) огибающая семейства лучей, т. е. геом. место тачек пересече]1ИЯ бесконечно близких лучей семейства. На рис. 1 представлен пример т. н. простой К. Ур-пие К. определлстся ур-нием семейства лучей г=г( , г , т) с дополнительным условием 0 т) = д х, (/, z)jd %, т , т) = 0, где D (т) — якобиан перехода от лучевых координат к де- [c.247]

Вблизи каустик, по вдали от нх особых точек волновая ф-ция сравнительно быстро меняется по нормали и медленно в касательной к каустике плоскости. Приближённое решение вблизи каустик, как и в одномерном случае, подчиняется эталонным уравнениям, простейшим и наиболее типичным из к-рых является уравнение Эйри. Решение эталонных уравнений позволяет сшить квааиклассич. волновые ф-ции по обе стороны каустики. [c.254]

Различают устойчивые и неустойчивые моды О. р. (впрочем, иногда говорят просто об устойчивости О. р. как таковых). Устойчивой считается мода, скелетные геометрооптич. лучи к-рой локализованы внутри каустики, лежащей внутри О. р. На рис. 1 в показан каркас лучей для первой симметричной моды устойчивого двухзеркального О. р. со сферич. зеркалами с фокусными расстояниямии Каустич. поверхность имеет характер гиперболоида вращения. Она существует, если [c.492]

Ещё менее эргодичен биллиард в выпуклой области с достаточно гладкой границей (простейшие примеры — жруг и эллипс). У такого биллиарда всегда существуют каустики—гладкие кривые у, лежащие в Q и обладающие по отношению к любой из траекторий (точнее, к любой из их проекций) L тем свойством, что либо L и у не имеют общих точек, либо каждое звено ломаной L касается у. Для биллиарда в круге каустики—концентрич. окружность (рис. 5), для биллиарда в эллипсе—софокусные эллипсы н гиперболы. [c.633]

Устойчивый резонатор сравнительно прост в эксплуатации. Он легко юстируется, достаточно устойчив по отношению к разъюстировке. Его сферические зеркала сравнительно легко поддаются изготовлению и контролю радиуса кривизны. Поэтому они находят широкое применение в лазерной технике, особенно в технике маломош,-ных (<1 кВт) лазеров. К числу недостатков устойчивых резонаторов следует отнести несовпадение объема каустики с объемом активной среды, что приводит к уменьшению КПД и увеличению размеров лазера, а также повышенные значения плотности мош,ности в перетяжке, что в случае ее малых размеров может привести к оптическому пробою. Однако самым серьезным недостатком устойчивых резонаторов является невысокая лучевая стойкость используемых в качестве выходных окон диэлектрических оптических материалов. Именно это обстоятельство ограничивает использование устойчивых резонаторов при больших плотностях излучения. [c.45]

Простейшим примером таких неингибированных композиций является битумный лак (битум + разбавитель) или битумные и нефте сланцеформальдегидные эмульсионные краски — битум, хлорированный парафин, эмульгатор (сульфит-сыиртовая барда, каустик вода пигменты, уайт-спирит). [c.89]

Плечо с меньшей оптической длиной обычно делают простейшего вида (рис. 4.11). Папомним, что стабилизация каустики при этом происходит в плече с меньшей оптической длиной, поэтому в качестве выходного зеркала следует использовать правое плоское зеркало. Там же следует располагать ограпичиваюш ую апертуру. [c.220]

Второе фазовое условие также имеет простой физический смысл. В точку 82 (рис. 5.4) приходят два волновых фронта, вышедших из точки Зг — один распространяется вдоль лучей 3 В и ВЗ2, второй — вдоль каустики 31Р32. Разность фаз этих двух фронтов должна быть кратна 2тг, точнее сказать, если учесть дополнительный набег фазы на каустике, равный тг/2, она должна быть равна (2т + 1/2)тг. Таким образом, второе фазовое условие имеет вид [c.266]

Подобно тому, как из простейшего решения — плоской волны в однородной среде — было получено решение в виде лучевого разложения для почти плоских волн в плавно неоднородной среде, простое решение для поля вблизи плоской каустики в линейном слое подсказывает форму каустического разложения, в котором амплитуда перед произведением функции Эйри на экспоненту разлагается по обратным степеням к. Почти очевиден эвристический критерий применимости этого разложения масштаб изменения показателя преломление среды и параметров волны должен быть много больше характерного размера прикаустической зоны Л (21.58). [c.235]

Схема с фокусировкой излучения позволяет сравнительно просто получать короткие импульсы излучения на стоксовой частоте. Кроме того, как это следует из содержания гл. 4, такая схема способна принципиально осущ,ествлять операцию обращения волнового фронта падающего излучения (волпы накачки). Основные ограничения длительности импульса, получаемые с помощью этой схемы, связаны с оптическим пробоем входного окна кюветы с ВРМБ-активной средой или той же среды в каустике линзы. Совокупность параметров ВРМБ-активных сред на длине волны лазера на неодимовом стекле (см. табл. 4.2) такова, что предельная длительность импульса ограничивается в диапазоне 0,2—0,5 не, а энергия — уровнем около W JДж]дil0 11 [не]. При использовании ВКР для сжатия импульса добавляется еще один конкурирующий эффект — генерация излучения на второй стоксовой частоте [54], имеющего плохую угловую расходимость. [c.221]

Конечно, вся процедура требует математического обоснования. Точная формулировка и доказательство соответствующих теорем совсем не просты. Особенно большие затруднения вносят так называемые каустики (иначе — фокальные или сопряженные точкп, или точки поворота). [c.407]

Рассмотрим, например, каустики, образованные при освещении стены светом от точечного источника, отраженным от какой-либо гладкой искривленной поверхности (здесь четырехмерное фазовое пространство образовано прямыми, пересекающими поверхность стены по всевозможным направлениям, а лагранжево подмногообразие — лучалш света, выходящими из источника, при пересечении ими стены). Перемещая источник, можно заметить, что, вообще говоря, каустики имеют лишь простейшие особенно- [c.417]

Каустики серии В отличаются от фронтов. Нормальные формы функции времени общего положения в окрестности особенности каустики серии В найдены В. М. Закалюкиным (1975). Топологические нормальные формы функции времени особенно просты [c.454]

Для простых особениостей А , D , каустику можно получить из дискриминанта (многообразия нерегулярных орбит) соответствующей группы, порожденной отражениями в С , следующей конструкцией. Спроектируем С на С - вдоль любого некасательного к дискриминанту направления (например, вдоль оси инварианта старшей степени). Проекция ребра возврата дискриминанта и будет каустикой (точнее будет локально диффеоморфна каустике соответствующего семейства функций). [c.101]

При учете гравитационного взаимодействия между частицами многообразие в фазовом пространстве, задающее поле скоростей, остается лагранжевым, но теряет гладкость. Каустики соответствующих лагранжевых отображений, по-ви-димому, мало отличаются от обычных, но это доказано пока лишь для простейших особенностей. Например, над складкой лагранжева отображения на других листах многопотокового поля образуется слабая (полукубическая) особенность лагранжева многообразия. Сама складка при учете гравитационного [c.105]

В ЭТОЙ книге собраны главные результаты, полученные при реализации описанной выше программы, начиная с 1972 года, когда была открыта связь между особенностями систем лучей, их каустик, волновых фронтов, преобразований Лежандра, групп, порождённых отражениями, и групп Вейля [2]. Группы Л, О, Е (имеющие только простые рёбра в диаграммах Дынкина) появились в первую очередь. Впоследствии, в 1978 году, была открыта юаимосвязь между группами с двойными рёбрами [В, С, Р) и особенностями на границе (например, особенностями функции расстояния до многообразия с краем) (см. [3]). [c.4]

Для значений д, принадлежащих особой части каустики, интеграл при Л О убывает ещё медленнее. Чем вырожденнее особенность, тем медленнее убывание. В простейших случаях интеграл мажорируется (равномерно по д в некоторой окрестности данного до) главным членом своей асимптотики в до или, по крайней мере, оценкой для [c.35]

Классификации особенностей различных объектов показывают, что алгебраически наиболее естественны классификации простых объектов, то есть объектов, не имеющих модулей. Так, классификация простых критических точек функций, простых особенностей гиперповерхностей, простых лагранжевых и лежандровых особенностей, простых особенностей каустик и волновых фронтов ведёт к списку Ет, Е диаграмм Дынкина, не имеющих кратных рёбер (углов, отличных от 120° между неортогональными простыми корнями), см. [2], Классификация простых критических точек функций на многообразии с краем ведёт к тому же списку, дополненному диаграммами В , С , F4 (допускаются углы в 135°). [c.168]

Существует простое решение уравнения Гельмгольца (А-f-4-ft2)u = o такое, что лучи, ему соответствующие, суть касательные к некоторой окружности. Анализируя его коротковолновую асимптотику, можно угадать коротковолновую асимптотику волнового поля вблизи каустики и в общем случае. [c.44]

Рассмотрим вопрос о переходе вдоль луча через точку касания этого луча и каустики. Связь между лучевыми разложениями на одном и том же луче до и после каустики чрезвычайно проста. При переходе через каустику множитель s—So + pi(so, а, р) в ф-ле (2.10) для якобиана меняет знак и якобиан J делается отрицательным. При s>So—pi(so, о, р) в ф-ле (2,ва) для первого reo-/-метрооптического члена надо заменить на т, е. [c.38]

Запишем в явной форме лучевые разложения для ряда простейших конгруепций лучей обычной цилиндрической волны, цилиндрической волны с каустикой, сферической и тороидальной волн. Кроме того, приведем лучевое разложение для сферической электромагнитной волны, т. е. для векторного поля, удовлетворяющего уравнениям Максвелла. Естественно, каждая волна будет рассматриваться в соответствующей ей системе лучевых координат. [c.38]

В выражения для коэффициентов лучевых разложений входит ряд параметров, характеризующих локальные свойства конгруенции лучей в окрестности рассматриваемого луча радиус кривизны фронта (расстояние по лучу до каустики), его производная вдоль фронта (выражается через радиус кривизны каустики в точ1ке отрыва луча), последующие производные и т. д. Радиут кривизны фронта входит уже в выражение для первого, геометрооптического члена лучевого разложения. Эти параметры, в принципе, могут быть вычислены для отраженной волны, поскольку известна- конгруенция лучей этой волны. Однако сравнительно просто получить, как следствие закона зеркального отражения, и явные выражения, связывающие на поверхности тела параметры конгруенций лучей отраженной и первичной волн. [c.47]

Рассмотрим простейшие виды равномерных разложений. Начнем с изучения поля в окрестности гладкой ветви каустики, т. е, вдали от ее точек в031врата. Затем рассмотрим важный, с практи- [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...