Граничные условия. Эволюционность

Граничные условия. Эволюционность [c.26]

Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рассмотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова. Если искать смещение ударной волны (а с ним и возмущения всех остальных величин) в виде, пропорциональном то заранее очевидно, что однозначно определяемое граничными условиями значение ш может быть только нулем — уже хотя бы из тех соображений, что в задаче нет никаких параметров размерности обратного времени, которые могли бы определить отличное от нуля значение ш. [c.469]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Покажем смысл требования эволюционности и устойчивости на примере задачи Коши для уравнения (8.3.6) с однородными по координате начальными условиями и фиксированными граничными условиями [c.317]

Для разрывов первых двух типов N = 0, поэтому для их эволюционности число граничных условий на разрыве должно быть равно 7—т + 8. В соотношениях на волнах детонации и дефлаграции входит величина теплоподвода д, в общем случае заранее неизвестная (см. сноску на с. 112), так что для таких волн 1 если, однако, как предполагалось выше, считать величину д заданной, то и в этом случае N = 0. [c.188]

Дополнительными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных могут служить граничные или начальные условия, а также комбинация тех и других. Эллиптические уравнения описывают установившиеся (стационарные) процессы задача ставится в замкнутой области, и в каждой точке границы этой области задаются граничные условия. Параболическими и гиперболическими уравнениями описываются эволюционные процессы (процессы распространения ), В таких задачах на одной части границы ставятся граничные условия, на другой — начальные возможны также открытые области, в которые распространяется решение 1. [c.104]

При анализе эволюционной задачи удобно использовать преобразование Лапласа или Фурье по времени, если, конечно, коэффициенты уравнений не являются функциями времени. В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, дополненное граничными условиями. Решение такого уравнения можно получить методом функции Грина, Однако применение этого метода нуждается в дополнительном исследовании. Дело в том, что вид функции Грина принципиально зависит от того, существует или нет нетривиальное решение однородного уравнения. Если его нет, то неоднородная задача всегда имеет определенное единственное решение. Если же однородная задача имеет нетривиальное решение, то это не так. Во втором случае вводится понятие обобщенной функции Грина [9]. Ее построение не приводит к однозначному решению, и даже в простейшем случае довольно громоздкое. В физических приложениях обычно ограничиваются построением классической (необобщенной) функции Грина. При этом всякий раз приходится решать вопрос о существовании собственного решения однородной задачи. [c.90]

В некоторых случаях граничные условия должны выставляться на границе, разделяющей области, в каждой из которых рещение описывается своей гиперболической системой (это могут быть, в частности, системы и с различным числом неизвестных). В этом случае условие эволюционности границы остается прежним, однако под 5 следует понимать число всех уходящих в обе стороны от границы характеристик (налево уходят характеристики, у которых скорости меньше, чем ). [c.29]

Нарушение условий эволюционности означает, что линеаризованная (или линейная) задача о взаимодействии малых возмущений с границей или имеет неоднозначное решение или неразрешима. Если число независимых граничных условий недостаточно для однозначного определения уходящих возмущений и возмущения скорости границы W, то решение задачи содержит произвол. Обычно это связано с физической нереальностью таких граничных условий (решения правильно поставленных задач не должны содержать произвольных функций). Более глубокое рассмотрение физической сущности проблемы иногда приводит к постановке заранее не очевидных дополнительных граничных условий (см. 1.14, 1.15), которые делают рассматриваемую границу эволюционной. [c.30]

Условия эволюционности разрыва состоят в том, что количество характеристик, уходящих от него в обе стороны на плоскости x,t, должно быть на единицу меньше числа граничных условий. Количество уходящих характеристик определяется относительными скоростями разрыва Ш и малых возмущений, т.е. характеристик с , f. [c.43]

Левее и выше заштрихованных клеток лежат области значений IV, для которых число уходящих от разрыва волн больше, чем условий на разрыве, полученных из законов сохранения. Однако, бывают ситуации, когда на разрыве выставляются дополнительные граничные условия, вытекающие не из законов сохранения, а из учета физических процессов внутри структуры разрывов. Наличие дополнительных соотношений может сделать эволюционными ударные волны, соответствующие прямоугольникам, сдвинутым относительно исходных влево-вверх. Источник появления таких соотношений будет обсуждаться ниже, в 1.14 и 1.15. [c.47]

Для автомодельности задачи необходимо, чтобы скорость движения плоскости, а также задаваемые на ней значения щ были бы постоянны во времени. Поскольку решение задачи ищется в полупространстве, то оно должно конструироваться только из волн Римана и ударных волн, уходящих от границы. Соответственно, число граничных условий, задаваемых на границе, которое должно удовлетворять требованию эволюционности, меньше порядка системы п. Обычно в конкретных задачах вопрос о постановке граничных условий не вызывает затруднений. Так в задачах об упругих волнах в полупространстве (Глава 5) на границе полупространства могут с равным успехом задаваться (1)вектор скорости среды, (2)вектор нормальных напряжений, (З)три компоненты тензора деформаций. [c.62]

Вопрос, подлежащий изучению, заключается в том, сколько связей между переменными и" и и+ накладывает требование существования рещения вида (1.68). При изучении структуры разрывов будет предполагаться, что скорость разрыва не совпадает ни с одной из характеристических скоростей упрощенных гиперболических систем уравнений (1.63) при Пт = и , т=1,2,...,П1 и при Uj = =1,2,...,П2. Это позволяет четко определить, сколько граничных условий требуется для эволюционности разрыва. [c.103]

Исследованы одномерные автомодельные задачи с решениями, зависящими от х/1. Решения должны состоять из центрированных волн Римана, ударных волн и областей постоянных значений параметров. При построении решений подобных задач в этой главе используются только априорно эволюционные (Глава 4) ударные волны (на них энтропия не убывает). Простейшая задача возникает при внезапном изменении граничных условий на границе упругого полупространства с однородными начальными деформациями щ = /,. [c.281]

Начальные и граничные условия. В качестве начальных условий для решения полной системы уравнений движения несжимаемой однородной жидкости необходимо иметь распределение полей скорости и давления в момент времени t О.Уравнения движения являются эволюционными во времени первого порядка и задание начального распределения величин позволяет вычислить их развитие во времени. [c.33]

В гл. 3 мы построили семейство приближенных методов решения задач с граничными условиями они сводятся к нахождению стационарной точки некоторого функционала, которая является также и точкой экстремума. В этой главе мы по возможности обобщим такие методы на задачи с начальными данными. Однако при рассмотрении вариационной формулировки эволюционных задач возникают дополнительные трудности. Например, в случае диссипативных систем после дополнения основной задачи сопряженной соответствующий им функционал 1 и,и ) уже не будет обладать такими экстремальными свойствами. Даже в таких эволюционных задачах, для которых существует точная вариационная постановка, как, например, динамические системы Гамильтона, стационарная точка не является экстремальной. [c.156]

Относительно продольной координаты 4 уравнения (3.1)-(3.4) являются эволюционными уравнениями первого порядка относительно поперечной координаты Т) уравнения (3.1) - (3.2) - второго порядка, а (3.3) - (3.4) - первого. Тип этих уравнений определяет их свойства, постановку граничных условий и методы их решения. Расчетная область ограничена осью симметрии Т = О, твердой криволинейной стенкой Т) = 1, входным и выходными сечениями. [c.65]

Во входном сечении, расположенном в дозвуковой области, для эволюционных уравнений (3.1) - (3.4) задаются профили (Ыа - скорость на оси), tg0, Т как функции Т), а также значение давления на оси. Значение скорости и распределение давления р ра в этом сечении, которые вместе с заданными профилями определяют расход, находятся в процессе решения задачи. В выходном сечении ставятся "мягкие" граничные условия д р/д =0, =0, соответствующие расчетному ре- [c.65]

Рассматриваются стационарные решения эволюционного уравнения типа бегущей волны, когда перед волной и позади нее имеют место однородные равновесные состояния смеси. Поэтому, переходя к стационарной координате = л - Vt = х - су) + V) , уравнение и граничные условия можно записать в виде [c.112]

Наиболее эффективные для численного решения газодинамические модели, описывающие стационарные вязкие течения, основаны на параболических или гиперболических, т.е. неэллиптических системах уравнений. Эти уравнения являются эволюционными по продольной координате, а задача Коши для них является корректной [12-14]. Поэтому их решение может быть найдено быстрыми маршевыми методами за один проход вниз по потоку [4, 5, 8, 12-14]. В дальнейшем эти модели будем называть неэллиптическими, хотя это не означает, что с их помощью нельзя учесть граничные условия для искомых функций на правой границе области течения. Например, параболическая система уравнений модели узкого канала [15] точно описывает стационарное существенно дозвуковое течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах постоянного сечения (течение Гагена-Пуазейля). Заданное значение давления в выходном сечении трубы учитывается с помощью интегральной величины - значения массового расхода жидкости через трубу. Передача информации вверх по потоку в неэллиптических моделях учитывается неявно, в данном случае, интегрально. [c.31]

Рассматриваемая ударная волна является сверхзвуковой ионизующей ударной волной [14], и для ее эволюционности необходимо кроме граничных условий (1.6) еще одно дополнительное граничное условие. Получить это условие из анализа структуры данного разрыва в настоящее время не представляется возможным, так как отсутствуют уравнения состояния, описывающие процесс разрушения кристалла и изменения при этом его электропроводности. [c.148]

Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованных граничных условий, которые долисны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущения, которое при малых t > О останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество. Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возмущения при малых t) и, таким образом, противоречили бы поставленному требованию. Сформулированное таким образом условие называют условием эволюционности течения. [c.467]

В 88 было введено понятие об эволюционности ударных волн как о необходимом условии возможности их осуществления. Мы видели, что этот критерий устанавливается сравнением числа параметров, определяющих возмущение, и числом граничных условий, которым оно должно удовлетворять на самой позерх-ности разрыва. [c.687]

Все эти сообрал<ения можно применить и к рассматриваемым здесь поверхностям разрыва . В частности, остается в силе и произведенный в 88 подсчет числа параметров возмущения для каждого из четырех случаев (131,1), представленный на рис. 57. Для детонационного режима (адиабата над точкой О) число граничных условий такое же, как и для обычной ударной волны, и условие эволюционности остается прежним. Для недетонационного же режима (адиабата под точкой О) ситуация меняется ввиду изменения числа граничных условий. Дело в том, что в таком режиме горения скорость его распространения целиком определяется свойствами самой химической реакции и условиями теплопередачи из зоны горения в находящуюся перед ней ненагретую газовую смесь. Это значит, что поток вещества / через зону горения равен определенной заданной величине (точнее, определенной функции состояния исходного газа I), между тем как в ударной или детонационной волне / может иметь произвольное значение. Отсюда следует, что на разрыве, представляющем зону недетонационного горения, число граничных условий на единицу больше, чем на ударной волне, — добавляется условие определенного значения /. Всего, таким образом, оказывается четыре условия, и тем же образом, как это было сделано в 87, заключаем теперь, что абсолютная неустойчивость разрыва имеет место лишь в случае V < С, 02 > Са, изображающемся точками на участке адиабаты под точкой О. Мы приходим к выводу, что этот участок кривой не соответствует каким бы то ни было реально осуществляющимся режимам горения. [c.687]

Задачу (5.1), (5.2) будем называть стаиионарнон. Наряду с стационарной рассмотрим эволюционную задачу для параболического уравнения теплопроводности с теми же граничными условиями и произвольно выбранными начальными данными [c.130]

Возвращаясь к рассматриваемой здесь задаче, отметим, что существуют три симметричных решения, реализующих стационарный рельеф на поверхности раздела сред в вибрационном поле круговой поляризации. Вопрос о том, какое из этих стационарных решений реализуется в действительности, требует исследования их устойчивости. Для исследования поведения возмущений необходимо в уравнениях и граничных условиях восстановить эволюционную часть. Как и в стационарной задаче, ограничимся бездиссипативным приближением, полагая поля средних скоростей возмущений потенциальными. При наличии возмущений кинематическое условие вида (2.1.55) уже не выполняется автоматически, кроме того, из (4.2.36) следует, что величина П также будет отлична от нуля. [c.175]

Если соотношений вдоль подходящих к разрыву характеристик и граничных условий на разрыве как раз достаточно для определения всех искомых величин, то такие разрывы называются эволюционными (т. е. позволяющими проследить за эволюцией во времени течений газа с такими разрывами). В противном случае разрывы называются неэволюционными. Для эволюционности газодинамического разрыва число граничных условий на нем должно быть равно 7 + ЛГ—п или 7- -N—т.+ 8, где 8—число уходящих от разрыва (идущих в будущее ) характеристик, а т = п- -8—общее число приходящих и уходящих характеристик. [c.187]

Таким образом, для однозначной разрешимости начальнокраевой задачи для линейной гиперболической системы необходимо задавать 5-Ь1 граничных условий вида (1.16), обладающих отличным от нуля якобианом относительно У1, У2,..., у /и IV, где 5 - число характеристик, уходящих от границы в рассматриваемой точке a ,i. Такие граничные условия называются эволюционными. Часто говорят об эволюционной границе, имея в виду то же самое. [c.28]

Условия эволюционности определяются числом N граничных условий на разрыве. Если предположить, что все эти N граничных условий выражают законы сохранения, которые обычно бывают известны заранее, то эволюционность относительно этих N граничных условий в предположении об отсутствии каких-то других, дополнительных, соотнощений на разрыве будем иногда называть (чтобы подчеркнуть это обстоятельство) априорной эволюционностъю. Необходимость использования в некоторых случаях дополнительных граничных условий будет обсуждаться в 1.14,1.15 (см. также 8.2). При наличии дополнительных соотношений априорно эволюционные разрывы оказываются неэволюционными, а эволюционными становятся априорно неэволюционные разрывы. [c.44]

Кроме неубывания энтропии, для существования ударной волны должны быть удовлетворены еще условия ее эволюционности (необходимые условия устойчивости фронта по отнощению к малым одномерным возмущениям, (см. 1.6). Согласно им число уходящих от разрыва в обе стороны характеристик должно быть на единицу меньше числа граничных условий на разрыве. Будем здесь и ниже предполагать (обоснование этого предположения будет дано в Главе 8), что на разрывах не выставляется никаких других граничных условий, кроме тех, которые даются законами сохранения. Эволюционность при таком предположении была названа в Главе 1 априорной. В дальнейщем слово априорная будет опускаться во всех случаях, когда это не может вызвать недоразумений. [c.192]

Таким образом, решения автомодельных задач могут строиться в виде комбинаций эволюционных ударных волн и расширяющихся со временем волн Римана разных типов. Построение таких решений служит, кроме того, одним из критериев для разрешения вопроса о реализуемости тех или иных типов скачков. До сих пор при отборе реально осуществимых ударных волн к ним предъявлялись три требования во-первых, выполнение законов сохранения массы, импульса, энергии, во-вторых, неубывание энтропии и, в-третьих, выполнение условий эволюционности. По условию одновременного соблюдения этих трех требований в Главе 4 был найден некоторый набор ударных волн разных типов, которые будут считаться физически допустимыми (дальнейшее обсуждение этого вопроса будет проводиться в Главе 8). Использование таких разрывов в конструкции рещений автомодельных задач выясняет, достаточен ли этот набор, чтобы можно было получить решение при любых начально-граничных данных и, в то же время, все ли указанные ударные волны необходимы в решении задач, или без некоторых можно обойтись. Для этой цели наилучшим образом служит задача,которая является аналогом задачи о поршне в газовой динамике. [c.240]

Сами вращательные разрывы являются граничными с точки зрения условий эволюционности и условия неубывания энтропии, поскольку их скорость по обе стороны совпадает со скоростями вращательных малых возмущений, а [5] = 0. Как следует из предыдущего, граничными с точки зрения эволюционности являются все неплоскополяризованные (т.е. вращательные и поворотные) разрывы. [c.364]

Данная ситуация подобна ситуации в калибровочных теориях в четырехмерном евклидовом пространстве R , где двумерные уравнения, описывающие цилиндрически-симметричные автодуальные конфигурации полей Янга — Миллса, полностью интегрируются, тогда как без наложения этих симметрийных соображений удается построить лишь инстантонные (параметрические) решения в подстановке Атья — Дринфельда — Мани-на — Хитчина. Эти решения (равно как и солитонные образования для периодической цепочки Тода, для эволюционных уравнений типа Кортевега — де Фриза и для других систем) не обеспечивают полного решения соответствующей задачи в смысле зависимости от необходимого числа произвольных функций, заданных на характеристиках. Они отвечают только подклассу общих решений, выделяемому определенными граничными условиями и зависящему от соответствующего набора числовых параметров. [c.8]

Приложения. Доказаны бесконечномерные аналоги теорем предыдущего пункта (см. [И]) и указанную там литературу) они позволяют доказать конечномерность аттракторов для ряда эволюционных уравнений математической физики. Например, хаусдорфова размерность аттрактора двумерного уравнения Навье—Стокса с двоякопериодическими граничными условиями не превышает СЭР1п31, где 31 —число Рейнольдса (величина, обратная обезразмеренной вязкости) [11], [31], (40]. Константа С зависит от решетки периодов. [c.43]

Уравнения (5.4.1), (5.47) и (5.4.9) являются фундаментальными уравнениями линейной теории магнитоупругости изотропных конечных проводников. Эти уравнения, конечно, должны быть дополнены подходящими граничными и начальными условиями, чтобы можно было решать смешанные краевые эволюционные задачи. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...