ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эволюция квантовых состояний во времени из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Здесь Н — гамильтониан рассматриваемой задачи. [c.75] Формула (2.27) даёт точное выражение для оператора эволюции во времени Ы. Подчеркнём, однако, что это выражение является всего лишь формальным. Гамильтониан включает квадрат оператора импульса и, через потенциал 17, оператор координаты. Поскольку эти операторы не коммутируют, невозможно разложить экспоненту в (2.27) на произведение двух отдельных экспонент, содержаш,их только операторы импульса или координаты. Поэтому невозможно действовать операторами последовательно, они оба должны применяться совместно. [c.76] В этом случае результат не сводится к возникновению обш,ей фазы, поскольку каждое энергетическое состояние приобретает свою, отличную от других, фазу. Следовательно, мы получаем суперпозицию собственных энергетических состояний с разными фазами, которая описывает движение начального волнового пакета. [c.76] ё вернёмся к более подробному обсуждению задачи о динамике волнового пакета в гл. 4, где будут рассмотрены когерентные и сжатые волновые пакеты в потенциале гармонического осциллятора. [c.76] Кроме того, в гл. 9 мы проанализируем движение волнового пакета ядер в ангармоническом потенциале, возникающем, например, за счёт электронных состояний двухатомной молекулы. В разделе 15.1 мы используем выражение (2.27) для оператора эволюции во времени, чтобы получить вектор состояния в рамках резонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля. [c.77] Даже в том случае, когда начальное состояние есть собственное состояние Но, оно не обязательно является собственным состоянием полного гамильтониана. Поэтому эволюция во времени становится более сложной. [c.77] Чтобы лучше понять ситуацию, рассмотрим сначала самый элементарный случай статического поля Ео. Тогда полный гамильтониан остаётся независящим от времени и можно использовать формальное решение (2.27). Однако если электрическое поле создаётся, например, полем лазера, оно зависит от времени, и поэтому гамильтониан взаимодействия также зависит от времени. В этом случае не так то просто решить зависящее от времени уравнение Шрёдингера. [c.77] Однако, как показано в приложении Б, это выражение верно только при условии, что гамильтонианы Н 1) в разные моменты времени t коммутируют. В случае произвольной зависимости от времени оператор эволюции, связывающий состояния 0(t)) и ф Ьо)), более сложен. Мы посвятим следующие разделы выводу формальных решений для этого случая. [c.78] Шрёдингера (2.31). Однако мы заменили полный гамильтониан преобразованным гамильтонианом взаимодействия. Заметим, что благодаря зависимости преобразования от времени, этот гамильтониан тоже становится зависящим от времени, даже если исходный гамильтониан до преобразования от времени не зависел. Поскольку такая формулировка явно выделяет роль взаимодействия, её называют представлением взаимодействия. [c.78] Мы используем представление взаимодействия в разделе 14.8, где будет обсуждаться атом, взаимодействующий с квантованным полем. В этом случае результирующий гамильтониан действительно явно зависит от времени. [c.78] Здесь мы не касаемся вопроса о происхождении зависимости гамильтониана от времени. Это может быть результатом зависящего от времени взаимодействия или обсуждавшегося выше перехода в представление взаимодействия. [c.78] В момент времени to + А . Действительно, начав с состояния в момент времени to и сделав инфинитезимальное преобразование, мы совершили маленький шаг в будущее. [c.79] Заметим, что в этом выражении произведено важное упорядочение. Гамильтониан Я(to) в более ранний момент времени to действует прежде гамильтониана Я(to + At) в более поздний момент времени to + At. [c.79] Третье слагаемое в правой стороне этого уравнения ясно указывает на упорядочение по времени. Так как интегрирование по переменной производится только до значения гамильтониан Н 1 ) в более эанний момент времени всегда находится справа от гамильтониана Н 1 ) в более поздний момент времени. Поэтому мы автоматически учитываем упорядочивание по времени. [c.82] Здесь Н означает гамильтониан системы. [c.84] Действительно, дифференцируя по времени, можно легко доказать этот результат. В разделе 18.3.3 мы воспользуемся этим выражением, чтобы вывести уравнение для матрицы плотности одноатомного мазера. [c.84] Формальное решение. К сожалению, формальное решение (2.42) верно только для независяш,их от времени гамильтонианов. В разделе 18.5 мы рассматриваем взаимодействие атома с резервуаром гармонических осцилляторов, представляюш,их моды электромагнитного поля. В этом случае гамильтониан явно зависит от времени. Поэтому нужны какие-то другие приёмы нахождения формальных решений. [c.84] Подчеркнём, что это формальное решение уравнения фон Неймана является точным. В гл. 18 мы используем формулу (2.4.4.2), чтобы получить уравнения для матрицы плотности поля в резонаторе, которое затухает из-за взаимодействия с резервуаром двухуровневых атомов. [c.85] Вернуться к основной статье