Алгебраические интегралы задачи о трех телах

Алгебраические интегралы задачи о трех телах. Существование алгебраических интегралов системы (136) является непосредственным следствием свойств характеристической функции Н. Эти свойства следующие [c.426]

Как известно, задача о трех телах имеег десять алгебраических интегралов, с помощью которых порядок системы может быть понижен до восьми. Обыкновенно это понижение не доводят до самого конца и приводят систему (136) к системе только двенадцатого порядка при помощи интегралов центра тяжести. [c.426]

В главе VII было также указано, что кроме этих десяти интегралов в задаче о трех телах не существует больше других алгебраических интегралов или даже трансцендентных однозначных интегралов. [c.427]

О задаче трех и более тел. Задача п тел (п 2) состоит в следующем. В пустоте находятся п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех точек как функции времени. Эта задача не решена до сих пор. Более того, показано, что даже в случае трех тел помимо классических интегралов, существование которых следует из общих теорем об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии, дифференциальные уравнения движения не имеют других интегралов, которые выражались бы через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей точек. [c.244]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

После того как математики осознали невозможность решения в замкнутой форме уравнений классической динамики, появились строгие результаты об их неинтегрируемости. Первым среди них была, по-видимому, теорема Лиувилля (1841 г.) о неразрешимости в квадратурах уравнения x+tx = О Более точно, не существует поля, содержащего все решения уравнения Лиувилля, которое можно получить из поля рациональных функций от t последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов [207]. В 1887 г. появилась теорема Брунса о несуществовании в задаче трех тел ал- [c.15]

Несмотря на явную недостаточность для целей динамики теорем о несуществовании алгебраических интегралов, результаты подобного рода долгое время оставались весьма популярными. Так, Карл Зигель счел необходимым доказать в 1936 г. теорему Брунса — Пуанкаре для ограниченного варианта задачи трех тел. [c.16]

Здесь рассматриваются частные решения общей задачи трех тел, приводятся теоремы Брунса и Пуанкаре о несуществовании алгебраических и однозначных трансцендентных интегралов задачи трех тел, кроме десяти классических, и излагаются исследования Зундмана, дающая общее математическое решение задачи трех тел. [c.6]

Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических [c.813]

В этом параграфе осталось сказать несколько слов о задаче трех и более тел. В общей задаче п тел считается, что п материальных точек взаимно притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения Ньютона. Лля заданных начальных положений и скоростей этих точек требуется найти их местоположение как функций времени. Решение этой задачи не найдено до сих пор. Известно, что интегралы движения точек не выражаются в алгебраических или трансцендентных функциях их координат и скоростей. [c.415]

Канонические ур1внения задачи п трех телах (425) — 30. Алгебраические интегралы задачи о трех телах (426)—31. Уравнения движения в относительных координатах Якоби (427) —32. Вариация произвольных постоянных (431)— 33. Канонические элементы Делонэ (434)— [c.16]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

Работы аналитического направления посвящались сначала попыткам уточнения и придания большей математической строгости астрономическим теориям небесной механики. Поэтому в этих работах рассматривались сначала вопросы существования решений дифференциальных уравнений, в частности, вопросы о существовании и нахождении новых, отличных от десяти известных классических, интегралов в задаче трех или многих тел. Так как такие интегралы упорно не находились, то был поставлен вопрос о несущестеовании интегралов известного типа (алгебраических и однозначных трансцендентных), и эта проблема была блистательно разрешена Г. Брунсом в 1887 г. и А. Пуанкаре в 1889 г. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...