Эволюция квантовых состояний во времени

Эволюция квантовых состояний во времени [c.75]

В случае замкнутой квантовой системы эволюция её состояния во времени описывается уравнением для матрицы плотности [c.60]

Определив обращенную во времени эволюцию квантового состояния частицы, необходимо проверить, что она описывается уравнением Шредингера. Иначе говоря, мы должны показать, что преобразованная волновая функция удовлетворяет уравнению [c.41]

Итак, коллапс волновой функции — это скорее свойство окружения квантового объекта, а не самого объекта именно внешний мир превращает сначала ф в набор вероятностей / ,, а затем неравновесной эволюцией превращает их в набор из нулей и одной единицы для того состояния, в которое происходит коллапс. Коллапс — это случайный процесс типа "бросания костей". Именно он и остается "за кадром" в традиционном аппарате квантовой теории, являющейся теорией обратимых процессов. Чтобы учесть коллапсы, нужно явно дополнить уравнения эволюции соответствующими операторами, которые учитывали бы реальное необратимое развитие квантовых систем во времени. Как это можно сделать, мы увидим позднее. [c.121]

Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), в котором операторы ШI dr, и Р от времени явно не зависят. Оператор Й для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо и при явной зависимости Й от времени. Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния Т ( ) > во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени вектора состояния, Такая картина квантовой динамики системы называется картиной Шредингера. Уравнением, описывающим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3). [c.153]

Квантовая статистич. теория равновесных процессов построена в столь же законченной форме, как и классическая. Заложены также основы квантовой статистич. теории неравновесных процессов. Ур-ние, описывающее неравновесные процессы в квантовой системе и называемое осн. кинетич. ур-нием, позволяет в принципе проследить за эволюцией во времени вероятности распределения по квантовым состояниям системы. [c.317]

Динамический подход основан на том твердо установленном положении, что эволюция во времени любой системы полностью определяется заданием ее начального состояния и ее гамильтониана. Все последующие результаты, в том числе и форма оптических полос, получаются с помощью расчетных методов квантовой статистики. Эти методы позволяют, опираясь [c.111]

Изменение состояния системы во времени как в классическом, так п в квантовом случае может описываться двумя эквивалентными способами либо посредством изменения переменных, характеризующих физические величины, либо посредством изменения распределения вероятностей, характеризующего состояние системы. В квантовом случае два указанных способа описания временной эволюции называются соответственно представлением Гейзенберга и представлением Шредингера. Выше было описано представление Гейзенберга. Переход к представлению Шредингера производится заменой 2 где в описан- [c.387]

Унитарный оператор эволюции во времени 1А 1, to) связывает квантовые состояния 0( о)) и ф 1)) в два разных момента времени to < [c.75]

В этом контексте медленно означает медленно по сравнению со всеми временными масштабами системы , то есть мы рассматриваем адиабатические изменения. Следовательно, в каждый момент времени существуют мгновенные собственные состояния данной энергии m(t)). В раннюю эпоху развития квантовой механики Пауль Эренфест обнаружил, что при адиабатических изменениях маятник остаётся в подобном мгновенном собственном состоянии. Однако он приобретает некоторую фазу. Эта фаза состоит из двух частей а) динамической фазы, возникающей из-за того, что стационарное состояние подвергается унитарной эволюции во времени, и б) геометрической фазы, связанной с топологией пространства параметров. Последнюю принято называть фазой Берри. [c.199]

В данном разделе мы рассмотрим эволюцию во времени квантового состояния, если гамильтониан системы Н содержит зависяш,ий от времени внешний параметр R(t), то есть Н = Н[И Ь)]. В частности, сосредоточим внимание на случае, когда R(t) описывает замкнутую петлю в пространстве параметров, так что R(t = 0) = R(t = Т). Здесь Т обозначает период такого цикла. Вычислим фазу, приобретаемую за время такой циклической эволюции. [c.200]

Адиабатическая теорема. Эволюция во времени любого квантового состояния [c.200]

Одним из возможных способов решения этого уравнения является метод квантовых траекторий, который мы сейчас хотим рассмотреть. Мы предполагаем, что в момент времени t система находится в состоянии Для эволюции во времени есть две [c.604]

Итак, мы можем сделать вывод о том, что даже слабое воздействие необратимого окружения может сильно изменить волновую функцию системы квантовых частиц. Вместо сложного когерентного состояния, с обратимой эволюцией во времени, мы получаем набор одночастичных волновых пакетов со случайной необратимой эволюцией. Необратимость возникает на временах, больших среднего времени столкновений, а само различие волновых функций замкнутых и открытых систем может иметь гораздо более сложную пространственно-временную структуру. [c.183]

Но коллапсы волновых функций могут и не сопровождаться коллапсом вероятностей, например при тепловом движении. Тем не менее и в этом случае окружение играет не последнюю роль. Ситуация здесь сходна с молекулярным хаосом. Как мы видели, даже слабая связь с внешним миром существенно меняет эволюцию системы многих частиц в замкнутой системе имеет место обратимое уравнение Лиувилля, а при связи с окружением обратимость во времени исчезает. Сходная ситуация возникает и в квантовом случае замкнутая система эволюционирует как чистое состояние, а связь с внешним окружением нарушает когерентность и приводит к коллапсам. [c.335]

Генератор Я эволюции во времени векторов ( волновых функций ) в Квантовой механике отождествляется с гамильтонианом. По аналогии с классической механикой генератор З эволюции состояний называется оператором Лиувилля. [c.14]

Классическая механика состоит из двух разделов кинематики, описывающей движение тел безотносительно к вызвавшим его причинам, и динамики, рассматривающей причины движения тел. Аналогично квантовая кинематика описывает квантовые состояния, а квантовая динамика — эволюцию этих состояний во времени. Квантовая кинематика основана на пяти аксиомах (1) вся информация о квантовой системе содержится в векторе состояния (2) вектор состояния является вектором в гильбертовом пространстве (3) квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности (4) наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами (5) операторы удовлетворяют определённым коммутационным соотношениям. Квантовая динамика вытекает из уравнений Шрёдингера или фон Неймана. [c.55]

Это уравнение содержит закон движения в физическом пространстве, который задается в фазовом пространстве уравнениями Гамильтюна. Здесь напрашивается аналогия с гейзенберговским представлением в квантовой механике, в котором состояние системы задано, а ее эволюция описывается изменением во времени динамических функций. [c.54]

До сих пор мы рассматривали квантовую кинематику, то есть обсуждали свойства стационарных квантовых состояний. Обратимся теперь к квантовой динамике и рассмотрим эволюцию состояний во времени, вытекающую из уравнения Шрёдингера [c.75]

Эволюция во времени в потенциале гармонического осциллятора. Проиллюстрируем понятие фазы Ааронова-Анандана, применив его к задаче о временной эволюции квантового состояния в квадратичном потенциале. Мы определим геометрическую и динамическую фазы. [c.217]

ГЕЙЗЕНБЕРГА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ квантовой механики — один из осп. способов описания кваитовомеханич. явлений, заключающийся в том, что вместо изменения,, во времени вектора состояния фи.э. системы (как в Шрёдингера представлении) расс.мат-ривается эволюция операторов, отвечающих физ. величинам. [c.421]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Другая трактовка Н. с. (9) тесно связана с понятием квазистационарного состояния. В этом случае AJ — неопределенность значения, к-рое приобретает энергия J, рассматривающаяся как динамическая характеристика квантовой системы, изменяющаяся во времени, а Ai — интервал времени, характеризующий эволюцию J в интервале значений AJ. Для возбуждённых квантовых систем (наир., атома или молекулы) неопре-делённость энергии состояния AJ (остеств. ширина уровня) непосредственно связана с его временем жизни с помощью Н. с. (9). (Это утвер кдсние строго следует из теоремы Фока и Крылова (.3].) [c.322]

Сначала займемся изучением явления поглощения. С этой целью рассмотрим обычную двухуровневую схему и предположим, что в момент времени t = О атом находится в основном состоянии 1 и что с ним взаимодействует монохроматическая электромагнитная волна на частоте ш. С классической точки зрения атом в результате взаимодействия с электромагнитной волной приобретает допол[1нтельную энергию Н. Например, это может произойти при взаи одейстЕии электрического дипольного момента атома Цг с электрическим полем Е электромагнитной волны (Я = Це-Е). В данном случае будем говорить об электрическом дипольном взаимодействии. Однако это не единственный вид взаимоденствня, благодаря которому может произойти переход. Например, переход может осуществиться вследствие взаимодействия магнитного дипольного момента атома ц,п с магнитным полем В электромагнитной волны (Цт В, магнитное дипольное взаимодействие). Чтобы описать эволюцию этой двухуровневой системы во времени, необходимо обратиться к квантовой механике. Иными словами, если классическое рассмотрение приводит к энергии взаимодействия Н, то квантовомеханический подход вводит гамильтониан взаимодействия Ж. Вид этого гамильтониана можно найти из классического выражения для энергии Н с помощью хорошо известных правил квантовой механики. Однако в данном случае точный вид выражения для гамильтониана Ж нас не интересует. Следует лишь заметить, что гамильтониан Ж является синусоидальной функцией времени, частота м которой рав[1а частоте падающей волны. Таким образом, имеем [c.527]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

Эти алгоритмы, как правило, исходят из унитарной эволюции во времени. Каждая же реальная квантовая система обладает диссипацией. Всегда есть небольшая порция света, покидаюш,ая резонатор, или в ловушке Пауля происходит нагревание из-за внешнего управляюш,е-го поля, зависяш,его от времени. Квантовые состояния чрезвычайно хрупки. Потеря единственного фотона может разрушить суперпозицию. Эти обстоятельства привели к разработке кодов исправления ошибок. [c.47]

Сосредоточим внимание на собственных энергетических состояниях, когерентных и сжатых состояниях и повёрнутых квадратурных состояниях. В частности, обсудим распределение по энергии для этих состояний. Для случая полевого осциллятора это соответствует статистике фотонов электромагнитного поля. Когда речь идёт о колебательном движении, распределение по энергии соответствует вероятности заполнения отдельных фононных мод. Мы покажем, что распределение по энергии когерентного состояния является пуассоновским, в то время как соответствующее распределение сильно сжатого состояния содержит характерные осцилляции. Мы выведем простые аналитические выражения для этих распределений в пределе больших квантовых чисел. Именно здесь мы столкнёмся с первыми примерами того явления, которое красной нитью проходит через всю книгу в соответствующем асимптотическом пределе сложные явления становятся простыми. Следуя М. Берри, будем называть такой подход асимптотологией. Ещё один вопрос, обсуждаемый в данной главе, — временная зависимость координатных и импульсных распределений упомянутых выше состояний. Эти распределения можно найти из эволюции во времени [c.123]

Рис. 4.11. Запись шумов (слева), квадратурные распределения Р х ) = = W X ) и реконструированные функции Вигнера (справа) для различных генерируемых квантовых состояний. Сверху вниз когерентное состояние, сжатое по фазе состояние, повёрнутое ф = 48°) сжатое состояние, сжатое по амплитуде состояние, сжатое вакуумное состояние. Для четырёх верхних состояний запись шумов как функции времени отвечают осцилляции электрических полей в интервале 4тг, в то время как для сжатого вакуума (относящегося к другому набору измерений) показан интервал Зтг. Квадратурные распределения (в центре) можно интерпретировать как эволюцию во времени волновых пакетов (плотностей вероятности координат) за период одного колебания. Для эеконструкции квантовых состояний достаточно интервала тг. Взято из работы

Уже на заре развития квантовой механики Ю. Кеннард рассмотрел эволюцию во времени волновых пакетов, которые в момент времени t = О были либо шире, либо уже волнового пакета основного состояния. В отличии от когерентных состояний, у таких волновых пакетов ширина осциллирует, пока сами пакеты движутся туда и обратно в ос-цилляторном потенциале. В последние годы подобные состояния стали играть существенную роль в квантовой оптике. В этом разделе физики они получили название сжатых состояний. Название проистекает из того факта, что эти состояния шире или уже волнового пакета основного состояния. Сжатые состояния усиленно исследовались теоретически и стали играть важную роль в молекулярной физике и при описании ловушек Пауля. В частности, теоретически и экспериментально исследовались сжатые состояния света. Впервые сжатое состояние света было получено в 1985 г. в лаборатории им. Белла. [c.147]

Кроме того, требование адиабатичности изменений не является необходимым. Следуя работам Ю. Ааронова и Дж. Анандана, можно определить фазу Берри и для неадиабатических изменений. Мы завершаем главу кратким обсуждением этой идеи в разделе 6.3. В частности, устанавливается связь с эволюцией во времени квантового состояния гармонического осциллятора, обсуждавшейся в гл. 4. [c.200]

Обсудим теперь физический смысл этих решений для модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В частности, проанализируем их в двух предельных случаях 1) когда световое поле находится в резонансе с атомным переходом и 2) когда оно имеет большую отстройку. В первом случае мы установим связь с результатами первого раздела, которые были получены с помош,ью алгебры операторов. Во втором случае эволюция во времени вектора состояния Ф) атомно-полевой системы определяется эффективным гамильтонианом, который сохраняет населённости атомных уровней и статистику фотонов. Такой гамильтониан играет важную роль в атомной оптике и квантовой электродинамике эезонаторов. [c.475]

Решение Флоке. В предыдуш,ем разделе мы показали, что эволюция во времени любого квантового состояния движения иона в ловушке Пауля описывается тремя параметрами i (t), r(t), и 0(t). Отметим, что они зависят от выбора реперной частоты иог, которая определяет функции e t) и e t). Теперь мы специально выберем иог таким образом, чтобы упростить вид классического решения s t), а, следовательно, и зависимость от времени интересуюш,их нас параметров. [c.543]

Распределения в фазовом пространстве. Пока мы обсудили эволюцию во времени только одного параметра, характеризующего квантовое состояние, а именно, среднего числа фотонов. Квантовое состояние, однако, определяется либо функцией непрерывной переменной, такой как Р-функция Глаубера-Сударшана, либо распределением для дискретного числа фотонов. В задачах, приведённые в конце данной главы, рассмотрен вопрос о том, как записать уравнение (18.23) для матрицы плотности в с-числовом представлении и решить их с помощью такой техники. Данный подход позволяет рассмотреть влияние на квантовое состояние процессов затухания или усиления. В частности, показано, что усиление всегда вносит дополнительный шум, и распределения в фазовом пространстве уширяются. [c.575]

Если вернуться к разделу 24, то можно еще раз убедиться в том, что временнйя эволюция вектора состояния, т.е. волновой функции, естественно вписывается в формализм эволюции во времени символов измерения. Несколько утрируя ситуацию, можно сказать, что вся квантовая теория представляет собой формализм для описания временной эволюции намерений микромира. Даже в квантовой теории поля операторы эволюционируют во времени лишь для того, чтобы иметь возможность действовать на неподвижный вектор состояния — квинтэссенцию намерений микромира. [c.334]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Хотя в случае квантовой системы со спином термодинамический предел ее эволюции во времени существует (разумеется, при условии, что выполняются предположения теоремы 2 ), тем не менее следует иметь в виду, что при переходе к пределу Вейсса и в этом (в остальном гладком) классе физических систем появляется особенность при переходе к пределу Вейсса эволюция во времени конечной системы не сходится к автоморфизму квазилокальной алгебры Я. Однако в случае ие лишенных физического интереса представлений (например, состояния Гиббса и его компонент при разложении на чистые термодинамические фазы) эволюция во времени сходится [240] в пределе Вейсса к автоморфизму бикоммутанта Лф (9i)". В случае чистых термодинамических фаз этот автоморфизм [c.388]

Иногда введение флуктуирующих сил порождает глубокие философские проблемы, которые мы кратко обсудим, хотя в дальнейшем займем более прагматическую позицию будем считать, что в каждой рассматриваемой нами системе флуктуирующие силы заданы. До появления квантовой механики в мышлении не толькэ физиков, но и представителей других наук доминировали чисто механистические представления. Считалось, что коль скоро начальное состояние системы задано, ее дальнейшая эволюция во времени точно предсказуема. Суть детерминизма наиболее полно выразил Лаплас в известном отрывке из Аналитической теории вероятностей Разумное суш,ество, которое в каждый данный момент знало бы все движуш,ие силы природы и имело бы полную картину состояния, в котором природа находится, могло бы (если бы только его ум был в состоянии проанализировать эти данные) выразить одним уравнением как движение самых больших тел мира, так и движение мельчайших атомов. Ничто не осталось бы для него неизвестным, и оно могло бы обозреть одним взглядом как будуш,ее, так и прошлое . Иначе говоря, если бы такое суш,ество знало начальные состояния всех индивидуальных частей системы (в частности, положения и скорости всех образующих систему частиц) и взаимодействия между ними, то оно могло бы предсказать состояние системы в любой момент в будущем. Со времен Лапласа появились три новые важные идеи. [c.43]

Причина столь резких высказываний связана с тем, что квантовая механика в течение длительного времени развивалась без привлечения подходов физики. Можно сказать, что И. Пригожин открыл дверь из тюрьмы. Квантовая теория И. Пригожина базируется на междисциплинарном подходе к анализу сложных систем микромира, включающем рассмотрение эволюции систем на основе объединения достижений неравновесной термодинамики (неравновесные физико-химические процессы), физики (механизм необратимости процесса), математики (условия интегрируемости и не интегрируемости функций), механики (нелинейный резонанс) и др. Это позволило дать единую формулировку квантовой теории, с учетом того, что как в классической, так и в квантовой механике, существуют описания на уровнях траекторий, волновых функций или статических распределений (распределение вероятности). Когда речь идет о том, что система находится в определенном состоянии, с точки зрения классической механики, это состояние отвечает точке в фазовом пространстве, а в квантовой теории - это волновая функция. В перовом случае мы имеем дело с макромиром, а во втором -с микромиром (наномиром), для которого каждому значению энергии частицы соответствует определенная частота колебаний (о [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...