ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Граничные условия. Эволюционность из "Нелинейные волны в упругих средах " Во многих случаях требуется найти рещение системы уравнений в ограниченной области изменения х или в примыкающих одна к другой областях с одинаковыми или разными системами уравнений, действующими в этих областях. Тогда для построения однозначного рещения нужно задавать, кроме начальных условий, еще граничные условия - некоторые соотнощения, связывающие функции Uj на границе. [c.26] Рассмотрим сначала вопрос о необходимом числе граничных условий для однозначного построения решений линейных гиперболических систем уравнений с постоянными коэффициентами при наличии начальных условий. [c.26] Пусть имеется граница, положение которой задано ее законом движения X = X t) или скоростью dXIdt = W t). Функции Uj считаются заданными в момент времени to при х X (iq) (начальные условия). Требуется построить рещение системы (1.6) при I IQ в области X X(t). В этом случае может оказаться. [c.26] Закон движения границы х = X t) на плоскости х, Ь представлен жирно линией на рис. 1.2, наклон которой определен скоростью . Будем сначала предполагать, что скорость границы не совпадает ни с одной из характеристических скоростей системы (1.6), т.е. ф т = 1. га. Тогда все га характеристик (и соответствующие им бегущие волны) в каждой точке границы можно разделить на характеристики, уходящие от границы в область X Х Ь), для которых с ) И , г = 1,2. 5, и характеристики, приходящие к границе, для которых , I = 5-1-1. га. На рис. 1.2 характеристики изображены прямыми со стрелками в направлении роста Ь. На приходящих характеристиках известны из начальных условий значения инвариантов Римана. Для построения рещения (1.12) нужно знать значения остальных функций (г = 1. в) на уходящих от границы характеристиках. [c.27] Таким образом, для однозначного продолжения рещения в области t Ьо нужно так задать граничные условия, чтобы на кривой X = X t) они позволили найти 5 значений инвариантов Римана уходящих волн по известным значениям инвариантов Римана приходящих волн /, т.е. = ( г гпа+1, .. и п), г = 1,2,. ..5. Для этого число соотнощений, задающих связи между функциями плюс закон движения границы должно быть равно 5 -(-1. [c.27] Таким образом, для однозначной разрешимости начальнокраевой задачи для линейной гиперболической системы необходимо задавать 5-Ь1 граничных условий вида (1.16), обладающих отличным от нуля якобианом относительно У1, У2. у /и IV, где 5 - число характеристик, уходящих от границы в рассматриваемой точке a ,i. Такие граничные условия называются эволюционными. Часто говорят об эволюционной границе, имея в виду то же самое. [c.28] В некоторых случаях граничные условия должны выставляться на границе, разделяющей области, в каждой из которых рещение описывается своей гиперболической системой (это могут быть, в частности, системы и с различным числом неизвестных). В этом случае условие эволюционности границы остается прежним, однако под 5 следует понимать число всех уходящих в обе стороны от границы характеристик (налево уходят характеристики, у которых скорости меньше, чем ). [c.29] Для нелинейных задач под условиями эволюционности границы подразумевается выполнение условий эволюционности для линеаризованной задачи. Линеаризация производится в малой окрестности точки на границе, в которой щ = uf = onst, так что щ = и -f- Vi x, t), при этом Vi малы. [c.30] Эволюционность означает существование однозначного решения задачи о взаимодействии границы с малыми возмущениями в рамках линеаризованной постановки задачи для функций Vi и 5W, где 5W - малое возмущение скорости границы. [c.30] Нарушение условий эволюционности означает, что линеаризованная (или линейная) задача о взаимодействии малых возмущений с границей или имеет неоднозначное решение или неразрешима. Если число независимых граничных условий недостаточно для однозначного определения уходящих возмущений и возмущения скорости границы W, то решение задачи содержит произвол. Обычно это связано с физической нереальностью таких граничных условий (решения правильно поставленных задач не должны содержать произвольных функций). Более глубокое рассмотрение физической сущности проблемы иногда приводит к постановке заранее не очевидных дополнительных граничных условий (см. 1.14, 1.15), которые делают рассматриваемую границу эволюционной. [c.30] Линейная задача неразрешима, когда число имеющихся граничных условий превышает s-1-l. В нелинейной постановке решение правильно поставленной задачи должно существовать. Это означает, что взаимодействие границы с малыми возмущениями приводит к немалым по величине возмущениям, например, к распаду неэволюционного разрыва (см. 1.8, а также Главу 5 для теории упругости). [c.30] Вернуться к основной статье