Интегралы задачи трех тел

Кратко обрисуем способы нахождения интегралов задачи трех тел. После сложения уравнений (36) (38) получим соотношение [c.537]

ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.171]

Знание десяти первых интегралов задачи трех тел позволяет свести ее к системе восьмого порядка (18—10). Особенности структуры самих уравнений задачи трех тел позволяют свести ее решение к системе шестого порядка (и еще двум квадратурам). [c.177]

Здесь рассматриваются частные решения общей задачи трех тел, приводятся теоремы Брунса и Пуанкаре о несуществовании алгебраических и однозначных трансцендентных интегралов задачи трех тел, кроме десяти классических, и излагаются исследования Зундмана, дающая общее математическое решение задачи трех тел. [c.6]

Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических [c.813]

Интегралы задачи трех тел. Складывая почленно уравнения (6,1.1), (6.1.4), (6,1.5), получим [c.210]

Можно показать, что полученные векторные первые интегралы задачи трех тел (6,1.7), (6.1.8), (6,1,12) и скалярный первый интеграл (6,1.18) легко обобщаются на произвольное число притягивающих тел и в целом определяют десять первых скалярных интегралов системы. [c.213]

Первые интегралы задачи трех тел [c.176]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 177 [c.177]

Необходимо отметить соответствие между этими интегралами задачи трех тел и интегралами задачи двух тел. Этот вывод можно распространить также на систему п тел, где п произвольно. В этом случае понижение порядка происходит от 6га до 6(га —1). [c.220]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [c.349]

Однако мы дополним подсчеты числа интегралов движения (13.21) и (13.22) еще одним замечанием, важным для астрономии. Для полного интегрирования знаменитой задачи трех тел, т. е. для нахождения выражений для 3 3 координат и 3 3 компонент скоростей потребовалось бы [c.108]

Десять интегралов (29.1.18) уравнений Гамильтона независимы между собой и представляют алгебраические соотношения между координатами, импульсами и временем. Возникает вопрос не существует ли других алгебраических интегралов, не зависящих от уже найденных Ответ на этот вопрос дается замечательной теоремой, доказанной Брунсом в 1887 г. Оказывается, что новых алгебраических интегралов не существует любой алгебраический интеграл уравнений Гамильтона для задачи трех тел представляет комбинацию десяти классических интегралов. [c.575]

Каждый интеграл задачи трех тел, содержащий их координаты и скорости алгебраически, является алгебраической комбинацией классических интегралов . [c.108]

А. Пуанкаре доказал еще более общую (в определенном смысле) теорему, которая состоит в том, что в задаче трех тел, кроме классических, не существует никаких других однозначных (алгебраических или трансцендентных) первых интегралов, зависящих от некоторого малого параметра, выражаемого через массы тел. [c.109]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

Несмотря на явную недостаточность для целей динамики теорем о несуществовании алгебраических интегралов, результаты подобного рода долгое время оставались весьма популярными. Так, Карл Зигель счел необходимым доказать в 1936 г. теорему Брунса — Пуанкаре для ограниченного варианта задачи трех тел. [c.16]

С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов и групп симметрий в ряде классических задач динамики в ограниченной задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд, сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими характерными задачами, методами и результатами. Цель книги — дать систематическое изложение современных идей и результатов этой теории. [c.18]

Если между декартовыми координатами и компонентами скоростей трех взаимно гравитирующих материальных точек существует алгебраическая зависимость, то она обязательно является следствием из известных десяти первых интегралов задачи трех тел. [c.177]

Значение периодических орбит для астрономии должно быть высоко оценено. С теоретической точки зрения, как замечает Пуанкаре, при помощи периодических орбит сначала удастся вторгнуться в область, до сих пор недоступщ ю анализу — в структуру интегралов задачи трех тел. Основополагающие работы Пуанкаре представляют собой бесценный источник для математиков и астрономов. Периодические решения скоро будут оказывать большую помощь практической астрономии. Как пзвестно в настоящее время, в планетной системе существует один случай, в котором действительно имеет место периодическое решение задачи трех тел (в этом случае проблемы четырех тел), а именно — для трех внутрен1шх спутников Юпитера. Значение периодических решений для астрономии заключается главным образом не в возможности обнаружить в природе такие случаи (хотя каждый пример такого рода и представляет исключительный интерес), а чтобы с их помощью можно было успешно разрешить различные особенно трудные проблемы небесной механики. В своей основополагающей работе о движении Луны Хилл исходит из периодического решения первого сорта, а относящиеся к этому численные исследования рассматривает не как вычислительные упражнения, а как истинную основу для точного расчета лунной орбиты. Эта исходная точка может с успехом найти при- [c.462]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

Алгоритмы, реализующие обращение первых интегралов диффереищшльных уравнений ограниченной KpyroBoii задачи трех тел [c.149]

П. Пенлеве обобщил эту теорему, освободив ее от требования алгебраического характера координат. Он доказал таким образом, что всякий интеграл задачи трех тел, являющийся произвольной функцией координат и алгебраической функцией скорости этих тел, есть алгебраическая комбинация классических интегралов. [c.108]

Д. А. Граве исследовал вопрос о нахождении всех интегралов системы дифференциальных уравнений задачи трех тел, не зависящих от закона взаимодействия. Он доказал, что такими интегралами являются только классические. Эту теорему на задачу п тел обобщил Э. Ловетт [c.109]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Задача трех тел. Требуется найти движение трех притягивающих точечных тел mi,m2,ms с массами Ш1,Ш2,шз, вернее, их интегралы, которым это движение в полной мере подчиняется [269]. Введем для этого некоторую инерци-альную систему координат Oxyz с началом в некоторой точке О и с произвольным направлением осей. Пусть г , г = 1,2,3, — радиусы-векторы этих тел. [c.536]

Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пуанкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касающиеся отсутствия новых алгебраических интегралов. [c.11]

До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве [10, 11] был получен ряд результатов отрицательного характера, касающихся существования новых алгебраических интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изящные отрицательные результаты не имеют какого-либо значения в динамике [12, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраическими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариантной природе уравнений динамики. [c.36]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

При 71 = 2 и о О (ограниченная задача трех тел) подобное утверждение не доказано. Более того, известна гипотеза Шази об интегрируемости задачи трех тел при положительных значениях полной энергии [5]. Эта гипотеза связана с более общей концепцией в задаче рассеяния частиц с некомпактным пространством положений данные на бесконечности (скажем, импульсы частиц) являются кандидатами на роль первых интегралов. Однако реализация этой идеи сталкивается с рядом затруднений принципиального характера, связанных с областью определения и гладкостью интегралов рассеяния . Одна из таких трудностей — возможность захвата в задаче многих взаимодействующих частиц. [c.147]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Предполагая начальные условия общей задачи трех тел совершенно произвольными, но считая произвольные постоянные интегралов площадей не равными одновременно нулю, Зундман нашел регуляризирую-щее преобразование и ь результате получил безупречное математически решение задачи трех тел в виде рядов, расположенных по степеням некоторой вспомогательной переменной и абсолютно сходящихся при всех значениях времени, каковы бы ни были соударения между какими-либо двумя из трех тел. [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...